घनफळाची सूत्रे व त्यांतील नाते
शंकू वाळूने भरून त्याच तळाच्या व उंचीच्या वृत्तचितीत ओता : वृत्तचिती भरायला तीन शंकू लागतात.
त्रिज्या r व उंची h साठी : वृत्तचिती πr²h, शंकू ⅓πr²h, गोल ४/३ πr³, अर्धगोल २/३ πr³. उंची = त्रिज्या असताना शंकू : अर्धगोल : वृत्तचिती = १ : २ : ३.
सूत्र : V = πr²h ; ⅓πr²h ; ४/३ πr³ ; २/३ πr³
आकृतीत : r = h असताना शंकू, अर्धगोल, वृत्तचिती १ : २ : ३ गुणोत्तरात.
नियम 1 : एकेक घन पदार्थ — r, h घाला; r हा ७ चा पट असेल तर π = २२/७ ठेवा.
- सोपे : गोल r = २१ : ४/३ × २२/७ × ९२६१ = ३८८०८ cm³.
- मध्यम : शंकू r = ७, h = २४ : १/३ × १५४ × २४ = १२३२ cm³.
- परीक्षेसाठी : वृत्तचिती r = ७, h = १० : १५४ × १० = १५४० cm³.
नियम 2 : नाते वापरा — एक घनफळ दिले की बाकीची पुन्हा हिशोब न करता मिळतात.
- सोपे : वृत्तचिती २१६π (r = h = ६) : शंकू ७२π, अर्धगोल १४४π.
- मध्यम : अर्धगोल म्हणजे गोलाचा अर्धा : ३८८०८ ÷ २ = १९४०४.
- परीक्षेसाठी : समान r, h चे तीन शंकू एक वृत्तचिती भरतात.
संयुक्ताचे घनफळ म्हणजे भागांच्या घनफळांची साधी बेरीज (किंवा वजाबाकी).
शंकूसाठी πr²h वापरणे; त्याला ⅓ लागतो.
"शंकू एक-तृतीयांश, अर्धगोल दोन-तृतीयांश."
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिज्या r = 10 cm (आणि गरज असेल तेथे उंची h = 13 cm) असताना शंकू चे घनफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 2त्रिज्या r = 13 cm (आणि गरज असेल तेथे उंची h = 11 cm) असताना गोल चे घनफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 3त्रिज्या r = 9 cm (आणि गरज असेल तेथे उंची h = 19 cm) असताना शंकू चे घनफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 4त्रिज्या r = 17 cm (आणि गरज असेल तेथे उंची h = 7 cm) असताना अर्धगोल चे घनफळ कोणत्या सूत्राने मिळते?
- 5अर्धगोल आणि वृत्तचिती या दोघांच्या पायाची त्रिज्या 4 cm व उंची 4 cm आहे. अर्धगोल च्या घनफळाचे वृत्तचिती च्या घनफळाशी गुणोत्तर शोधा.
- 6शंकू, अर्धगोल आणि वृत्तचिती या तिघांची त्रिज्या r आहे आणि शंकू व वृत्तचिती दोघांची उंची r आहे. वृत्तचितीचे घनफळ 57 cm³ आहे. शंकूचे घनफळ (cm³ मध्ये) शोधा.
- 7अर्धगोलाची त्रिज्या 5 cm वरून 25 cm केली. त्याचे घनफळ किती पटीने वाढते?
- 8शंकू, अर्धगोल आणि वृत्तचिती या तिघांची त्रिज्या r आहे आणि शंकू व वृत्तचिती दोघांची उंची r आहे. वृत्तचितीचे घनफळ 87 cm³ आहे. शंकूचे घनफळ (cm³ मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11/3 πr²h
- 24/3 πr³
- 31/3 πr²h
- 42/3 πr³
- 52 : 3
- 619
- 7125
- 829
वृत्तचिती व अर्धगोल (कॅप्सूल, टाकी, भांडे)
कॅप्सूलमध्ये किती औषध मावते? मधला वृत्तचिती व दोन्ही टोके मिळवा; टोके मिळून एक गोल होतो.
प्रत्येक टोकाला अर्धगोल असलेल्या वृत्तचितीचे घनफळ πr²h + ४/३ πr³, कारण दोन अर्धगोल मिळून एक गोल. फक्त एकाच बाजूला अर्धगोल असेल तर २/३ πr³ मिळवा. भांड्याची धारकता म्हणजे आतले घनफळ.
सूत्र : V = πr²h + ४/३ πr³
आकृतीत : कॅप्सूल r = ३, वृत्तचिती h = १० : ९०π + ३६π = १२६π ≈ ३९६ cm³.
वृत्तचिती व अर्धगोल (कॅप्सूल, टाकी, भांडे)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : कॅप्सूल — वृत्तचिती भाग अधिक एक गोल.
- सोपे : r = ३, h = १० : वृत्तचिती π × ९ × १० = ९०π.
- मध्यम : दोन अर्धगोल = गोल ४/३ × π × २७ = ३६π.
- परीक्षेसाठी : एकूण १२६π = १२६ × २२/७ = ३९६ cm³.
नियम 2 : एका अर्धगोलाचे भांडे — वृत्तचिती अधिक एक अर्धगोल.
- सोपे : r = ३, h = १० : वृत्तचिती ९०π, अर्धगोल २/३ × २७π = १८π.
- मध्यम : धारकता १०८π = १०८ × २२/७ ≈ ३३९.४ cm³.
- परीक्षेसाठी : १००० cm³ = १ लिटर, म्हणून हे सुमारे ०.३४ लिटर.
मिळवण्याआधी वृत्तचिती भाग व गोल भाग वेगळ्या ओळीत लिहा.
एकूण लांबी हीच वृत्तचितीची उंची मानणे; आधी २r वजा करा.
"मध्ये नळी, टोकांना चेंडू."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एक कॅप्सूल म्हणजे 11 cm त्रिज्येची आणि 12 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या दोन्ही टोकांना तितक्याच त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल आहे. त्याचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 2एक कॅप्सूल म्हणजे 8 cm त्रिज्येची आणि 17 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या दोन्ही टोकांना तितक्याच त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल आहे. त्याचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 316 cm त्रिज्येच्या अर्धगोलाचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 4एक कॅप्सूल म्हणजे 9 cm त्रिज्येची आणि 13 cm उंचीची वृत्तचिती असून तिच्या दोन्ही टोकांना तितक्याच त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल आहे. त्याचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 517 cm त्रिज्येच्या अर्धगोलाचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 6औषधाची कॅप्सूल म्हणजे दोन्ही टोकांना अर्धगोल असलेली वृत्तचिती. तिची एकूण लांबी 14 mm आणि व्यास 4 mm आहे. तिचे घनफळ (mm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 7औषधाची कॅप्सूल म्हणजे दोन्ही टोकांना अर्धगोल असलेली वृत्तचिती. तिची एकूण लांबी 19 mm आणि व्यास 14 mm आहे. तिचे घनफळ (mm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 8दोन्ही टोकांना 4 cm त्रिज्येचे अर्धगोल असलेल्या कॅप्सूलचे घनफळ 1552π/3 cm³ आहे. त्याच्या वृत्तचितीय भागाची उंची (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 19680π/3
- 25312π/3
- 38192π/3
- 42025π
- 59826π/3
- 6152π/3
- 72107π/3
- 827
शंकू व अर्धगोल किंवा वृत्तचिती (खेळणे, आईस्क्रीम, तंबू)
वर स्कूप असलेला आईस्क्रीम कोन म्हणजे शंकू अधिक अर्धगोल; तंबूतील हवा म्हणजे शंकू अधिक वृत्तचिती.
अर्धगोलावर शंकू : V = ⅓πr²h + ⅔πr³. वृत्तचितीवर शंकू : V = πr²H + ⅓πr²h, जिथे H वृत्तचितीची व h शंकूची उंची. येथे h म्हणजे सरळ उंची; घनफळासाठी तिरकस उंची वापरत नाहीत.
सूत्र : V = ⅓πr²h + ⅔πr³
आकृतीत : आईस्क्रीम r = ६, शंकू h = ८ : ९६π + १४४π = २४०π ≈ ७५३.६ cm³ (π = ३.१४).
शंकू व अर्धगोल किंवा वृत्तचिती (खेळणे, आईस्क्रीम, तंबू)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : शंकू व अर्धगोल — अर्धगोलाची r शंकूच्या तळाइतकीच.
- सोपे : r = ६, h = ८ : शंकू १/३ × π × ३६ × ८ = ९६π.
- मध्यम : अर्धगोल २/३ × π × २१६ = १४४π.
- परीक्षेसाठी : एकूण २४०π ≈ ७५३.६ cm³.
नियम 2 : तंबू : वृत्तचितीवर शंकू — आधी वृत्तचिती भाग, मग शंकू.
- सोपे : r = ७, वृत्तचिती H = १० : १५४ × १० = १५४०.
- मध्यम : शंकू h = ६ : १/३ × १५४ × ६ = ३०८.
- परीक्षेसाठी : आतील हवा = १८४८ m³.
प्रत्येक भागासाठी तीच त्रिज्या वापरली आहे का ते तपासा.
⅓πr²h मध्ये h ऐवजी तिरकस उंची l वापरणे.
"घनफळाला सरळ उंची, पृष्ठफळाला तिरकस."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एक खेळणे म्हणजे 6 cm पायाची त्रिज्या आणि 19 cm उंचीचा शंकू तितक्याच त्रिज्येच्या अर्धगोलावर ठेवलेला आहे. त्याचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 2एक खेळणे म्हणजे 1 cm पायाची त्रिज्या आणि 5 cm उंचीचा शंकू तितक्याच त्रिज्येच्या अर्धगोलावर ठेवलेला आहे. त्याचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 3एक खेळणे म्हणजे 9 cm त्रिज्येच्या अर्धगोलावर शंकू बसवलेला आहे. खेळण्याची एकूण उंची 30 cm आहे. त्याचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 4एक खेळणे म्हणजे 12 cm त्रिज्येच्या अर्धगोलावर शंकू बसवलेला आहे. खेळण्याची एकूण उंची 18 cm आहे. त्याचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 5एक तंबू म्हणजे 6 मी त्रिज्येची आणि 4 मी उंचीची वृत्तचिती असून त्यावर तितक्याच त्रिज्येचा, 18 मी उंचीचा शंकू बसवला आहे. आतील हवेचे घनफळ (मी³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 6एक तंबू म्हणजे 12 मी त्रिज्येची आणि 5 मी उंचीची वृत्तचिती असून त्यावर तितक्याच त्रिज्येचा, 17 मी उंचीचा शंकू बसवला आहे. आतील हवेचे घनफळ (मी³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 710 cm त्रिज्येच्या आणि 16 cm उंचीच्या ठोस वृत्तचितीतून शक्य तेवढा मोठा शंकू कोरून काढला. वाया गेलेल्या लाकडाचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 8एक खेळणे म्हणजे 30 cm उंचीचा शंकू एका अर्धगोलावर ठेवलेला आहे; दोघांची त्रिज्या 10 cm आहे. शंकूच्या घनफळाचे अर्धगोलाच्या घनफळाशी गुणोत्तर शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1372π
- 27π/3
- 31053π
- 41440π
- 5360π
- 61536π
- 73200π/3
- 83 : 2
वितळवून नवा आकार
सोन्याची अंगठी वितळवून पट्टी केली तर सोने वाढत किंवा कमी होत नाही : घनफळ तेवढेच.
घन पदार्थ वितळवून दुसऱ्या आकारात ओतला तर घनफळ बदलत नाही. म्हणून जुन्याचे घनफळ = नव्याचे घनफळ. n सारखे नवे आकार केले तर n = मोठे घनफळ ÷ लहान घनफळ.
सूत्र : n = मोठे घनफळ ÷ लहान घनफळ
आकृतीत : r = ६ चा गोल (६/२)³ = २७ चेंडू r = २ चे बनवतो.
नियम 1 : अनेक लहान घन — घनफळे भागा; ४/३ π उडून जातो.
- सोपे : गोल r = ६ : २८८π. लहान चेंडू r = २ : ३२π/३.
- मध्यम : n = २८८π ÷ (३२π/३) = २७.
- परीक्षेसाठी : गोलांसाठी शॉर्टकट : n = (R/r)³ = ३³ = २७.
नियम 2 : गोलाची तार — तार म्हणजे खूप लांब बारीक वृत्तचिती.
- सोपे : गोल r = ३ : ३६π cm³.
- मध्यम : तारेची त्रिज्या ०.१ cm : π × ०.०१ × L = ३६π, म्हणून L = ३६०० cm.
- परीक्षेसाठी : तार ३६ m लांब आहे.
आधी “जुने घनफळ = नवे घनफळ” लिहा; बाकी बीजगणित.
घनफळांऐवजी पृष्ठफळे सारखी मानणे.
"वितळवा, घनफळ तेच."
सरावासाठी प्रश्न
- 15 cm त्रिज्येची आणि 27 cm उंचीची ठोस वृत्तचिती वितळवून 3 cm त्रिज्येची नवी ठोस वृत्तचिती बनवली. नव्या वृत्तचितीची उंची (cm मध्ये) शोधा.
- 28 cm त्रिज्येची आणि 10 cm उंचीची ठोस वृत्तचिती वितळवून 2 cm त्रिज्येची नवी ठोस वृत्तचिती बनवली. नव्या वृत्तचितीची उंची (cm मध्ये) शोधा.
- 39 cm त्रिज्येची आणि 16 cm उंचीची ठोस वृत्तचिती वितळवून 12 cm त्रिज्येची नवी ठोस वृत्तचिती बनवली. नव्या वृत्तचितीची उंची (cm मध्ये) शोधा.
- 48 cm त्रिज्येचा आणि 40 cm उंचीचा ठोस धातूचा वृत्तचिती वितळवून 4 cm त्रिज्येचे गोल बनवले. असे किती गोल तयार होतील?
- 512 cm त्रिज्येचा आणि 80 cm उंचीचा ठोस धातूचा वृत्तचिती वितळवून 6 cm त्रिज्येचे गोल बनवले. असे किती गोल तयार होतील?
- 67 cm त्रिज्येची आणि 19 cm उंचीची ठोस वृत्तचिती वितळवून तितक्याच त्रिज्येचे आणि 19 cm उंचीचे ठोस शंकू बनवले. असे किती शंकू तयार होतील?
- 710 cm त्रिज्येचा ठोस गोल वितळवून 2 cm पायाची त्रिज्या असलेले 25 एकसारखे ठोस शंकू बनवले. प्रत्येक शंकूची उंची (cm मध्ये) शोधा.
- 86 cm, 8 cm व 10 cm त्रिज्यांचे तीन ठोस धातूचे गोल वितळवून एक ठोस गोल बनवला. नव्या गोलाची त्रिज्या (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 175
- 2160
- 39
- 430
- 540
- 63
- 740
- 812
पोकळ्या, विस्थापन व उपयोग
ग्लासातील पाण्यात दगड टाकला की पातळी वाढते; विस्थापित पाण्याचे घनफळ दगडाइतकेच.
पोकळी म्हणजे रिकामी जागा : घनफळ = बाहेरचा घन − पोकळी. पाण्यात पूर्ण बुडवलेला घन स्वतःच्या घनफळाइतके पाणी विस्थापित करतो, म्हणून पातळीतील वाढ × तळाचे क्षेत्रफळ = घनाचे घनफळ. पोकळ गोलाचे घनफळ ४/३ π (R³ − r³).
सूत्र : वाढ × तळाचे क्षेत्रफळ = घनफळ
आकृतीत : r = ३ चा चेंडू r = ६ च्या वृत्तचितीत पाणी ३६π ÷ ३६π = १ cm वर आणतो.
नियम 1 : पोकळी व पोकळ कवच — रिकामा भाग वजा करा.
- सोपे : वृत्तचिती r = ३, h = १० व अर्धगोल खळगा : ९०π − १८π = ७२π ≈ २२६.१ cm³ (π = ३.१४).
- मध्यम : पोकळ गोल R = ६, r = ३ : ४/३ π (२१६ − २७) = २५२π ≈ ७९१.३ cm³.
- परीक्षेसाठी : घनफळे वजा करा, त्रिज्या नाही.
नियम 2 : विस्थापित पाणी — वस्तूचे घनफळ = तळाचे क्षेत्रफळ × वाढ.
- सोपे : चेंडू r = ३ : घनफळ ३६π.
- मध्यम : वृत्तचिती r = ६ : तळ क्षेत्रफळ ३६π, म्हणून वाढ = १ cm.
- परीक्षेसाठी : असे बारा चेंडू टाकले तर १२ cm वाढ, पण टाकी पुरेशी उंच हवी.
विचारा : मला हवे असलेले घनफळ आतले, बाहेरचे की फरक?
पातळीतील वाढ हेच घनफळ मानणे; वाढ × तळ क्षेत्रफळ हवे.
"बाहेरचे वजा रिकामे; वाढ गुणिले तळ."
सरावासाठी प्रश्न
- 16 cm त्रिज्येचा ठोस गोल 12 cm त्रिज्येच्या पाणी असलेल्या वृत्तचितीय भांड्यात टाकला; तो पूर्ण बुडाला. पाण्याची पातळी किती cm ने वाढेल?
- 210 cm त्रिज्येच्या आणि 30 cm उंचीच्या ठोस वृत्तचितीतून तोच पाया आणि तीच उंची असलेली शंकूच्या आकाराची पोकळी काढली. उरलेल्या घनाकृतीचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 39 cm त्रिज्येच्या आणि 7 cm उंचीच्या ठोस वृत्तचितीतून तोच पाया आणि तीच उंची असलेली शंकूच्या आकाराची पोकळी काढली. उरलेल्या घनाकृतीचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 426 cm उंचीच्या आणि 4 cm पायाच्या त्रिज्येच्या ठोस वृत्तचितीच्या दोन्ही टोकांतून 4 cm त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल पोखरून लाकडी वस्तू बनवली. उरलेल्या लाकडाचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 5प्रत्येकी 3 cm त्रिज्येच्या 72 गोट्या 12 cm त्रिज्येच्या पाणी असलेल्या वृत्तचितीय बरणीत टाकल्या आणि सर्व बुडाल्या. पाण्याच्या पातळीतील वाढ (cm मध्ये) शोधा.
- 614 cm उंचीच्या आणि 7 cm पायाच्या त्रिज्येच्या ठोस वृत्तचितीच्या दोन्ही टोकांतून 7 cm त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल पोखरून लाकडी वस्तू बनवली. उरलेल्या लाकडाचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 733 cm उंचीच्या आणि 9 cm पायाच्या त्रिज्येच्या ठोस वृत्तचितीच्या दोन्ही टोकांतून 9 cm त्रिज्येचा एक एक अर्धगोल पोखरून लाकडी वस्तू बनवली. उरलेल्या लाकडाचे घनफळ (cm³ मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 87 cm पायाची त्रिज्या आणि 17 cm उंचीच्या ठोस वृत्तचितीतून तोच पाया आणि तीच उंची असलेली शंकूच्या आकाराची पोकळी काढली. पोकळीच्या घनफळाचे उरलेल्या घनाकृतीच्या घनफळाशी गुणोत्तर शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12
- 22000π
- 3378π
- 4992π/3
- 518
- 6686π/3
- 71701π
- 81 : 2