वर्गाचा मध्य, वर्गाची रुंदी व मध्याचे सूत्र
शिक्षिकेकडे २० विद्यार्थ्यांचे गुण ०–१०, १०–२० अशा गटांत आहेत. प्रत्येकाचा गुण दिसत नाही, म्हणून गटातील सर्वांचे गुण त्या गटाच्या मध्यावर आहेत असे धरते.
वर्गीकृत सामग्रीत प्रत्येक वर्गाचा वर्गाचा मध्य x = (खालची सीमा + वरची सीमा) ÷ २ व वर्गाची रुंदी h = वरची − खालची. मध्य म्हणजे Σfx ÷ Σf, जिथे f ही त्या वर्गाची वारंवारता.
सूत्र : मध्य = Σfx ÷ Σf
आकृतीत : रुंदी १० चे वर्ग, वारंवारता २, ३, ६, ५, ४; वर्गमध्य ५ ते ४५; मध्य २८.
नियम 1 : वर्गाचा मध्य व रुंदी — दोन सीमा मिळवून निम्मे करा; रुंदीसाठी वजा करा.
- सोपे : वर्ग २०–३० : x = (२० + ३०) ÷ २ = २५.
- मध्यम : वर्ग २०–३० : h = ३० − २० = १०.
- परीक्षेसाठी : वर्ग १५–२५ : x = २०, h = १०.
नियम 2 : मध्य फक्त अंदाज का — वर्गात नेमकी किंमत माहीत नसते, म्हणून x सर्वांचे प्रतिनिधित्व करतो.
- सोपे : Σf म्हणजे एकूण निरीक्षणे, N.
- मध्यम : प्रत्येक गुणाकार fx म्हणजे “वारंवारता गुणिले वर्गमध्य”.
- परीक्षेसाठी : उत्तर पहिल्या व शेवटच्या वर्गमध्याच्या दरम्यान असते.
मध्य सर्वात लहान व सर्वात मोठ्या वर्गमध्याच्या दरम्यान आहे का ते तपासा.
Σfx मध्ये वर्गमध्याऐवजी वर्गाच्या सीमा वापरणे.
"वारंवारता गुणिले मध्य, भागिले एकूण."
सरावासाठी प्रश्न
- 125–31 या वर्गांतराची वर्गरुंदी (वर्गमाप) शोधा.
- 234–36 या वर्गांतराचा वर्गमध्य शोधा.
- 3105–111 या वर्गांतराची वर्गरुंदी (वर्गमाप) शोधा.
- 4एका वितरणाची वर्गांतरे 300–320, 320–340, 340–360, 360–380 अशी आहेत. पहिल्या वर्गाचा वर्गमध्य शोधा.
- 5एका वितरणाची वर्गांतरे 50–60, 60–70, 70–80, 80–90 अशी आहेत. दुसऱ्या वर्गाचा वर्गमध्य शोधा.
- 6एका वितरणाची वर्गांतरे 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45 अशी आहेत. चौथ्या वर्गाचा वर्गमध्य शोधा.
- 7समान रुंदीच्या तीन लगतच्या वर्गांचे वर्गमध्य 74, 82 आणि 90 आहेत. पहिले वर्गांतर शोधा.
- 8एका गटबद्ध सामग्रीसाठी Σfᵢxᵢ = 2944 आणि Σfᵢ = 32 आहे. मध्यमान शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 235
- 36
- 4310
- 565
- 637.5
- 770–78
- 892
प्रत्यक्ष पद्धत
दुकानदार दिवसाची बिले गटांत लावतो, प्रत्येक गटाच्या मध्य बिलाला बिलांच्या संख्येने गुणतो, सर्व मिळवतो व बिलांच्या एकूण संख्येने भागतो.
प्रत्यक्ष पद्धतीत x, f व fx असे स्तंभ बनवा. f स्तंभाची बेरीज Σf व fx स्तंभाची बेरीज Σfx; मग भागा : मध्य = Σfx ÷ Σf. संख्या लहान असताना ही पद्धत सोपी.
सूत्र : मध्य = Σfx ÷ Σf
आकृतीत : Σf = २०, Σfx = ५६०, म्हणून मध्य २८.
प्रत्यक्ष पद्धत
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : तक्ता बनवा — प्रत्येक वर्गाचा x, मग fx काढा.
- सोपे : वर्ग ०–१० … ४०–५० चे x = ५, १५, २५, ३५, ४५.
- मध्यम : f = २, ३, ६, ५, ४ असताना fx = १०, ४५, १५०, १७५, १८०.
- परीक्षेसाठी : Σf = २० व Σfx = ५६०.
नियम 2 : भागा व तपासा — मध्य डेटाला साजेसा दिसला पाहिजे.
- सोपे : मध्य = ५६० ÷ २० = २८.
- मध्यम : २८ हा वर्ग २०–३० मध्ये आहे, जिथे मोठ्या वारंवारता आहेत.
- परीक्षेसाठी : f ची चुकीची बेरीज ही सर्वात सामान्य चूक.
प्रत्येक स्तंभ दोनदा मिळवा; चुकीचे Σf किंवा Σfx पूर्ण उत्तर बिघडवते.
Σfx ला वर्गांच्या संख्येने भागणे, Σf ने नव्हे.
"गुणा, मिळवा, एकूण वारंवारतेने भागा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 7, 4, 1, 8; तुकडी B ची वारंवारता 8, 8, 3, 1. कोणत्या तुकडीचे मध्यमान जास्त आहे?
- 2गटबद्ध सामग्रीचे मध्यमान 274 असून Σfᵢ = 40 आहे. Σfᵢxᵢ शोधा.
- 3दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 5, 5, 7, 3; तुकडी B ची वारंवारता 2, 7, 2, 9. कोणत्या तुकडीचे मध्यमान जास्त आहे?
- 4गटबद्ध सामग्रीचे मध्यमान 332 असून Σfᵢ = 50 आहे. Σfᵢxᵢ शोधा.
- 5गटबद्ध सामग्रीचे मध्यमान 97 असून Σfᵢ = 50 आहे. Σfᵢxᵢ शोधा.
- 6दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 2, 1, 2, 15; तुकडी B ची वारंवारता 6, 7, 1, 6. कोणत्या तुकडीचे मध्यमान जास्त आहे?
- 7दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 1, 4, 10, 5; तुकडी B ची वारंवारता 3, 5, 4, 8. कोणत्या तुकडीचे मध्यमान जास्त आहे?
- 8गटबद्ध सामग्रीचे मध्यमान 47.3 असून Σfᵢ = 100 आहे. Σfᵢxᵢ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1तुकडी A
- 210960
- 3तुकडी B
- 416600
- 54850
- 6तुकडी A
- 7तुकडी A
- 84730
गृहीत मध्य पद्धत
२८, ३१, २९ झटकन मिळवायला ३० पासून सुरुवात करून −२, +१, −१ मिळवतो; लहान संख्या सोप्या.
मधला एक वर्गमध्य गृहीत मध्य A म्हणून निवडा. प्रत्येक वर्गाचे विचलन d = x − A काढा. मग मध्य = A + Σfd ÷ Σf. सर्वात मोठी वारंवारता असलेला वर्ग निवडला तर d स्तंभ लहान राहतो.
सूत्र : मध्य = A + Σfd ÷ Σf
आकृतीत : A = २५ : Σfd = ६०, म्हणून मध्य २५ + ६०/२० = २८.
नियम 1 : विचलने व fd — गृहीत वर्गाचे विचलन नेहमी ० असते.
- सोपे : A = २५ : d = −२०, −१०, ०, १०, २०.
- मध्यम : fd = −४०, −३०, ०, ५०, ८०; Σfd = ६०.
- परीक्षेसाठी : उणे चिन्हे ठेवा; ती बेरजेचा काही भाग कमी करतात.
नियम 2 : कोणताही A घेतला तरी मध्य तोच — ही पद्धत फक्त जवळची वाट आहे.
- सोपे : A = १५ : d = −१०, ०, १०, २०, ३०; Σfd = −२० + ० + ६० + १०० + १२० = २६०.
- मध्यम : मध्य = १५ + २६०/२० = २८ पुन्हा.
- परीक्षेसाठी : संख्या लहान ठेवायला A मधून निवडा.
तपासा : A म्हणून निवडलेल्या वर्गाचे विचलन शून्य हवे.
शेवटी A परत मिळवायला विसरणे.
"अंदाजापासून सुरू, सरासरी फरक मिळवा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्गमध्य 110, 130, 150, 170, 190, 210 असलेल्या वितरणासाठी कल्पित मध्य a = 170 आहे. वर्गमध्य 150 साठी विचलन d = x − a शोधा.
- 2वर्गमध्य 30, 50, 70, 90 असलेल्या वितरणासाठी कल्पित मध्य a = 70 आहे. वर्गमध्य 50 साठी विचलन d = x − a शोधा.
- 3वर्गमध्य 2.5, 7.5, 12.5, 17.5 असलेल्या वितरणासाठी कल्पित मध्य a = 12.5 आहे. वर्गमध्य 2.5 साठी विचलन d = x − a शोधा.
- 4वर्गमध्य 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5, 37.5 असलेल्या वितरणासाठी कल्पित मध्य a = 32.5 आहे. वर्गमध्य 22.5 साठी विचलन d = x − a शोधा.
- 5वर्गमध्य 55, 65, 75, 85, 95, 105 असलेल्या वितरणासाठी कल्पित मध्य a = 85 आहे. वर्गमध्य 55 साठी विचलन d = x − a शोधा.
- 6कल्पित मध्य 55 घेतल्यास Σfᵢdᵢ = −15 आणि Σfᵢ = 25 आहे. कल्पित मध्य 75 केल्यास नवा Σfᵢdᵢ किती?
- 7कल्पित मध्य पद्धतीने मध्यमान = 20.24, Σfᵢdᵢ = 62 आणि Σfᵢ = 50 आहे. कल्पित मध्य a शोधा.
- 8कल्पित मध्य पद्धतीने मध्यमान = 38.92, Σfᵢdᵢ = 73 आणि Σfᵢ = 25 आहे. कल्पित मध्य a शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−20
- 2−20
- 3−10
- 4−10
- 5−30
- 6−515
- 719
- 836
पद-विचलन पद्धत
सर्व विचलने १० चे पट असतील तर त्यांना १० ने भागून −२, −१, ०, १, २ अशा लहान संख्या मिळतात.
सर्व वर्गांची रुंदी h सारखी असेल तर पद-विचलन u = (x − A) ÷ h वापरा. मग मध्य = A + h × Σfu ÷ Σf. मोठ्या वर्गमध्यांसाठी ही सर्वात जलद पद्धत.
सूत्र : मध्य = A + h × Σfu ÷ Σf
आकृतीत : A = २५, h = १० : Σfu = ६, मध्य = २५ + १० × ६/२० = २८.
नियम 1 : u स्तंभ बनवा — प्रत्येक विचलन h ने भागा.
- सोपे : d = −२०, −१०, ०, १०, २० ÷ १० = u = −२, −१, ०, १, २.
- मध्यम : fu = −४, −३, ०, ५, ८; Σfu = ६.
- परीक्षेसाठी : गृहीत वर्गाचा u = ० असतो.
नियम 2 : h ने परत गुणा — ही पद्धत संख्या लहान करते, म्हणून h ने परत गुणा.
- सोपे : मध्य = २५ + १० × ६/२० = २५ + ३ = २८.
- मध्यम : तिन्ही पद्धतींनी २८ येतो, म्हणून कोणतीही वापरा.
- परीक्षेसाठी : समान रुंदी हवी; नाहीतर गृहीत मध्य पद्धत वापरा.
उत्तर प्रत्यक्ष पद्धतीपेक्षा वेगळे आले तर u चे चिन्ह व h ची गुणाकार तपासा.
Σfu ÷ Σf ला h ने गुणायला विसरणे.
"h ने लहान करा, मग h ने मोठे."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्गरुंदी 10 आणि कल्पित मध्य a = 45 असताना वर्गमध्य 55 साठी uᵢ = (xᵢ − a)/h शोधा.
- 2वर्गरुंदी 15 आणि कल्पित मध्य a = 82.5 असताना वर्गमध्य 67.5 साठी uᵢ = (xᵢ − a)/h शोधा.
- 3वर्गरुंदी 15 आणि कल्पित मध्य a = 72.5 असताना वर्गमध्य 87.5 साठी uᵢ = (xᵢ − a)/h शोधा.
- 4वर्गरुंदी 10 आणि कल्पित मध्य a = 65 असताना वर्गमध्य 55 साठी uᵢ = (xᵢ − a)/h शोधा.
- 5पायरी-विचलन पद्धतीने मध्यमान = 44, a = 40, Σfᵢuᵢ = 4 आणि Σfᵢ = 20 आहे. वर्गरुंदी h शोधा.
- 6पायरी-विचलन गणनेत a = 20, h = 15, Σfᵢuᵢ = 40 आणि Σfᵢ = 20 आहे. मध्यमान शोधा.
- 7पायरी-विचलन गणनेत a = 50, h = 25, Σfᵢuᵢ = 18 आणि Σfᵢ = 25 आहे. मध्यमान शोधा.
- 8पायरी-विचलन गणनेत a = 90, h = 25, Σfᵢuᵢ = 12 आणि Σfᵢ = 20 आहे. मध्यमान शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11
- 2−1
- 31
- 4−1
- 520
- 650
- 768
- 8105
गहाळ वारंवारता व उपयोग
२० विद्यार्थ्यांचे रजिस्टर फाटले आणि एक वारंवारता गेली, तरी मुखपृष्ठावर लिहिलेल्या मध्यावरून ती मिळते.
मध्य दिलेला असून एक वारंवारता गहाळ असेल तर तिला x म्हणा, Σfx व Σf x च्या रूपात लिहा आणि Σfx ÷ Σf = मध्य हे समीकरण मांडा. x सोडवा. वारंवारता पूर्णांक यायला हवी.
सूत्र : Σfx ÷ Σf = मध्य
आकृतीत : वारंवारता २, x, ६, ५, ४ व मध्य २८ वरून x = ३.
नियम 1 : गहाळ वारंवारता काढा — x चे पद व संख्या वेगळ्या ठेवा.
- सोपे : वर्ग ०–१० … ४०–५०, f = २, x, ६, ५, ४ : Σf = १७ + x.
- मध्यम : Σfx = १० + १५x + १५० + १७५ + १८० = ५१५ + १५x.
- परीक्षेसाठी : ५१५ + १५x = २८(१७ + x) = ४७६ + २८x, म्हणून १३x = ३९ व x = ३.
नियम 2 : उपयोग — मजुरी, उंची व धावा यांची सरासरी ही सर्व वर्गीकृत मध्याची उदाहरणे.
- सोपे : उत्तर तपासा : x = ३ घालून Σf = २०, Σfx = ५६०, मध्य २८.
- मध्यम : ३.५ सारखी वारंवारता म्हणजे चूक : विद्यार्थी पूर्ण संख्या असतात.
- परीक्षेसाठी : मजुरी, उंची व वय यांसाठी तेच टप्पे.
उत्तर तक्त्यात परत घालून मध्य पुन्हा काढा.
x ला Σf मध्ये घेणे पण Σfx मध्ये विसरणे.
"दोन्ही बेरजांमध्ये तोच अज्ञात."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्गांतरे 30–35, 35–40, 40–45, 45–50 साठी वारंवारता अनुक्रमे 11, 36, 2, p असून एकूण वारंवारता 50 आहे. p शोधा.
- 2वर्गांतरे 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70, 70–80 साठी वारंवारता अनुक्रमे p, 13, 2, 12, 4, 8 असून एकूण वारंवारता 50 आहे. p शोधा.
- 3वर्गांतरे 10–20, 20–30, 30–40, 40–50, 50–60 साठी वारंवारता अनुक्रमे 1, 14, p, 1, 2 असून एकूण वारंवारता 20 आहे. p शोधा.
- 4वर्गांतरे 120–160, 160–200, 200–240, 240–280, 280–320, 320–360 साठी वारंवारता अनुक्रमे 3, 14, 3, 3, 15, p असून एकूण वारंवारता 40 आहे. p शोधा.
- 530 विद्यार्थ्यांच्या गटाचे मध्यमान गुण 89 आणि 10 विद्यार्थ्यांच्या दुसऱ्या गटाचे मध्यमान गुण 65 आहेत. सर्व 40 विद्यार्थ्यांचे मध्यमान शोधा.
- 630 विद्यार्थ्यांच्या गटाचे मध्यमान गुण 41 आणि 30 विद्यार्थ्यांच्या दुसऱ्या गटाचे मध्यमान गुण 75 आहेत. सर्व 60 विद्यार्थ्यांचे मध्यमान शोधा.
- 740 विद्यार्थ्यांच्या गटाचे मध्यमान गुण 85 आणि 60 विद्यार्थ्यांच्या दुसऱ्या गटाचे मध्यमान गुण 65 आहेत. सर्व 100 विद्यार्थ्यांचे मध्यमान शोधा.
- 8काही निरीक्षणांचे मध्यमान 103 आहे. प्रत्येक निरीक्षण 7 ने वाढवले तर नवे मध्यमान किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11
- 211
- 32
- 42
- 583
- 658
- 773
- 8110