त्रिज्यखंड, वृत्तखंड और त्रिज्यखंड का कोण
पिज़्ज़ा का टुकड़ा त्रिज्यखंड है : केंद्र से दो सीधे कट और किनारा। एक ही सीधे चाकू से कटा भाग वृत्तखंड है।
त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और उन्हें जोड़ने वाले चाप के बीच का भाग है; केंद्र पर उसका कोण केंद्रीय कोण θ। वृत्तखंड जीवा और उसके चाप के बीच का भाग है। θ 180° से छोटा हो तो लघु, बड़ा हो तो दीर्घ, और दोनों मिलकर 360°।
आकृति में : बाएँ : कोण θ का त्रिज्यखंड। दाएँ : जीवा से कटा वृत्तखंड।
नियम 1 : दूसरे त्रिज्यखंड का कोण — लघु और दीर्घ त्रिज्यखंड के कोण मिलकर 360°।
- आसान : लघु त्रिज्यखंड 110° : दीर्घ = 360° − 110° = 250°।
- मध्यम : दीर्घ त्रिज्यखंड 300° : लघु = 60°।
- परीक्षा-प्रकार : अर्धवृत्त 180° का त्रिज्यखंड है।
नियम 2 : कोण यानी वृत्त का भिन्न — θ अंश का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग है।
- आसान : 90° यानी 1/4 और 60° यानी 1/6।
- मध्यम : 120° यानी 1/3; 72° यानी 72/360 = 1/5।
- परीक्षा-प्रकार : 45° यानी वृत्त का 1/8।
त्रिज्यखंड और चाप से जुड़ी हर राशि पूरे वृत्त की राशि का वही भिन्न θ/360 है।
θ/360 की जगह θ/180 लगाना; पूरा चक्कर 360°।
"कोण भाग 360 = पूरे का टुकड़ा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वृत्त के लघु त्रिज्यखंड का कोण 110° है। उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण (अंशों में) कितना है?
- 2वृत्त के एक त्रिज्यखंड का केंद्र पर कोण 20° है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का कितना भाग है?
- 3वृत्त के एक त्रिज्यखंड का केंद्र पर कोण 10° है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का कितना भाग है?
- 4वृत्त के लघु त्रिज्यखंड का कोण 50° है। उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण (अंशों में) कितना है?
- 5वृत्त से 40° कोण का एक त्रिज्यखंड काटा गया है। इस (लघु) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का संगत दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।
- 6वृत्त से 120° कोण का एक त्रिज्यखंड काटा गया है। इस (लघु) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का संगत दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।
- 7वृत्त से 30° कोण का एक त्रिज्यखंड काटा गया है। इस (लघु) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का संगत दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।
- 8दो त्रिज्यखंडों के कोण 72° और 40° हैं और वे क्रमशः 5 cm तथा 8 cm त्रिज्या वाले वृत्तों के हैं। उनके चापों की लंबाइयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1250
- 21/18
- 31/36
- 4310
- 51 : 8
- 61 : 2
- 71 : 11
- 89 : 8
चाप की लंबाई
घड़ी की मिनट की सुई की नोक चाप पर चलती है। जितने अधिक मिनट, उतना लंबा चाप।
केंद्रीय कोण θ वाले त्रिज्यखंड का चाप परिधि 2πr का θ/360 भाग है : l = θ/360 × 2πr। r, 7 का गुणज हो तो π = 22/7, नहीं तो 3.14 लेते हैं।
सूत्र : l = θ/360 × 2πr
आकृति में : r = 21, θ = 60° : l = 1/6 × 132 = 22।
नियम 1 : चाप की लंबाई निकालें — पहले परिधि निकालें, फिर भिन्न लें।
- आसान : r = 21 cm, θ = 60° : परिधि 132, l = 22 cm।
- मध्यम : r = 7 cm, θ = 90° : परिधि 44, l = 11 cm।
- परीक्षा-प्रकार : r = 9 cm, θ = 40° : l = 1/9 × 18π = 2π cm।
नियम 2 : कोण निकालें — सूत्र उलटें : θ = l ÷ (2πr) × 360।
- आसान : l = 22 cm, r = 21 cm : θ = 22/132 × 360 = 60°।
- मध्यम : l = 11 cm, r = 7 cm : θ = 11/44 × 360 = 90°।
- परीक्षा-प्रकार : l पूरी परिधि हो तो θ = 360°।
चाप की लंबाई लंबाई है, इसलिए इकाई cm या m, cm² नहीं।
चाप के लिए πr² (क्षेत्रफल सूत्र) लगाना; चाप के लिए 2πr चाहिए।
"टुकड़े का भिन्न गुणा किनारे की परिधि।"
अभ्यास के प्रश्न
- 133 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई (cm में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 40° का कोण बनाता है।
- 22 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई (cm में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 45° का कोण बनाता है।
- 315 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई (cm में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 30° का कोण बनाता है।
- 428 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई (cm में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 45° का कोण बनाता है।
- 513 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई (cm में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 120° का कोण बनाता है।
- 627 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई (cm में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 120° का कोण बनाता है।
- 718 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई (cm में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 72° का कोण बनाता है।
- 811 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई (cm में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 40° का कोण बनाता है।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 122π/3
- 2π/2
- 35π/2
- 47π
- 526π/3
- 618π
- 736π/5
- 822π/9
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
खेत के कोने में बँधी बकरी जितनी घास चर सकती है वह भाग त्रिज्यखंड है; उसका आकार रस्सी की लंबाई और कोने के कोण पर निर्भर।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल πr² का θ/360 भाग है : A = θ/360 × πr²। चाप की लंबाई l से यह A = ½ × l × r भी है।
सूत्र : A = θ/360 × πr² ; A = ½ l r
आकृति में : r = 14 cm, θ = 90° : A = 1/4 × 22/7 × 196 = 154 cm²।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : क्षेत्रफल निकालें — पहले पूरे वृत्त का क्षेत्रफल, फिर भिन्न।
- आसान : r = 14 cm, θ = 90° : A = 154 cm²।
- मध्यम : r = 21 cm, θ = 60° : A = 1/6 × 1386 = 231 cm²।
- परीक्षा-प्रकार : r = 6 cm, θ = 60° : A = 1/6 × 36π = 6π cm²।
नियम 2 : ½ l r लगाएँ या कोण निकालें — दोनों रास्तों से वही क्षेत्रफल।
- आसान : l = 22 cm, r = 21 cm : A = ½ × 22 × 21 = 231 cm²।
- मध्यम : A = 154 cm², r = 14 cm : θ = 154/616 × 360 = 90°।
- परीक्षा-प्रकार : 21 cm की मिनट की सुई का 10 मिनट का घुमाव 60° : क्षेत्रफल 231 cm²।
जाँचें कि त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल से कम है।
क्षेत्रफल सूत्र में πr² की जगह 2πr लगाना।
"पाई का टुकड़ा = भिन्न × π r वर्ग।"
अभ्यास के प्रश्न
- 124 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 40° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 22 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 270° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 39 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 180° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 423 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 30° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 527 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 270° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 628 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक चाप की लंबाई 39 cm है। संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 75 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक चाप की लंबाई 37 cm है। संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 810 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक चाप की लंबाई 9 cm है। संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 164π
- 23π
- 381π/2
- 4529π/12
- 52187π/4
- 6546
- 792.5
- 845
वृत्तखंड का क्षेत्रफल
लेंस जैसी खिड़की का क्षेत्रफल निकालने के लिए जिस त्रिज्यखंड में वह है उसमें से सीधी भुजाओं वाला त्रिभुज घटाएँ।
वृत्तखंड वह त्रिज्यखंड है जिसमें से त्रिभुज घटाया गया हो : वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल। त्रिभुज की दो भुजाएँ r और बीच का कोण θ। 90° के लिए उसका क्षेत्रफल ½r²; 60° के लिए वह समबाहु त्रिभुज है, क्षेत्रफल (√3/4) r²; 120° के लिए भी (√3/4) r²।
सूत्र : वृत्तखंड = θ/360 × πr² − त्रिभुज
आकृति में : r = 10, θ = 90° : त्रिज्यखंड 78.5 − त्रिभुज 50 = वृत्तखंड 28.5 cm² (π = 3.14)।
वृत्तखंड का क्षेत्रफल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : 90° और 60° के वृत्तखंड — कोण से मेल खाता त्रिभुज लें।
- आसान : r = 10, θ = 90° : 78.5 − 50 = 28.5 cm²।
- मध्यम : r = 12, θ = 60° : त्रिज्यखंड 75.36; त्रिभुज (√3/4) × 144 = 62.28; वृत्तखंड 13.08 cm² (π = 3.14, √3 = 1.73)।
- परीक्षा-प्रकार : वृत्तखंड हमेशा अपने त्रिज्यखंड से छोटा।
नियम 2 : 120° का वृत्तखंड — दो भुजाओं के गुणनफल का आधा गुणा sin θ लें।
- आसान : r = 6, θ = 120° : त्रिज्यखंड = 1/3 × 3.14 × 36 = 37.68 cm²।
- मध्यम : त्रिभुज = ½ × 6 × 6 × sin 120° = 9√3 ≈ 15.57 cm²।
- परीक्षा-प्रकार : वृत्तखंड = 37.68 − 15.57 = 22.11 cm²।
घटाने से पहले त्रिज्यखंड, त्रिभुज और वृत्तखंड तीन अलग चित्रों में बनाएँ।
त्रिभुज को त्रिज्यखंड में जोड़ना; लघु वृत्तखंड के लिए उसे घटाना है।
"टुकड़ा घटा त्रिभुज = वृत्तखंड।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1केंद्र O वाले वृत्त में त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल 372 cm² और त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल 96 cm² है। लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 2एक वृत्त का क्षेत्रफल 193 cm² है और उसके लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल 24 cm² है। संगत दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 3केंद्र O वाले वृत्त में त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल 102 cm² और त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल 53 cm² है। लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 4केंद्र O वाले वृत्त में त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल 388 cm² और त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल 369 cm² है। लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 518 cm त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π और √3 के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 612 cm त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π और √3 के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 748 cm त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π और √3 के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 84 cm त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। संगत दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1276
- 2169
- 349
- 419
- 554π − 81√3
- 624π − 36√3
- 7384π − 576√3
- 812π + 8
संयुक्त आकृतियाँ और अनुप्रयोग
बँधा घोड़ा, वाइपर का ब्लेड और घड़ी की सुई वास्तव में त्रिज्यखंड हैं; गोल कोनों वाली क्यारियाँ वर्ग और चौथाई वृत्तों से बनती हैं।
संयुक्त आकृति को वर्ग, आयत, त्रिभुज, त्रिज्यखंड और वृत्तखंड में बाँटें, हर एक का क्षेत्रफल निकालें और फिर जोड़ें या घटाएँ। कोने में बँधी रस्सी उस कोने के कोण का त्रिज्यखंड घेरती है।
आकृति में : भुजा 14 के वर्ग में से त्रिज्या 7 के चार चौथाई वृत्त हटाने पर छायांकित भाग = 196 − 154 = 42।
नियम 1 : रस्सी और वाइपर के प्रश्न — घुमा हुआ कोण निकालें, फिर त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल।
- आसान : खेत के कोने पर 14 m रस्सी से बँधा घोड़ा 1/4 × 22/7 × 196 = 154 m² घेरता है।
- मध्यम : 21 cm का वाइपर ब्लेड 120° घूमकर 1/3 × 1386 = 462 cm² घेरता है।
- परीक्षा-प्रकार : 21 cm की मिनट की सुई 10 मिनट में : क्षेत्रफल 231 cm², नोक 22 cm।
नियम 2 : वर्ग और चौथाई वृत्त — समान त्रिज्या के चार चौथाई वृत्त मिलकर एक पूरा वृत्त।
- आसान : वर्ग 14 cm, चौथाई वृत्त r = 7 : छायांकित = 196 − 154 = 42 cm²।
- मध्यम : जाँच : 4 × 154/4 = 4 × 38.5 = 154।
- परीक्षा-प्रकार : भीतरी आकृति का परिमाप पूरे वृत्त की परिधि 44 cm।
हमेशा पूछें : यह आकृति किन छोटी आकृतियों से बनी है और मुझे उन्हें जोड़ना है या घटाना?
रस्सी केवल कोने के त्रिज्यखंड तक पहुँचती हो तब पूरे वृत्त का क्षेत्रफल लेना।
"बाँटें, हर एक निकालें, फिर जोड़ें या घटाएँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 149 cm त्रिज्या वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 242 cm त्रिज्या वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 320 cm त्रिज्या और 270° कोण वाले त्रिज्यखंड का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
- 428 cm त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 550 cm त्रिज्या और 36° कोण वाले त्रिज्यखंड का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
- 67 cm त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 77 cm त्रिज्या और 90° कोण वाले त्रिज्यखंड का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 821 cm त्रिज्या और 90° कोण वाले त्रिज्यखंड का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11886.5
- 21386
- 3134.2
- 41232
- 5131.4
- 677
- 725
- 875