K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 10 · गणित

सांख्यिकी 13.4 : गटबद्ध सामग्रीची मध्यगा

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

मध्यक वर्ग, n/२ व मध्यकाचे सूत्र

रोजच्या जीवनातून

सर्व विद्यार्थी गुणांनुसार रांगेत उभे राहिले की मधला विद्यार्थी म्हणजे मध्यक. वर्गीकृत सामग्रीत आधी तो मधला विद्यार्थी ज्या वर्गात उभा आहे तो वर्ग शोधतात.

सोपी व्याख्या

मध्यक म्हणजे मधली किंमत. n/२ काढा; n/२ वे निरीक्षण ज्या वर्गात येते तो मध्यक वर्ग. मग मध्यक = l + ((n/२ − cf) ÷ f) × h, जिथे l मध्यक वर्गाची खालची सीमा, cf त्याच्या आधीच्या वर्गाची संचयी वारंवारता, f त्याची वारंवारता व h रुंदी.

सूत्र : मध्यक = l + ((n/२ − cf) ÷ f) × h

571012601020304050median class20–30l = 20, h = 10f = 10, cf = 12median =l + ((n/2 − cf) ÷ f) × h

आकृतीत : वारंवारता ५, ७, १०, १२, ६ : n = ४०, n/२ = २० हे वर्ग २०–३० मध्ये येते.

नियम 1 : प्रत्येक चिन्हाचा अर्थ — n खेरीज सर्व अक्षरे मध्यक वर्गाशी किंवा त्याच्या आधीच्या वर्गाशी संबंधित.

  • सोपे : n म्हणजे एकूण वारंवारता : ५ + ७ + १० + १२ + ६ = ४०.
  • मध्यम : l = २०, h = १०, f = १० हे वर्ग २०–३० चे.
  • परीक्षेसाठी : cf = १२ हे आधीच्या वर्गाचे, १०–२०.

नियम 2 : सूत्र का चालते — मधले निरीक्षण मध्यक वर्गात किती आत आहे ते मोजते.

  • सोपे : n/२ − cf = २० − १२ = ८ निरीक्षणे वर्गाच्या आत हवीत.
  • मध्यम : वर्गात f = १० निरीक्षणे व रुंदी h = १०.
  • परीक्षेसाठी : म्हणून रुंदीच्या ८/१० पुढे जातो : l + ८ = २८.
लक्षात ठेवा

मध्यक मध्यक वर्गाच्या आत आहे का ते तपासा.

सामान्य चूक

मध्यक वर्गाची नव्हे तर आधीच्या वर्गाची cf वापरायची.

आठवणीची युक्ती

"निम्मे एकूण, वर्गात पाऊल टाका."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1एका वितरणाची एकूण वारंवारता n = 100 आहे. n/2 शोधा.
  2. 2एका वितरणाची एकूण वारंवारता n = 20 आहे. n/2 शोधा.
  3. 3एका वितरणाची एकूण वारंवारता n = 40 आहे. n/2 शोधा.
मध्यम
  1. 4एका वितरणासाठी n = 60 असून मध्यगा वर्गासाठी l = 10, h = 10, f = 25, cf = 8 आहे. मध्यगा शोधा.
  2. 5वर्गांतरे 60–80, 80–100, 100–120, 120–140 यांची संचयी वारंवारता अनुक्रमे 8, 14, 17, 40 आहे. मध्यगा वर्ग शोधा.
  3. 6एका वितरणासाठी n = 120 असून मध्यगा वर्गासाठी l = 135, h = 15, f = 12, cf = 50 आहे. मध्यगा शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7एका वितरणासाठी n = 100 असून मध्यगा वर्गासाठी l = 100, h = 25, f = 10, cf = 43 आहे. मध्यगा शोधा.
  2. 8एका वितरणासाठी n = 120 असून मध्यगा वर्गासाठी l = 80, h = 20, f = 20, cf = 44 आहे. मध्यगा शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 150
  2. 210
  3. 320
  4. 418.8
  5. 5120–140
  6. 6147.5
  7. 7117.5
  8. 896

संचयी वारंवारता व मध्यक वर्ग

रोजच्या जीवनातून

विद्यार्थ्यांची चालू बेरीज : पहिल्या वर्गानंतर ५, दुसऱ्यानंतर ५ + ७ = १२, असे सर्व मोजले जाईपर्यंत.

सोपी व्याख्या

वर्गाची संचयी वारंवारता (cf) म्हणजे त्याची व त्याआधीच्या सर्व वर्गांची वारंवारता यांची बेरीज. शेवटची cf = n. n/२ पेक्षा कमी नसलेली cf असलेला पहिला वर्ग म्हणजे मध्यक वर्ग.

सूत्र : cf = f ची चालू बेरीज

classfcf0–105510–2071220–30102230–40123440–50640n = 40n/2 = 20first cf ≥ 20is 22 → class20–30

आकृतीत : cf = ५, १२, २२, ३४, ४०; २० पेक्षा कमी नसलेली पहिली cf २२, म्हणून मध्यक वर्ग २०–३०.

नियम 1 : cf स्तंभ बनवा — प्रत्येक f वरच्या cf मध्ये मिळवा.

  • सोपे : ५, मग ५ + ७ = १२, मग १२ + १० = २२.
  • मध्यम : मग २२ + १२ = ३४ व ३४ + ६ = ४०.
  • परीक्षेसाठी : शेवटची cf = n = ४० हवी.

नियम 2 : मध्यक वर्ग व त्याची cf निवडा — सूत्रातील cf वरच्या ओळीतील असते.

  • सोपे : n/२ = २०; cf १२ हे २० पेक्षा कमी, २२ जास्त, म्हणून वर्ग २०–३०.
  • मध्यम : सूत्रासाठी cf १२, म्हणजे २०–३० च्या वरच्या ओळीची.
  • परीक्षेसाठी : n/२ बरोबर एखादी cf असेल तर ती cf असलेला वर्ग मध्यक वर्ग.
लक्षात ठेवा

मध्यक वर्ग शोधण्याआधी शेवटची cf = n तपासा.

सामान्य चूक

n/२ वरून मिळणाऱ्या वर्गाऐवजी सर्वात मोठी वारंवारता असलेला वर्ग घेणे.

आठवणीची युक्ती

"चालू बेरीज निम्म्यावर पोहोचली : तोच वर्ग."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1वर्गांतरे 60–80, 80–100, 100–120, 120–140 यांची संचयी वारंवारता अनुक्रमे 6, 31, 35, 40 आहे. 100–120 या वर्गाची वारंवारता शोधा.
  2. 2वर्गांतरे 40–60, 60–80, 80–100, 100–120, 120–140 यांची संचयी वारंवारता अनुक्रमे 21, 22, 54, 62, 80 आहे. 60–80 या वर्गाची वारंवारता शोधा.
  3. 3वर्गांतरे 15–20, 20–25, 25–30, 30–35, 35–40 यांची संचयी वारंवारता अनुक्रमे 6, 12, 15, 38, 60 आहे. 30–35 या वर्गाची वारंवारता शोधा.
मध्यम
  1. 4वर्गांतरे 20–40, 40–60, 60–80, 80–100, 100–120, 120–140 यांची संचयी वारंवारता अनुक्रमे 12, 30, 32, 39, 58, 80 आहे. 60–80 या वर्गाची वारंवारता शोधा.
  2. 5वर्गांतरे 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45, 45–50 यांची संचयी वारंवारता अनुक्रमे 42, 43, 54, 69, 74, 80 आहे. 25–30 या वर्गाची वारंवारता शोधा.
  3. 6व्यक्तींच्या वयाचे (वर्षांत) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 10–15, 15–20, 20–25, 25–30 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 4, 10, 3, 3. n/2 शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7कामगारांच्या रोजच्या मजुरीचे (₹ मध्ये) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 300–310, 310–320, 320–330, 330–340, 340–350, 350–360 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 4, 13, 4, 4, 10, 5. n/2 शोधा.
  2. 8व्यक्तींच्या वयाचे (वर्षांत) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70, 70–80 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 2, 4, 2, 3, 2, 3. 50–60 या वर्गाची संचयी वारंवारता शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14
  2. 21
  3. 323
  4. 42
  5. 51
  6. 610
  7. 720
  8. 811

तक्त्यावरून मध्यक काढणे

रोजच्या जीवनातून

४० विद्यार्थ्यांच्या वर्गाचा मधला गुण काढायला तक्त्यातील फक्त चार संख्या व एक सूत्र पुरे.

सोपी व्याख्या

पायरी १ : n व n/२ काढा. पायरी २ : cf स्तंभ करून मध्यक वर्ग शोधा. पायरी ३ : l, cf, f, h वाचा. पायरी ४ : मध्यक = l + ((n/२ − cf) ÷ f) × h मध्ये घाला.

सूत्र : मध्यक = l + ((n/२ − cf) ÷ f) × h

n/2 = 20 → median class 20–30l = 20, cf = 12, f = 10, h = 10median = 20 + (20 − 12) ÷ 10 × 10median = 28

आकृतीत : मध्यक = २० + (२० − १२) ÷ १० × १० = २८.

Live आकृती

तक्त्यावरून मध्यक काढणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : सोडवलेले उदाहरण — वर्ग ०–१० … ४०–५० साठी वारंवारता ५, ७, १०, १२, ६.

  • सोपे : n = ४०, n/२ = २०, मध्यक वर्ग २०–३०.
  • मध्यम : l = २०, cf = १२, f = १०, h = १०.
  • परीक्षेसाठी : मध्यक = २० + (८/१०) × १० = २८.

नियम 2 : दुसरे उदाहरण — वर्ग ०–२०, २०–४०, ४०–६० व f = ६, १४, १०.

  • सोपे : n = ३०, n/२ = १५; cf = ६, २०, ३०, म्हणून वर्ग २०–४०.
  • मध्यम : l = २०, cf = ६, f = १४, h = २०.
  • परीक्षेसाठी : मध्यक = २० + (९/१४) × २० = २० + १२.८६ ≈ ३२.८६.
लक्षात ठेवा

बदली करण्याआधी l, cf, f, h या चार संख्या एका ओळीत लिहा.

सामान्य चूक

h म्हणून वर्गाची रुंदी न घेता वरची सीमा घेणे.

आठवणीची युक्ती

"n भागिले २, वर्ग, चार संख्या, सूत्र."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1वर्गांतरे 40–50, 50–60, 60–70, 70–80, 80–90 यांची वारंवारता अनुक्रमे 25, 2, 14, 6, 3 असल्यास मध्यगा शोधा.
  2. 2वर्गांतरे 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45 यांची वारंवारता अनुक्रमे 3, 22, 3, 8, 14 असल्यास मध्यगा शोधा.
  3. 3वर्गांतरे 60–80, 80–100, 100–120, 120–140, 140–160 यांची वारंवारता अनुक्रमे 20, 5, 16, 1, 8 असल्यास मध्यगा शोधा.
मध्यम
  1. 4वर्गांतरे 40–50, 50–60, 60–70, 70–80, 80–90 यांची वारंवारता अनुक्रमे 12, 1, 12, 8, 17 असल्यास मध्यगा शोधा.
  2. 5वर्गांतरे 100–120, 120–140, 140–160, 160–180 यांची वारंवारता अनुक्रमे 3, 15, 7, 25 असल्यास मध्यगा शोधा.
  3. 6वर्गांतरे 25–30, 30–35, 35–40, 40–45 यांची वारंवारता अनुक्रमे 24, 6, 11, 19 असल्यास मध्यगा शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7विद्यार्थ्यांच्या गुणांचे खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 4, 28, 8, 4, 6. मध्यगा शोधा.
  2. 8व्यक्तींच्या वयाचे (वर्षांत) खालील वितरण दिले आहे : वर्गांतरे 10–15, 15–20, 20–25, 25–30, 30–35 आणि त्यांची वारंवारता अनुक्रमे 5, 11, 5, 5, 14. मध्यगा शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 150
  2. 230
  3. 3100
  4. 470
  5. 5160
  6. 635
  7. 737.5
  8. 824

मध्यकाच्या सूत्रावरून उलटे हिशोब

रोजच्या जीवनातून

मध्यक गुण व एक सोडून सर्व वारंवारता माहीत असतील तर गहाळ वारंवारता मध्यकाचे समीकरण सोडवून मिळते.

सोपी व्याख्या

n व cf अज्ञाताच्या रूपात लिहा, दिलेला मध्यक सूत्रात घाला व सोडवा. सोडवल्यानंतर गृहीत मध्यक वर्ग अजूनही बरोबर आहे का ते तपासा.

सूत्र : सोडवा : l + ((n/२ − cf) ÷ f) × h = मध्यक

n = 30 + f, cf = 12, median class 20–3020 + ((30 + f)/2 − 12) ÷ f × 10 = 28(6 + f) ÷ 2f = 0.8f = 10

आकृतीत : f = ५, ७, f, १२, ६ व मध्यक २८ वरून f = १०.

नियम 1 : गहाळ वारंवारता काढा — मध्यक वर्ग गृहीत धरा, सोडवा, मग पडताळा.

  • सोपे : मध्यक २८ हा २०–३० मध्ये, म्हणून l = २०, h = १०, cf = १२, f अज्ञात.
  • मध्यम : २० + ((३० + f)/२ − १२) ÷ f × १० = २८ वरून (६ + f)/(२f) = ०.८.
  • परीक्षेसाठी : म्हणून ६ + f = १.६f, व f = १०.

नियम 2 : उत्तर पडताळा — किंमत तक्त्यात परत घाला.

  • सोपे : f = १० असताना n = ४०, n/२ = २०.
  • मध्यम : cf = ५, १२, २२, ३४, ४०; वर्ग २०–३० मध्ये n/२ येते.
  • परीक्षेसाठी : मध्यक = २० + ८ = २८, दिल्याप्रमाणे.
लक्षात ठेवा

सोडवल्यावर गृहीत मध्यक वर्ग अजूनही बरोबर आहे का ते तपासा.

सामान्य चूक

अज्ञात वारंवारता n लाही बदलते हे विसरणे.

आठवणीची युक्ती

"लिहा, सोडवा, परत घाला."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1n = 40 असलेल्या वितरणाचा मध्यगा वर्ग 80–90 असून त्याची वारंवारता f = 20 आणि मध्यगा 89.5 आहे. cf शोधा.
  2. 2n = 60 असलेल्या वितरणाचा मध्यगा वर्ग 200–220 असून त्याची वारंवारता f = 16 आणि मध्यगा 217.5 आहे. cf शोधा.
  3. 3n = 30 असलेल्या वितरणाचा मध्यगा वर्ग 90–100 असून त्याची वारंवारता f = 18 आणि मध्यगा 95 आहे. cf शोधा.
मध्यम
  1. 4एका वितरणाचा मध्यगा वर्ग 180–200 असून f = 8, cf = 41 आहे. मध्यगा 190 असल्यास एकूण वारंवारता n शोधा.
  2. 5एका वितरणाचा मध्यगा वर्ग 80–100 असून f = 10, cf = 24 आहे. मध्यगा 82 असल्यास एकूण वारंवारता n शोधा.
  3. 6एका वितरणाचा मध्यगा वर्ग 5–10 असून f = 10, cf = 49 आहे. मध्यगा 5.5 असल्यास एकूण वारंवारता n शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7n = 100 असलेल्या वितरणाचा मध्यगा वर्ग 5–10 असून cf = 42 आणि मध्यगा 9 आहे. मध्यगा वर्गाची वारंवारता f शोधा.
  2. 8एका वितरणाचे n = 60, वर्गरुंदी 20, मध्यगा वर्गाची वारंवारता f = 8, cf = 27 आणि मध्यगा 147.5 आहे. मध्यगा वर्गाची खालची मर्यादा l शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11
  2. 216
  3. 36
  4. 490
  5. 550
  6. 6100
  7. 710
  8. 8140

उपयोग व तुलना

रोजच्या जीवनातून

छोट्या कंपनीचे पगार : नऊ जण थोडे कमावतात व मालक खूप. मध्य श्रीमंत दिसतो, पण मध्यक सामान्य माणसाची कमाई दाखवतो.

सोपी व्याख्या

मध्य प्रत्येक किंमत वापरतो, म्हणून एक खूप मोठी किंमत त्याला ओढते. मध्यक फक्त मधले स्थान वापरतो, म्हणून काही टोकाच्या किंमती असल्यास तो “सामान्य” किंमत अधिक चांगली दाखवतो.

01020304050mean 26.75median 28one huge value pulls the mean, not the median

आकृतीत : तक्त्याची सामग्री : मध्य २६.७५ व मध्यक २८ जवळ; एक प्रचंड किंमत असल्यास फरक मोठा.

नियम 1 : मध्य व मध्यकाची तुलना — एकाच तक्त्यावरून दोन्ही काढा.

  • सोपे : मध्य : Σfx = २५ + १०५ + २५० + ४२० + २७० = १०७०; १०७० ÷ ४० = २६.७५.
  • मध्यम : त्याच सामग्रीचा मध्यक = २८.
  • परीक्षेसाठी : दोन्ही जवळ आहेत कारण सामग्री बऱ्यापैकी समान आहे.

नियम 2 : कोणता वापरावा — सामग्रीच्या आकारानुसार निवडा.

  • सोपे : पगार १०, १२, १३, १४, १०० (हजार) : मध्य = १४९ ÷ ५ = २९.८, मध्यक = १३.
  • मध्यम : मध्यक १३ सामान्य कमावणाऱ्याला अधिक योग्य.
  • परीक्षेसाठी : समान सामग्रीसाठी दोन्ही जवळपास सारखे.
लक्षात ठेवा

सरासरी निवडण्याआधी एखादी किंमत खूप मोठी/लहान आहे का ते पाहा.

सामान्य चूक

मध्यक नेहमी मध्यापेक्षा लहान असतो असे म्हणणे; तो कोणताही असू शकतो.

आठवणीची युक्ती

"टोकाच्या किंमती मध्याला ओढतात, मध्यकाला नाही."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1प्रत्येकी 40 विद्यार्थ्यांच्या दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 10, 10, 11, 9; तुकडी B ची वारंवारता 2, 9, 10, 19. कोणत्या तुकडीची मध्यगा जास्त आहे?
  2. 2प्रत्येकी 40 विद्यार्थ्यांच्या दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 4, 20, 14, 2; तुकडी B ची वारंवारता 18, 5, 16, 1. कोणत्या तुकडीची मध्यगा जास्त आहे?
  3. 3प्रत्येकी 40 विद्यार्थ्यांच्या दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 8, 12, 4, 16; तुकडी B ची वारंवारता 1, 16, 6, 17. कोणत्या तुकडीची मध्यगा जास्त आहे?
मध्यम
  1. 4प्रत्येकी 40 विद्यार्थ्यांच्या दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 10, 4, 8, 18; तुकडी B ची वारंवारता 15, 5, 14, 6. कोणत्या तुकडीची मध्यगा जास्त आहे?
  2. 5प्रत्येकी 40 विद्यार्थ्यांच्या दोन तुकड्यांचे गुण (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : तुकडी A ची वारंवारता 5, 10, 20, 5; तुकडी B ची वारंवारता 17, 4, 18, 1. कोणत्या तुकडीची मध्यगा जास्त आहे?
  3. 6काही निरीक्षणांची मध्यगा 89 आहे. प्रत्येक निरीक्षण 5 ने कमी केले तर नवी मध्यगा किती?
आव्हानात्मक
  1. 7काही निरीक्षणांची मध्यगा 190 आहे. प्रत्येक निरीक्षण 12 ने गुणले तर नवी मध्यगा किती?
  2. 8काही निरीक्षणांची मध्यगा 230 आहे. प्रत्येक निरीक्षण 7 ने कमी केले तर नवी मध्यगा किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1तुकडी B
  2. 2तुकडी A
  3. 3तुकडी B
  4. 4तुकडी A
  5. 5तुकडी A
  6. 684
  7. 72280
  8. 8223