बहुलक वर्ग व बहुलकाच्या सूत्रातील चिन्हे
दुकानात सर्वात जास्त खपणारा बुटाचा आकार म्हणजे बहुलक. वर्गीकृत सामग्रीत आधी सर्वात गर्दीचा वर्ग शोधतात, मग शेजाऱ्यांवरून बहुलक त्या वर्गात ठेवतात.
बहुलक वर्ग म्हणजे सर्वात मोठी वारंवारता असलेला वर्ग. बहुलक = l + ((f₁ − f₀) ÷ (२f₁ − f₀ − f₂)) × h, जिथे l बहुलक वर्गाची खालची सीमा, h रुंदी, f₁ त्याची वारंवारता, f₀ आधीच्या वर्गाची व f₂ नंतरच्या वर्गाची वारंवारता.
सूत्र : बहुलक = l + ((f₁ − f₀) ÷ (२f₁ − f₀ − f₂)) × h
आकृतीत : वारंवारता ३, ४, १०, ६, ५ : बहुलक वर्ग २०–३०.
नियम 1 : प्रत्येक चिन्हाचा अर्थ — तीन वारंवारता व बहुलक वर्गाच्या दोन संख्या.
- सोपे : f₁ = १० ही बहुलक वर्गाची वारंवारता.
- मध्यम : f₀ = ४ हे आधीच्या वर्गाचे, १०–२०.
- परीक्षेसाठी : f₂ = ६ हे नंतरच्या वर्गाचे, ३०–४०.
नियम 2 : शेजारी का महत्त्वाचे — बहुलक जास्त गर्दीच्या शेजाऱ्याकडे झुकतो.
- सोपे : f₀ हे f₂ पेक्षा मोठे असेल तर बहुलक खालच्या टोकाकडे सरकतो.
- मध्यम : f₂ मोठे असेल तर वरच्या टोकाकडे.
- परीक्षेसाठी : f₀ = f₂ असेल तर बहुलक वर्गाच्या अगदी मध्यावर.
बहुलक बहुलक वर्गाच्या आत आहे का ते तपासा.
f₀ व f₂ उलटे लिहिणे.
"आधी, सर्वात मोठी, नंतर : f₀, f₁, f₂."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका वितरणाचा बहुलक वर्ग 60–70 आहे. त्याची वर्गरुंदी h सांगा.
- 2एका वितरणाचा बहुलक वर्ग 90–100 आहे. त्याची खालची मर्यादा l सांगा.
- 3एका वितरणाचा बहुलक वर्ग 165–180 आहे. त्याची वरची मर्यादा सांगा.
- 4एका गटबद्ध वितरणाच्या बहुलक वर्गासाठी l = 150, h = 15, f₁ = 31, f₀ = 7, f₂ = 10 आहे. बहुलक शोधा.
- 5एका गटबद्ध वितरणाच्या बहुलक वर्गासाठी l = 180, h = 15, f₁ = 28, f₀ = 2, f₂ = 4 आहे. बहुलक शोधा.
- 6बहुलक वर्गासाठी f₁ = 13, f₀ = 2, f₂ = 3 आहे. बहुलक सूत्रातील छेद 2f₁ − f₀ − f₂ शोधा.
- 7बहुलक वर्गासाठी f₁ = 29, f₀ = 22, f₂ = 2 आहे. बहुलक सूत्रातील छेद 2f₁ − f₀ − f₂ शोधा.
- 8बहुलक वर्गासाठी f₁ = 16, f₀ = 13, f₂ = 9 आहे. बहुलक सूत्रातील छेद 2f₁ − f₀ − f₂ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 110
- 290
- 3180
- 4158
- 5187.8
- 621
- 734
- 810
बहुलक वर्ग, f₀, f₁, f₂ शोधणे
वारंवारता स्तंभात सर्वात उंच स्तंभ पाहा; त्याचा डावीकडचा शेजारी f₀ व उजवीकडचा f₂.
सर्वात मोठी f शोधा; तो वर्ग बहुलक वर्ग व त्याची वारंवारता f₁. तक्त्यात त्याच्या वरची वारंवारता f₀ व खालची f₂. बहुलक वर्ग पहिला असेल तर f₀ = ०; शेवटचा असेल तर f₂ = ०.
आकृतीत : f₁ = १० (वर्ग २०–३०), f₀ = ४ (वर्ग १०–२०), f₂ = ६ (वर्ग ३०–४०).
नियम 1 : तीन वारंवारता निवडा — सर्वात मोठ्या वारंवारतेपासून सुरुवात करा.
- सोपे : f = ३, ४, १०, ६, ५ : सर्वात मोठी १०, म्हणून f₁ = १०.
- मध्यम : वरच्या वर्गात ४, म्हणून f₀ = ४.
- परीक्षेसाठी : खालच्या वर्गात ६, म्हणून f₂ = ६.
नियम 2 : टोकाची प्रकरणे — नसलेला शेजारी शून्य धरतात.
- सोपे : f = ९, ६, ४, २ : बहुलक वर्ग पहिला, f₀ = ०.
- मध्यम : f = २, ५, ८ : बहुलक वर्ग शेवटचा, f₂ = ०.
- परीक्षेसाठी : दोन समान मोठ्या वारंवारता असतील तर दोन बहुलक वर्ग; प्रश्नात अधिक माहिती असते.
आधी सर्वात मोठी वारंवारता अधोरेखित करा, मग दोन शेजारी गोल करा.
सर्वात मोठी वारंवारता नव्हे, तर सर्वात मोठा वर्गमध्य असलेला वर्ग घेणे.
"सर्वात उंच स्तंभ, त्याचे दोन शेजारी."
सरावासाठी प्रश्न
- 1कामगारांच्या रोजच्या मजुरीचे (₹ मध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 300–320, 320–340, 340–360, 360–380, 380–400 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 6, 7, 6, 8, 5. बहुलक वर्ग शोधा.
- 2कामगारांच्या रोजच्या मजुरीचे (₹ मध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 300–310, 310–320, 320–330, 330–340, 340–350 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 3, 23, 13, 5, 6. f₀ (बहुलक वर्गाच्या आधीच्या वर्गाची वारंवारता) शोधा.
- 3विद्यार्थ्यांच्या गुणांचे खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 2, 9, 5, 1, 3. f₀ (बहुलक वर्गाच्या आधीच्या वर्गाची वारंवारता) शोधा.
- 4व्यक्तींच्या वयाचे (वर्षांत) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 10–15, 15–20, 20–25, 25–30, 30–35 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 1, 2, 1, 14, 2. f₂ (बहुलक वर्गाच्या नंतरच्या वर्गाची वारंवारता) शोधा.
- 5व्यक्तींच्या वयाचे (वर्षांत) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 2, 11, 4, 1, 2. बहुलक वर्ग शोधा.
- 6घरांच्या मासिक वीजवापराचे (युनिटमध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 100–120, 120–140, 140–160, 160–180 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 1, 5, 1, 1. f₁ (बहुलक वर्गाची वारंवारता) शोधा.
- 7कामगारांच्या रोजच्या मजुरीचे (₹ मध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 200–220, 220–240, 240–260, 260–280, 280–300, 300–320 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 13, 21, 11, 40, 10, 5. बहुलक वर्ग शोधा.
- 8विद्यार्थ्यांच्या गुणांचे खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 0–5, 5–10, 10–15, 15–20, 20–25 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 1, 2, 4, 2, 1. f₁ (बहुलक वर्गाची वारंवारता) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1360–380
- 23
- 32
- 42
- 530–40
- 65
- 7260–280
- 84
तक्त्यावरून बहुलक काढणे
तीन वारंवारता कळल्या की बहुलक वरती एक वजाबाकी, खाली एक वजाबाकी व रुंदीने गुणाकार एवढ्यातच मिळतो.
l, h, f₁, f₀, f₂ हे बहुलक = l + ((f₁ − f₀) ÷ (२f₁ − f₀ − f₂)) × h मध्ये घाला. छेद म्हणजे दोन फरकांची बेरीज, f₁ − f₀ व f₁ − f₂.
सूत्र : बहुलक = l + ((f₁ − f₀) ÷ (२f₁ − f₀ − f₂)) × h
आकृतीत : बहुलक = २० + ६ ÷ (२० − ४ − ६) × १० = २६.
तक्त्यावरून बहुलक काढणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : सोडवलेले उदाहरण १ — वर्ग ०–१० … ४०–५० व f = ३, ४, १०, ६, ५.
- सोपे : l = २०, h = १०, f₁ = १०, f₀ = ४, f₂ = ६.
- मध्यम : अंश १० − ४ = ६; छेद २० − ४ − ६ = १०.
- परीक्षेसाठी : बहुलक = २० + (६/१०) × १० = २६.
नियम 2 : सोडवलेले उदाहरण २ — वर्ग १०–२० … ४०–५० व f = ५, १२, ८, ३.
- सोपे : बहुलक वर्ग २०–३० : l = २०, f₁ = १२, f₀ = ५, f₂ = ८.
- मध्यम : बहुलक = २० + ७/(२४ − ५ − ८) × १० = २० + ७०/११.
- परीक्षेसाठी : बहुलक ≈ २० + ६.३६ = २६.३६.
भागण्याआधी अंश व छेद वेगळे लिहा.
छेदात २f₁ − f₀ − f₂ ऐवजी f₁ − f₀ − f₂ घेणे.
"वरचा फरक भागिले एकूण फरक, गुणिले रुंदी."
सरावासाठी प्रश्न
- 1विद्यार्थ्यांच्या वजनाचे (किग्रॅ मध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 40–50, 50–60, 60–70, 70–80 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 15, 5, 20, 10. या सामग्रीचा बहुलक शोधा.
- 2विद्यार्थ्यांच्या वजनाचे (किग्रॅ मध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 40–50, 50–60, 60–70, 70–80 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 7, 10, 1, 2. या सामग्रीचा बहुलक शोधा.
- 3घरांच्या मासिक वीजवापराचे (युनिटमध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 60–100, 100–140, 140–180, 180–220 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 2, 4, 16, 3. या सामग्रीचा बहुलक शोधा.
- 4विद्यार्थ्यांच्या गुणांचे खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 8, 1, 1, 9, 1. या सामग्रीचा बहुलक शोधा.
- 5कामगारांच्या रोजच्या मजुरीचे (₹ मध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 200–250, 250–300, 300–350, 350–400, 400–450 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 11, 1, 11, 12, 5. या सामग्रीचा बहुलक शोधा.
- 6घरांच्या मासिक वीजवापराचे (युनिटमध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 60–100, 100–140, 140–180, 180–220 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 2, 9, 13, 1. या सामग्रीचा बहुलक शोधा.
- 7कामगारांच्या रोजच्या मजुरीचे (₹ मध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 200–210, 210–220, 220–230, 230–240 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 2, 9, 6, 3. या सामग्रीचा बहुलक शोधा.
- 8घरांच्या मासिक वीजवापराचे (युनिटमध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 100–140, 140–180, 180–220, 220–260 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 7, 1, 11, 1. या सामग्रीचा बहुलक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 166
- 252.5
- 3159.2
- 435
- 5356.25
- 6150
- 7217
- 8200
बहुलकाच्या सूत्रावरून उलटे हिशोब
बहुलक माहीत असून एका शेजाऱ्याची वारंवारता हरवली, तर समीकरण हरवलेली संख्या सांगते.
अज्ञात वारंवारता x लिहा, ती बहुलकाच्या सूत्रात घाला, निकाल दिलेल्या बहुलकाइतका मांडा व समीकरण सोडवा. उत्तर पूर्णांक असावे आणि बहुलक वर्ग बदलू नये.
सूत्र : सोडवा : l + ((f₁ − f₀) ÷ (२f₁ − f₀ − f₂)) × h = बहुलक
आकृतीत : बहुलक २६, f₁ = १०, f₂ = ६ वरून f₀ = ४.
नियम 1 : f₀ काढा — बहुलक वर्ग २०–३० व बहुलक २६ दिलेला.
- सोपे : (१० − x) ÷ (२० − x − ६) × १० = २६ − २० = ६.
- मध्यम : १० − x = ०.६ (१४ − x) = ८.४ − ०.६x.
- परीक्षेसाठी : १.६ = ०.४x, म्हणून x = ४.
नियम 2 : पडताळा — किंमत परत घालून बहुलक पुन्हा काढा.
- सोपे : f₀ = ४ घालून : बहुलक = २० + ६/१० × १० = २६.
- मध्यम : १० सर्वात मोठी असल्याने २०–३० अजूनही बहुलक वर्ग.
- परीक्षेसाठी : उत्तर ४ पूर्णांक आहे.
दिलेला बहुलक येतो का हे उत्तर परत घालून पाहा.
अज्ञात किंमतीने बहुलक वर्ग बदलतो का ते न तपासणे.
"समीकरण मांडा, सोडवा, परत घाला."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका वितरणाची वर्गरुंदी 20, f₁ = 23, f₀ = 10, f₂ = 11 आणि बहुलक 110.4 आहे. बहुलक वर्गाची खालची मर्यादा l शोधा.
- 2एका वितरणाची वर्गरुंदी 10, f₁ = 10, f₀ = 9, f₂ = 6 आणि बहुलक 42 आहे. बहुलक वर्गाची खालची मर्यादा l शोधा.
- 3एका वितरणाची वर्गरुंदी 10, f₁ = 13, f₀ = 10, f₂ = 8 आणि बहुलक 83.75 आहे. बहुलक वर्गाची खालची मर्यादा l शोधा.
- 4एका वितरणाचा बहुलक वर्ग 50–60 असून f₀ = 15, f₂ = 9 आहे. बहुलक 53.75 असल्यास f₁ शोधा.
- 5एका वितरणाची वर्गरुंदी 20, f₁ = 10, f₀ = 5, f₂ = 7 आणि बहुलक 152.5 आहे. बहुलक वर्गाची खालची मर्यादा l शोधा.
- 6एका वितरणाचा बहुलक वर्ग 180–200 असून f₀ = 13, f₂ = 13 आहे. बहुलक 190 असल्यास f₁ शोधा.
- 760–80 या बहुलक वर्गाच्या दोन्ही शेजारच्या वर्गांच्या वारंवारता समान (f₀ = f₂ = 14) असून f₁ = 28 आहे. बहुलक शोधा.
- 8वर्गांतरे 300–310, 310–320, 320–330, 330–340, 340–350 ची वारंवारता 13, 11, x, 2, 4 असून बहुलक 323.2 आहे आणि बहुलक वर्गाची वारंवारता x आहे. x शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1100
- 240
- 380
- 424
- 5140
- 619
- 770
- 819
मध्य, मध्यक, बहुलक यांचे नाते व उपयोग
घंटेसारख्या नीटनेटक्या सामग्रीत तिन्ही सरासरी एकत्र; एकतर्फी सामग्रीत त्या ठराविक क्रमाने विखुरतात.
थोड्या एकतर्फी वितरणासाठी अनुभवजन्य सूत्र बहुलक = ३ × मध्यक − २ × मध्य. इतर दोन माहीत असताना तिसरे काढायला वापरा. “सर्वात सामान्य” प्रश्नांना बहुलक, बेरजेच्या प्रश्नांना मध्य व टोकाच्या किंमती असल्यास मध्यक.
सूत्र : बहुलक = ३ मध्यक − २ मध्य
आकृतीत : मध्यक २२ व मध्य २४ वरून बहुलक = ६६ − ४८ = १८.
नियम 1 : नाते वापरा — जे अज्ञात असेल त्यासाठी सूत्र उलटे करा.
- सोपे : मध्य २४, मध्यक २२ : बहुलक = ३ × २२ − २ × २४ = १८.
- मध्यम : बहुलक १८, मध्य २४ : मध्यक = (१८ + ४८) ÷ ३ = २२.
- परीक्षेसाठी : बहुलक १८, मध्यक २२ : मध्य = (६६ − १८) ÷ २ = २४.
नियम 2 : कोणती सरासरी कुठे — प्रश्नाला योग्य सरासरी जोडा.
- सोपे : दुकान सर्वाधिक खपणारा बुटाचा आकार मागवते : बहुलक.
- मध्यम : वर्गाचे एकूण गुण : मध्य.
- परीक्षेसाठी : काही घरे खूप महाग असताना सामान्य घराची किंमत : मध्यक.
हे नाते फक्त तपासणीसाठी किंवा थोड्या एकतर्फी सामग्रीसाठी वापरा.
३ × मध्यक − २ × मध्य मध्ये मध्य व मध्यक अदलाबदल करणे.
"बहुलक : तीन मध्यक वजा दोन मध्य."
सरावासाठी प्रश्न
- 1मध्यम वक्रतेच्या वितरणाचे मध्यमान 44 आणि मध्यगा 40 आहे. अनुभवजन्य संबंधाने बहुलक शोधा.
- 2मध्यम वक्रतेच्या वितरणाचे मध्यमान 79 आणि मध्यगा 71 आहे. अनुभवजन्य संबंधाने बहुलक शोधा.
- 3मध्यम वक्रतेच्या वितरणाचे मध्यमान 64 आणि मध्यगा 56 आहे. अनुभवजन्य संबंधाने बहुलक शोधा.
- 4मध्यम वक्रतेच्या वितरणाचा बहुलक 34 आणि मध्यगा 44 आहे. मध्यमान शोधा.
- 5मध्यम वक्रतेच्या वितरणाचा बहुलक 64 आणि मध्यगा 44 आहे. मध्यमान शोधा.
- 6मध्यम वक्रतेच्या वितरणाचा बहुलक 79 आणि मध्यमान 43 आहे. मध्यगा शोधा.
- 7एका वर्गाच्या चाचणीतील गुणांचे मध्यमान 29 व मध्यगा 25 आहे. 3 मध्यगा = बहुलक + 2 मध्यमान वापरून बहुलकाचा अंदाज काढा.
- 8मध्यम वक्रतेच्या वितरणाचे मध्यमान 74 आणि मध्यगा 71 आहे. बहुलक + मध्यगा + मध्यमान ही बेरीज शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 132
- 255
- 340
- 449
- 534
- 655
- 717
- 8210