संयुक्त में कौन-सी सतहें गिनें
डिब्बे पर गेंद रखें तो जहाँ दोनों छूते हैं वह भाग रंग को नहीं दिखता, इसलिए रंगा नहीं जाता।
जोड़कर बने ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) केवल बाहरी सतहों का योग है। जुड़ा भाग नहीं गिनते। आयतन जुड़ते हैं, पर पृष्ठीय क्षेत्रफल नहीं।
सूत्र : TSA = बाहरी सतहों का योग
आकृति में : 14 के घन पर r = 7 का अर्धगोला : 1176 − 154 + 308 = 1330।
नियम 1 : जुड़ा भाग हटाएँ — हर ठोस से छूता भाग घटाएँ।
- आसान : घन 14 + अर्धगोला r = 7 : घन से πr² = 154 घटता है।
- मध्यम : अर्धगोला केवल वक्र भाग 2πr² = 308 देता है।
- परीक्षा-प्रकार : TSA = 1176 − 154 + 308 = 1330।
नियम 2 : हर ठोस का सही भाग लें — क्या दिखता है उस पर वक्र, समतल या कुल सतह।
- आसान : सतह पर अर्धगोला केवल वक्र भाग 2πr² दिखाता है।
- मध्यम : बेलन पर शंकु केवल वक्र सतह πrl दिखाता है।
- परीक्षा-प्रकार : खुले बर्तन में ढक्कन नहीं, इसलिए ऊपर की सतह नहीं।
जोड़ने से पहले हर बाहरी सतह लिखें और जो दिखती हैं केवल उन पर निशान लगाएँ।
हर ठोस का पूरा पृष्ठीय क्षेत्रफल, छिपे जोड़ सहित, जोड़ना।
"दिखे तो गिनो; छिपा हो तो छोड़ो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक कैप्सूल की त्रिज्या r = 15 cm है; जहाँ लागू हो वहाँ बेलन की ऊँचाई h = 8 cm और तिर्यक ऊँचाई l है। इसका बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल किस सूत्र से मिलता है?
- 2एक परखनली (तली में अर्धगोला, ऊपर से खुला बेलन) की त्रिज्या r = 20 cm है; जहाँ लागू हो वहाँ बेलन की ऊँचाई h = 9 cm और तिर्यक ऊँचाई l है। इसका बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल किस सूत्र से मिलता है?
- 3एक परखनली (तली में अर्धगोला, ऊपर से खुला बेलन) की त्रिज्या r = 3 cm है; जहाँ लागू हो वहाँ बेलन की ऊँचाई h = 8 cm और तिर्यक ऊँचाई l है। इसका बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल किस सूत्र से मिलता है?
- 4एक परखनली (तली में अर्धगोला, ऊपर से खुला बेलन) की त्रिज्या r = 15 cm है; जहाँ लागू हो वहाँ बेलन की ऊँचाई h = 19 cm और तिर्यक ऊँचाई l है। इसका बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल किस सूत्र से मिलता है?
- 5एक तंबू (बेलन पर शंकु) की त्रिज्या r = 15 cm है; जहाँ लागू हो वहाँ बेलन की ऊँचाई h = 25 cm और तिर्यक ऊँचाई l है। इसका बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल किस सूत्र से मिलता है?
- 6एक शंकु के आधार की त्रिज्या 8 cm और ऊँचाई 15 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7एक शंकु के आधार की त्रिज्या 20 cm और ऊँचाई 15 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8एक शंकु के आधार की त्रिज्या 48 cm और तिर्यक ऊँचाई 50 cm है। उसकी ऊँचाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12πrh + 4πr²
- 22πrh + 2πr²
- 32πrh + 2πr²
- 42πrh + 2πr²
- 52πrh + πrl
- 617
- 725
- 814
बेलन और अर्धगोला (कैप्सूल, बर्तन)
दवा का कैप्सूल दोनों सिरों पर अर्धगोले वाला बेलन है; गोल तले का बर्तन एक ओर अर्धगोले वाला बेलन है।
बेलन की केवल वक्र सतह 2πrh दिखती है, क्योंकि उसके वृत्ताकार सिरे अर्धगोलों से जुड़े हैं। हर अर्धगोला 2πr² वक्र सतह देता है। कैप्सूल की कुल लंबाई h + 2r।
सूत्र : TSA = 2πrh + 2 × 2πr²
आकृति में : लंबाई 24 और r = 7 का कैप्सूल : h = 10, TSA = 440 + 616 = 1056।
बेलन और अर्धगोला (कैप्सूल, बर्तन)
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : कैप्सूल — कुल लंबाई से दो त्रिज्याएँ घटाकर h पाएँ।
- आसान : लंबाई 24, r = 7 : h = 24 − 14 = 10।
- मध्यम : बेलन का वक्र भाग 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440।
- परीक्षा-प्रकार : दो अर्धगोले 2 × 308 = 616; TSA = 1056 cm²।
नियम 2 : अर्धगोल तले का खुला बर्तन — केवल एक अर्धगोला और ऊपर ढक्कन नहीं।
- आसान : r = 7, h = 10 : बाहरी सतह = 440 + 308 = 748 cm²।
- मध्यम : ₹0.5 प्रति cm² कलई : 748 × 0.5 = ₹374।
- परीक्षा-प्रकार : ऊपर का मुँह ढका नहीं, इसलिए πr² नहीं जोड़ते।
कैप्सूल जाँचें : केवल वक्र भाग, दोनों वृत्ताकार जोड़ कभी नहीं।
कुल लंबाई 24 को ही बेलन की ऊँचाई मान लेना, 24 − 2r की जगह।
"बेलन की बगल और दो टोपियाँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक कैप्सूल 9 cm त्रिज्या और 7 cm ऊँचाई वाला बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर उतनी ही त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला जुड़ा है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 2एक कैप्सूल 2 cm त्रिज्या और 25 cm ऊँचाई वाला बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर उतनी ही त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला जुड़ा है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 3एक कैप्सूल 4 cm त्रिज्या और 20 cm ऊँचाई वाला बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर उतनी ही त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला जुड़ा है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 4एक कैप्सूल 1 cm त्रिज्या और 11 cm ऊँचाई वाला बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर उतनी ही त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला जुड़ा है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 5एक कैप्सूल 4 cm त्रिज्या और 14 cm ऊँचाई वाला बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर उतनी ही त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला जुड़ा है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 6कैप्सूल दोनों सिरों पर अर्धगोले वाला बेलन है। इसकी कुल लंबाई 36 mm और व्यास 6 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (mm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 7कैप्सूल दोनों सिरों पर अर्धगोले वाला बेलन है। इसकी कुल लंबाई 15 mm और व्यास 12 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (mm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 8कैप्सूल दोनों सिरों पर अर्धगोले वाला बेलन है। इसकी कुल लंबाई 48 mm और व्यास 18 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (mm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1450π
- 2116π
- 3224π
- 426π
- 5176π
- 6216π
- 7180π
- 8864π
शंकु और अर्धगोला या बेलन (खिलौना, तंबू)
लट्टू अर्धगोले पर बैठा शंकु है; सर्कस का तंबू बेलन पर शंकु है।
शंकु की वक्र सतह πrl दिखती है, जहाँ l = √(r² + h²) तिर्यक ऊँचाई है। नीचे अर्धगोला हो तो 2πr², बेलन हो तो 2πrh; तंबू में फर्श नहीं होता।
सूत्र : l = √(r² + h²) ; TSA = πrl + 2πr²
आकृति में : शंकु h = 24, r = 7 : l = 25। खिलौने का TSA = 550 + 308 = 858।
शंकु और अर्धगोला या बेलन (खिलौना, तंबू)
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : खिलौना : अर्धगोले पर शंकु — पहले पाइथागोरस से l निकालें।
- आसान : r = 7, h = 24 : l = √(49 + 576) = 25।
- मध्यम : शंकु πrl = 22/7 × 7 × 25 = 550।
- परीक्षा-प्रकार : अर्धगोला 2πr² = 308; TSA = 858 cm²।
नियम 2 : तंबू : बेलन पर शंकु — कपड़ा केवल वक्र सतहों जितना चाहिए।
- आसान : बेलन r = 7, h = 10 : 2πrh = 440।
- मध्यम : शंकु r = 7, h = 24 : πrl = 550।
- परीक्षा-प्रकार : कपड़ा = 440 + 550 = 990 m²।
πrl में तिर्यक ऊँचाई l लें, सीधी ऊँचाई h नहीं।
शंकु की वक्र सतह के लिए πrh लगाना।
"शंकु की बगल तिर्यक ऊँचाई से।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक खिलौना 24 cm आधार त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई का शंकु है जो उतनी ही त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 2एक खिलौना 12 cm आधार त्रिज्या और 5 cm ऊँचाई का शंकु है जो उतनी ही त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 3एक खिलौना 12 cm आधार त्रिज्या और 16 cm ऊँचाई का शंकु है जो उतनी ही त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 4एक खिलौना 16 cm आधार त्रिज्या और 30 cm ऊँचाई का शंकु है जो उतनी ही त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 5एक खिलौना 7 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर शंकु रखकर बना है। खिलौने की कुल ऊँचाई 31 cm है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 6एक खिलौना 15 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर शंकु रखकर बना है। खिलौने की कुल ऊँचाई 51 cm है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 7एक खिलौना 21 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर शंकु रखकर बना है। खिलौने की कुल ऊँचाई 41 cm है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 8एक खिलौना 20 cm आधार त्रिज्या और 15 cm ऊँचाई का शंकु है जो 20 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा है। शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11776π
- 2444π
- 3528π
- 41056π
- 5273π
- 61035π
- 71491π
- 85 : 8
घन या घनाभ और अर्धगोला
पेपरवेट ऊपर गुंबद वाला गुटका है; गुटके में अर्धगोल गड्ढा खोबन है।
त्रिज्या r का अर्धगोला समतल सतह पर बैठे तो गुटके का πr² छिपता है और 2πr² वक्र सतह जुड़ती है। शुद्ध वृद्धि πr²। अर्धगोल गड्ढा πr² घटाता है और 2πr² जोड़ता है, इसलिए वहाँ भी πr² की वृद्धि।
सूत्र : TSA = मूल + πr²
आकृति में : समान आकार के उभार और गड्ढे का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान।
नियम 1 : घन और अर्धगोला — मूल सतह जमा πr²।
- आसान : घन 10, r = 5 : 600 + 78.5 = 678.5 cm² (π = 3.14)।
- मध्यम : घन 14, r = 7 : 1176 + 154 = 1330 cm²।
- परीक्षा-प्रकार : अर्धगोले का व्यास भुजा से बड़ा नहीं होना चाहिए।
नियम 2 : घनाभ और अर्धगोला — पहले घनाभ का 2(lb + bh + lh) निकालें।
- आसान : घनाभ 15 × 10 × 5 : 2(150 + 50 + 75) = 550।
- मध्यम : ऊपर r = 5 का अर्धगोला : πr² = 78.5 जोड़ें।
- परीक्षा-प्रकार : TSA = 628.5 cm²।
पहले केवल घन करें, फिर शुद्ध πr² जोड़ें।
ढके हुए πr² को घटाए बिना 2πr² जोड़ना।
"एक वृत्त ढको, गुंबद जोड़ो : शुद्ध एक वृत्त।"
अभ्यास के प्रश्न
- 110 cm भुजा वाले घन पर अधिकतम संभव व्यास का अर्धगोला रखा गया है। इस ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 2प्रत्येक 64 cm³ आयतन के दो घन सिरे से सिरा जोड़कर एक घनाभ बनाया गया है। घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 3प्रत्येक 1728 cm³ आयतन के दो घन सिरे से सिरा जोड़कर एक घनाभ बनाया गया है। घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 426 cm भुजा वाले घनाकार गुटके के एक पृष्ठ से 11 cm त्रिज्या का अर्धगोलाकार गड्ढा काटा गया है। शेष गुटके का पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 5एक ठोस 6 cm भुजा के वर्गाकार आधार और 12 cm ऊँचाई वाला घनाभ है, जिसके ऊपरी पृष्ठ पर 6 cm व्यास का अर्धगोला रखा है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 624 cm भुजा वाले घनाकार गुटके के एक पृष्ठ से 5 cm त्रिज्या का अर्धगोलाकार गड्ढा काटा गया है। शेष गुटके का पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 718 cm भुजा वाले घनाकार गुटके के एक पृष्ठ से 7 cm त्रिज्या का अर्धगोलाकार गड्ढा काटा गया है। शेष गुटके का पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 8एक ठोस 4 cm भुजा के वर्गाकार आधार और 20 cm ऊँचाई वाला घनाभ है, जिसके ऊपरी पृष्ठ पर 4 cm व्यास का अर्धगोला रखा है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 125π + 600
- 2160
- 31440
- 4121π + 4056
- 59π + 360
- 625π + 3456
- 749π + 1944
- 84π + 352
गुहिकाएँ और अनुप्रयोग
खोबन वाले लकड़ी के खिलौने का बाहरी और खोबन का भीतरी, दोनों भाग घिसने पड़ते हैं।
ठोस में से अर्धगोला खोदने पर पुराना समतल ऊपरी भाग हट जाता है और भीतरी वक्र सतह 2πr² दिखती है। रंगाई खर्च = क्षेत्रफल × दर।
सूत्र : लागत = क्षेत्रफल × दर
आकृति में : बेलन r = 7, h = 14 और अर्धगोल गड्ढा : 616 + 154 + 308 = 1078 cm²।
नियम 1 : खोदा हुआ बेलन — बगल की वक्र, नीचे की समतल और भीतरी खोबन।
- आसान : बाहरी बगल 2πrh = 616।
- मध्यम : तल πr² = 154 और खोबन 2πr² = 308।
- परीक्षा-प्रकार : कुल = 1078 cm²; ऊपरी छल्ला शून्य क्योंकि त्रिज्या समान।
नियम 2 : रंगाई की लागत — कुल क्षेत्रफल को दर से गुणा करें।
- आसान : 1078 cm² ₹0.5 प्रति cm² पर ₹539 लगते हैं।
- मध्यम : क्षेत्रफल और दर की इकाई समान रखें।
- परीक्षा-प्रकार : साधारण बेलन 616 + 2 × 154 = 924 खोदे हुए से कम।
सतहें लिखें : कौन बाहर, कौन खोबन में, कौन गायब?
खोबन की भीतरी सतह भूल जाना।
"ऊपर का गया, भीतर नया।"
अभ्यास के प्रश्न
- 130 cm ऊँचाई और 16 cm आधार त्रिज्या वाले ठोस बेलन से उतनी ही ऊँचाई और उतनी ही आधार त्रिज्या का शंक्वाकार कोटर निकाला गया है। शेष ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 2परखनली 3 cm त्रिज्या और 3 cm ऊँचाई का बेलन है जिसकी तली में उतनी ही त्रिज्या का अर्धगोला है और ऊपर का मुँह खुला है। इसका बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 3परखनली 1 cm त्रिज्या और 4 cm ऊँचाई का बेलन है जिसकी तली में उतनी ही त्रिज्या का अर्धगोला है और ऊपर का मुँह खुला है। इसका बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 415 cm ऊँचाई और 8 cm आधार त्रिज्या वाले ठोस बेलन से उतनी ही ऊँचाई और उतनी ही आधार त्रिज्या का शंक्वाकार कोटर निकाला गया है। शेष ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 5परखनली 6 cm त्रिज्या और 7 cm ऊँचाई का बेलन है जिसकी तली में उतनी ही त्रिज्या का अर्धगोला है और ऊपर का मुँह खुला है। इसका बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 616 cm आधार त्रिज्या और 30 cm ऊँचाई वाले ठोस बेलन से वही आधार और वही ऊँचाई वाला शंक्वाकार कोटर निकाला गया है। ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने cm² बढ़ता है (π के रूप में)?
- 712 cm ऊँचाई और 2 cm आधार त्रिज्या वाले ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे से 2 cm त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला खोदकर एक लकड़ी की वस्तु बनाई गई है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 814 cm आधार त्रिज्या और 48 cm ऊँचाई वाले ठोस बेलन से वही आधार और वही ऊँचाई वाला शंक्वाकार कोटर निकाला गया है। ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने cm² बढ़ता है (π के रूप में)?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11760π
- 236π
- 310π
- 4440π
- 5156π
- 6288π
- 764π
- 8504π