संयुक्तामध्ये कोणते पृष्ठभाग मोजायचे
पेटीवर चेंडू ठेवला तर जिथे ते एकमेकांना टेकतात तो भाग रंगाला दिसत नाही, म्हणून रंगवत नाहीत.
घन पदार्थ जोडून केलेल्या वस्तूचे एकूण पृष्ठफळ (TSA) म्हणजे फक्त बाहेरच्या पृष्ठांची बेरीज. जोडलेला भाग मोजत नाहीत. घनफळे बेरीज करता येतात, पण पृष्ठफळे नाही.
सूत्र : TSA = बाहेरच्या पृष्ठांची बेरीज
आकृतीत : १४ च्या घनावर r = ७ चा अर्धगोल : ११७६ − १५४ + ३०८ = १३३०.
नियम 1 : जोडलेला भाग वगळा — प्रत्येक घनातून टेकलेला भाग वजा करा.
- सोपे : घन १४ + अर्धगोल r = ७ : घनातून πr² = १५४ वजा.
- मध्यम : अर्धगोल फक्त वक्र भाग २πr² = ३०८ देतो.
- परीक्षेसाठी : TSA = ११७६ − १५४ + ३०८ = १३३०.
नियम 2 : प्रत्येक घनाचा योग्य भाग घ्या — काय दिसते यावर वक्र, सपाट किंवा एकूण पृष्ठ.
- सोपे : पृष्ठावरील अर्धगोल फक्त वक्र भाग २πr² दाखवतो.
- मध्यम : वृत्तचितीवरील शंकू फक्त वक्र पृष्ठ πrl दाखवतो.
- परीक्षेसाठी : उघड्या भांड्याला झाकण नसते, म्हणून वरचे पृष्ठ नाही.
मिळवण्याआधी प्रत्येक बाहेरचे पृष्ठ लिहा व जे दिसतात फक्त त्यांवर खूण करा.
प्रत्येक घनाचे पूर्ण पृष्ठफळ, लपलेल्या जोडासह, मिळवणे.
"दिसते ते मोजा; लपलेले सोडा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका कॅप्सूल ची त्रिज्या r = 15 cm आहे; जिथे लागू तिथे वृत्तचितीची उंची h = 8 cm आणि तिरपी उंची l आहे. त्याचे बाह्य पृष्ठफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 2एका परीक्षानळी (तळाला अर्धगोल असलेली, वरून उघडी वृत्तचिती) ची त्रिज्या r = 20 cm आहे; जिथे लागू तिथे वृत्तचितीची उंची h = 9 cm आणि तिरपी उंची l आहे. त्याचे बाह्य पृष्ठफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 3एका परीक्षानळी (तळाला अर्धगोल असलेली, वरून उघडी वृत्तचिती) ची त्रिज्या r = 3 cm आहे; जिथे लागू तिथे वृत्तचितीची उंची h = 8 cm आणि तिरपी उंची l आहे. त्याचे बाह्य पृष्ठफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 4एका परीक्षानळी (तळाला अर्धगोल असलेली, वरून उघडी वृत्तचिती) ची त्रिज्या r = 15 cm आहे; जिथे लागू तिथे वृत्तचितीची उंची h = 19 cm आणि तिरपी उंची l आहे. त्याचे बाह्य पृष्ठफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 5एका तंबू (वृत्तचितीवर शंकू) ची त्रिज्या r = 15 cm आहे; जिथे लागू तिथे वृत्तचितीची उंची h = 25 cm आणि तिरपी उंची l आहे. त्याचे बाह्य पृष्ठफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 6एका शंकूच्या पायाची त्रिज्या 8 cm आणि उंची 15 cm आहे. त्याची तिरपी उंची (cm मध्ये) शोधा.
- 7एका शंकूच्या पायाची त्रिज्या 20 cm आणि उंची 15 cm आहे. त्याची तिरपी उंची (cm मध्ये) शोधा.
- 8एका शंकूच्या पायाची त्रिज्या 48 cm आणि तिरपी उंची 50 cm आहे. त्याची उंची (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12πrh + 4πr²
- 22πrh + 2πr²
- 32πrh + 2πr²
- 42πrh + 2πr²
- 52πrh + πrl
- 617
- 725
- 814
वृत्तचिती व अर्धगोल (कॅप्सूल, भांडे)
औषधाची कॅप्सूल म्हणजे दोन्ही टोकांना अर्धगोल असलेला वृत्तचिती; गोल तळाचे भांडे म्हणजे एका बाजूला अर्धगोल असलेला वृत्तचिती.
वृत्तचितीचे फक्त वक्र पृष्ठ २πrh दिसते, कारण त्याची वर्तुळाकार टोके अर्धगोलांशी जोडलेली असतात. प्रत्येक अर्धगोल २πr² वक्र पृष्ठ देतो. कॅप्सूलची एकूण लांबी h + २r.
सूत्र : TSA = २πrh + २ × २πr²
आकृतीत : लांबी २४ व r = ७ ची कॅप्सूल : h = १०, TSA = ४४० + ६१६ = १०५६.
वृत्तचिती व अर्धगोल (कॅप्सूल, भांडे)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : कॅप्सूल — एकूण लांबीतून दोन त्रिज्या वजा करून h मिळवा.
- सोपे : लांबी २४, r = ७ : h = २४ − १४ = १०.
- मध्यम : वृत्तचितीाचा वक्र भाग २ × २२/७ × ७ × १० = ४४०.
- परीक्षेसाठी : दोन अर्धगोल २ × ३०८ = ६१६; TSA = १०५६ cm².
नियम 2 : अर्धगोल तळाचे उघडे भांडे — फक्त एक अर्धगोल व वर झाकण नाही.
- सोपे : r = ७, h = १० : बाह्य पृष्ठ = ४४० + ३०८ = ७४८ cm².
- मध्यम : प्रति cm² ₹०.५ ने कल्हई : ७४८ × ०.५ = ₹३७४.
- परीक्षेसाठी : वरचे तोंड झाकलेले नाही, म्हणून πr² मिळवत नाही.
कॅप्सूल तपासा : फक्त वक्र भाग, कधीही दोन वर्तुळाकार जोड नाहीत.
एकूण लांबी २४ हीच वृत्तचितीची उंची धरणे, २४ − २r ऐवजी.
"वृत्तचितीची बाजू अधिक दोन टोप्या."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एक कॅप्सूल म्हणजे 9 cm त्रिज्येची आणि 7 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या दोन्ही टोकांना तितक्याच त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल जोडला आहे. त्याचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 2एक कॅप्सूल म्हणजे 2 cm त्रिज्येची आणि 25 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या दोन्ही टोकांना तितक्याच त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल जोडला आहे. त्याचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 3एक कॅप्सूल म्हणजे 4 cm त्रिज्येची आणि 20 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या दोन्ही टोकांना तितक्याच त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल जोडला आहे. त्याचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 4एक कॅप्सूल म्हणजे 1 cm त्रिज्येची आणि 11 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या दोन्ही टोकांना तितक्याच त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल जोडला आहे. त्याचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 5एक कॅप्सूल म्हणजे 4 cm त्रिज्येची आणि 14 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या दोन्ही टोकांना तितक्याच त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल जोडला आहे. त्याचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 6कॅप्सूल म्हणजे दोन्ही टोकांना अर्धगोल असलेली वृत्तचिती. त्याची एकूण लांबी 36 mm आणि व्यास 6 mm आहे. त्याचे पृष्ठफळ (mm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 7कॅप्सूल म्हणजे दोन्ही टोकांना अर्धगोल असलेली वृत्तचिती. त्याची एकूण लांबी 15 mm आणि व्यास 12 mm आहे. त्याचे पृष्ठफळ (mm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 8कॅप्सूल म्हणजे दोन्ही टोकांना अर्धगोल असलेली वृत्तचिती. त्याची एकूण लांबी 48 mm आणि व्यास 18 mm आहे. त्याचे पृष्ठफळ (mm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1450π
- 2116π
- 3224π
- 426π
- 5176π
- 6216π
- 7180π
- 8864π
शंकू व अर्धगोल किंवा वृत्तचिती (खेळणे, तंबू)
भोवरा म्हणजे अर्धगोलावर बसलेला शंकू; सर्कशीचा तंबू म्हणजे वृत्तचितीवर शंकू.
शंकूचे वक्र पृष्ठ πrl दिसते, जिथे l = √(r² + h²) म्हणजे तिरकस उंची. खाली अर्धगोल असेल तर २πr², वृत्तचिती असेल तर २πrh; तंबूला जमीन (तळ) नसतो.
सूत्र : l = √(r² + h²) ; TSA = πrl + २πr²
आकृतीत : शंकू h = २४, r = ७ : l = २५. खेळण्याचे TSA = ५५० + ३०८ = ८५८.
शंकू व अर्धगोल किंवा वृत्तचिती (खेळणे, तंबू)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : खेळणे : अर्धगोलावर शंकू — आधी पायथागोरसने l काढा.
- सोपे : r = ७, h = २४ : l = √(४९ + ५७६) = २५.
- मध्यम : शंकू πrl = २२/७ × ७ × २५ = ५५०.
- परीक्षेसाठी : अर्धगोल २πr² = ३०८; TSA = ८५८ cm².
नियम 2 : तंबू : वृत्तचितीवर शंकू — लागणारे कापड म्हणजे फक्त वक्र पृष्ठे.
- सोपे : वृत्तचिती r = ७, h = १० : २πrh = ४४०.
- मध्यम : शंकू r = ७, h = २४ : πrl = ५५०.
- परीक्षेसाठी : कापड = ४४० + ५५० = ९९० m².
πrl मध्ये तिरकस उंची l वापरा, सरळ उंची h नाही.
शंकूच्या वक्र पृष्ठासाठी πrh वापरणे.
"शंकूची बाजू तिरकस उंचीने."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एक खेळणे म्हणजे 24 cm पायाची त्रिज्या आणि 10 cm उंचीचा शंकू तितक्याच त्रिज्येच्या अर्धगोलावर ठेवलेला आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 2एक खेळणे म्हणजे 12 cm पायाची त्रिज्या आणि 5 cm उंचीचा शंकू तितक्याच त्रिज्येच्या अर्धगोलावर ठेवलेला आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 3एक खेळणे म्हणजे 12 cm पायाची त्रिज्या आणि 16 cm उंचीचा शंकू तितक्याच त्रिज्येच्या अर्धगोलावर ठेवलेला आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 4एक खेळणे म्हणजे 16 cm पायाची त्रिज्या आणि 30 cm उंचीचा शंकू तितक्याच त्रिज्येच्या अर्धगोलावर ठेवलेला आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 5एक खेळणे म्हणजे 7 cm त्रिज्येच्या अर्धगोलावर शंकू बसवलेला आहे. खेळण्याची एकूण उंची 31 cm आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 6एक खेळणे म्हणजे 15 cm त्रिज्येच्या अर्धगोलावर शंकू बसवलेला आहे. खेळण्याची एकूण उंची 51 cm आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 7एक खेळणे म्हणजे 21 cm त्रिज्येच्या अर्धगोलावर शंकू बसवलेला आहे. खेळण्याची एकूण उंची 41 cm आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 8एक खेळणे म्हणजे 20 cm पायाची त्रिज्या आणि 15 cm उंचीचा शंकू 20 cm त्रिज्येच्या अर्धगोलावर बसवलेला आहे. शंकूच्या वक्रपृष्ठफळाचे अर्धगोलाच्या वक्रपृष्ठफळाशी गुणोत्तर शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11776π
- 2444π
- 3528π
- 41056π
- 5273π
- 61035π
- 71491π
- 85 : 8
घन किंवा चौकोनी ठोस व अर्धगोल
पेपरवेट म्हणजे वर घुमट असलेला ठोकळा; ठोकळ्यातील अर्धगोल खळगा म्हणजे खोबण.
r त्रिज्येचा अर्धगोल सपाट पृष्ठावर बसला तर ठोकळ्याचे πr² लपते व २πr² वक्र पृष्ठ जोडले जाते. निव्वळ वाढ πr². अर्धगोल खळगा πr² वजा करतो व २πr² मिळवतो, म्हणून तिथेही πr² वाढ.
सूत्र : TSA = मूळ + πr²
आकृतीत : सारख्या आकाराचा घुमट व खळगा यांचे पृष्ठफळ सारखेच.
नियम 1 : घन व अर्धगोल — मूळ पृष्ठफळ अधिक πr².
- सोपे : घन १०, r = ५ : ६०० + ७८.५ = ६७८.५ cm² (π = ३.१४).
- मध्यम : घन १४, r = ७ : ११७६ + १५४ = १३३० cm².
- परीक्षेसाठी : अर्धगोलाचा व्यास बाजूपेक्षा मोठा नसावा.
नियम 2 : चौकोनी ठोस व अर्धगोल — आधी घनाभाची २(lb + bh + lh) काढा.
- सोपे : घनाभ १५ × १० × ५ : २(१५० + ५० + ७५) = ५५०.
- मध्यम : वर r = ५ चा अर्धगोल : πr² = ७८.५ मिळवा.
- परीक्षेसाठी : TSA = ६२८.५ cm².
आधी फक्त घन करा, मग निव्वळ πr² मिळवा.
ठोकळ्याचे झाकलेले πr² वजा न करता २πr² मिळवणे.
"एक वर्तुळ झाका, घुमट जोडा : निव्वळ एक वर्तुळ."
सरावासाठी प्रश्न
- 110 cm बाजूच्या घनावर शक्य तेवढ्या मोठ्या व्यासाचा अर्धगोल ठेवला आहे. या घनाकृतीचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 2प्रत्येकी 64 cm³ घनफळाचे दोन घन टोकाला टोक जोडून एक इष्टिकाचिती बनवली आहे. त्या इष्टिकाचितीचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 3प्रत्येकी 1728 cm³ घनफळाचे दोन घन टोकाला टोक जोडून एक इष्टिकाचिती बनवली आहे. त्या इष्टिकाचितीचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 426 cm बाजूच्या घनाकार ठोकळ्याच्या एका पृष्ठातून 11 cm त्रिज्येचा अर्धगोलाकार खड्डा कापला आहे. उरलेल्या ठोकळ्याचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 5एक घनाकृती म्हणजे 6 cm बाजूचा चौरस पाया आणि 12 cm उंची असलेली इष्टिकाचिती असून तिच्या वरच्या पृष्ठावर 6 cm व्यासाचा अर्धगोल ठेवला आहे. तिचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 624 cm बाजूच्या घनाकार ठोकळ्याच्या एका पृष्ठातून 5 cm त्रिज्येचा अर्धगोलाकार खड्डा कापला आहे. उरलेल्या ठोकळ्याचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 718 cm बाजूच्या घनाकार ठोकळ्याच्या एका पृष्ठातून 7 cm त्रिज्येचा अर्धगोलाकार खड्डा कापला आहे. उरलेल्या ठोकळ्याचे पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 8एक घनाकृती म्हणजे 4 cm बाजूचा चौरस पाया आणि 20 cm उंची असलेली इष्टिकाचिती असून तिच्या वरच्या पृष्ठावर 4 cm व्यासाचा अर्धगोल ठेवला आहे. तिचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 125π + 600
- 2160
- 31440
- 4121π + 4056
- 59π + 360
- 625π + 3456
- 749π + 1944
- 84π + 352
पोकळ्या व उपयोग
खोबण केलेल्या लाकडी खेळण्याचे बाहेरचे व खोबणीचे आतले, दोन्ही भाग घासावे लागतात.
घन पदार्थातून अर्धगोल खोदला की जुना सपाट वरचा भाग जातो व आतले वक्र पृष्ठ २πr² दिसते. रंगवण्याचा खर्च = क्षेत्रफळ × दर.
सूत्र : खर्च = क्षेत्रफळ × दर
आकृतीत : वृत्तचिती r = ७, h = १४ व अर्धगोल खळगा : ६१६ + १५४ + ३०८ = १०७८ cm².
नियम 1 : खोदलेला वृत्तचिती — बाजूचे वक्र, खालचे सपाट व आतली खोबण.
- सोपे : बाहेरची बाजू २πrh = ६१६.
- मध्यम : तळ πr² = १५४ व खोबण २πr² = ३०८.
- परीक्षेसाठी : एकूण = १०७८ cm²; वरची कडी शून्य कारण त्रिज्या सारखीच.
नियम 2 : रंगवण्याचा खर्च — एकूण क्षेत्रफळाला दराने गुणा.
- सोपे : १०७८ cm² प्रति cm² ₹०.५ ने ₹५३९ पडतात.
- मध्यम : क्षेत्रफळ व दर यांचे एकक सारखे ठेवा.
- परीक्षेसाठी : साध्या वृत्तचितीचे ६१६ + २ × १५४ = ९२४ पृष्ठफळ खोदलेल्यापेक्षा कमी.
पृष्ठे लिहा : कोणती बाहेर, कोणती खोबणीत, कोणती नाहीशी?
खोबणीचे आतले पृष्ठ विसरणे.
"वरचे गेले, आत नवीन."
सरावासाठी प्रश्न
- 130 cm उंचीच्या आणि 16 cm पायाच्या त्रिज्येच्या ठोस वृत्तचितीतून तितक्याच उंचीची आणि तितक्याच पायाच्या त्रिज्येची शंकूच्या आकाराची पोकळी काढली आहे. उरलेल्या घनाकृतीचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 2परीक्षानळी म्हणजे 3 cm त्रिज्येची, 3 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या तळाशी तितक्याच त्रिज्येचा अर्धगोल आहे आणि वरचे तोंड उघडे आहे. तिचे बाह्य पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 3परीक्षानळी म्हणजे 1 cm त्रिज्येची, 4 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या तळाशी तितक्याच त्रिज्येचा अर्धगोल आहे आणि वरचे तोंड उघडे आहे. तिचे बाह्य पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 415 cm उंचीच्या आणि 8 cm पायाच्या त्रिज्येच्या ठोस वृत्तचितीतून तितक्याच उंचीची आणि तितक्याच पायाच्या त्रिज्येची शंकूच्या आकाराची पोकळी काढली आहे. उरलेल्या घनाकृतीचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 5परीक्षानळी म्हणजे 6 cm त्रिज्येची, 7 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या तळाशी तितक्याच त्रिज्येचा अर्धगोल आहे आणि वरचे तोंड उघडे आहे. तिचे बाह्य पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 616 cm पायाची त्रिज्या आणि 30 cm उंचीच्या ठोस वृत्तचितीतून तोच पाया आणि तीच उंची असलेली शंकूच्या आकाराची पोकळी काढली आहे. घनाकृतीचे एकूण पृष्ठफळ किती cm² ने वाढते (π च्या स्वरूपात)?
- 712 cm उंचीच्या आणि 2 cm पायाच्या त्रिज्येच्या ठोस वृत्तचितीच्या दोन्ही टोकांतून 2 cm त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल पोखरून एक लाकडी वस्तू बनवली आहे. तिचे एकूण पृष्ठफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 814 cm पायाची त्रिज्या आणि 48 cm उंचीच्या ठोस वृत्तचितीतून तोच पाया आणि तीच उंची असलेली शंकूच्या आकाराची पोकळी काढली आहे. घनाकृतीचे एकूण पृष्ठफळ किती cm² ने वाढते (π च्या स्वरूपात)?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11760π
- 236π
- 310π
- 4440π
- 5156π
- 6288π
- 764π
- 8504π