माध्यक वर्ग, n/2 और माध्यक का सूत्र
सभी विद्यार्थी अंकों के क्रम से कतार में खड़े हों तो बीच का विद्यार्थी माध्यक है। समूहित आँकड़ों में पहले वह वर्ग खोजते हैं जिसमें बीच का विद्यार्थी खड़ा है।
माध्यक बीच का मान है। n/2 निकालें; जिस वर्ग में n/2 वाँ प्रेक्षण आता है वह माध्यक वर्ग है। फिर माध्यक = l + ((n/2 − cf) ÷ f) × h, जहाँ l माध्यक वर्ग की निम्न सीमा, cf उससे पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता, f उसकी बारंबारता और h चौड़ाई।
सूत्र : माध्यक = l + ((n/2 − cf) ÷ f) × h
आकृति में : बारंबारता 5, 7, 10, 12, 6 : n = 40, n/2 = 20 वर्ग 20–30 में आता है।
नियम 1 : हर चिह्न का अर्थ — n के अलावा सभी अक्षर माध्यक वर्ग या उससे पहले वाले वर्ग से जुड़े हैं।
- आसान : n कुल बारंबारता : 5 + 7 + 10 + 12 + 6 = 40।
- मध्यम : l = 20, h = 10, f = 10 वर्ग 20–30 के हैं।
- परीक्षा-प्रकार : cf = 12 पहले वाले वर्ग 10–20 की है।
नियम 2 : सूत्र क्यों काम करता है — बीच का प्रेक्षण माध्यक वर्ग में कितना भीतर है यह गिनता है।
- आसान : n/2 − cf = 20 − 12 = 8 प्रेक्षण वर्ग के भीतर चाहिए।
- मध्यम : वर्ग में f = 10 प्रेक्षण और चौड़ाई h = 10।
- परीक्षा-प्रकार : इसलिए चौड़ाई का 8/10 आगे बढ़ते हैं : l + 8 = 28।
जाँचें कि माध्यक माध्यक वर्ग के भीतर है।
माध्यक वर्ग की नहीं, उससे पहले वाले वर्ग की cf लेनी है।
"आधा कुल, वर्ग में कदम रखो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक बंटन की कुल बारंबारता n = 100 है। n/2 ज्ञात कीजिए।
- 2एक बंटन की कुल बारंबारता n = 20 है। n/2 ज्ञात कीजिए।
- 3एक बंटन की कुल बारंबारता n = 40 है। n/2 ज्ञात कीजिए।
- 4एक बंटन के लिए n = 60 है तथा माध्यक वर्ग के लिए l = 10, h = 10, f = 25, cf = 8 है। माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 5वर्ग अंतराल 60–80, 80–100, 100–120, 120–140 की संचयी बारंबारताएँ क्रमशः 8, 14, 17, 40 हैं। माध्यक वर्ग ज्ञात कीजिए।
- 6एक बंटन के लिए n = 120 है तथा माध्यक वर्ग के लिए l = 135, h = 15, f = 12, cf = 50 है। माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 7एक बंटन के लिए n = 100 है तथा माध्यक वर्ग के लिए l = 100, h = 25, f = 10, cf = 43 है। माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 8एक बंटन के लिए n = 120 है तथा माध्यक वर्ग के लिए l = 80, h = 20, f = 20, cf = 44 है। माध्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 150
- 210
- 320
- 418.8
- 5120–140
- 6147.5
- 7117.5
- 896
संचयी बारंबारता और माध्यक वर्ग
विद्यार्थियों का चलता योग : पहले वर्ग के बाद 5, दूसरे के बाद 5 + 7 = 12, यों सभी गिने जाने तक।
वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) उसकी और उससे पहले सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग है। अंतिम cf = n। जिस पहले वर्ग की cf, n/2 से कम न हो वह माध्यक वर्ग है।
सूत्र : cf = f का चलता योग
आकृति में : cf = 5, 12, 22, 34, 40; 20 से कम न होने वाली पहली cf 22, इसलिए माध्यक वर्ग 20–30।
नियम 1 : cf स्तंभ बनाएँ — हर f को ऊपर की cf में जोड़ें।
- आसान : 5, फिर 5 + 7 = 12, फिर 12 + 10 = 22।
- मध्यम : फिर 22 + 12 = 34 और 34 + 6 = 40।
- परीक्षा-प्रकार : अंतिम cf = n = 40 होनी चाहिए।
नियम 2 : माध्यक वर्ग और उसकी cf चुनें — सूत्र की cf ऊपर वाली पंक्ति की होती है।
- आसान : n/2 = 20; cf 12, 20 से कम और 22 अधिक, इसलिए वर्ग 20–30।
- मध्यम : सूत्र के लिए cf 12, यानी 20–30 की ऊपर वाली पंक्ति की।
- परीक्षा-प्रकार : n/2 ठीक किसी cf के बराबर हो तो वह cf वाला वर्ग माध्यक वर्ग।
माध्यक वर्ग खोजने से पहले अंतिम cf = n जाँचें।
n/2 से मिलने वाले वर्ग की जगह सबसे बड़ी बारंबारता वाला वर्ग लेना।
"चलता योग आधे पर पहुँचा : वही वर्ग।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग अंतराल 60–80, 80–100, 100–120, 120–140 की संचयी बारंबारताएँ क्रमशः 6, 31, 35, 40 हैं। वर्ग 100–120 की बारंबारता ज्ञात कीजिए।
- 2वर्ग अंतराल 40–60, 60–80, 80–100, 100–120, 120–140 की संचयी बारंबारताएँ क्रमशः 21, 22, 54, 62, 80 हैं। वर्ग 60–80 की बारंबारता ज्ञात कीजिए।
- 3वर्ग अंतराल 15–20, 20–25, 25–30, 30–35, 35–40 की संचयी बारंबारताएँ क्रमशः 6, 12, 15, 38, 60 हैं। वर्ग 30–35 की बारंबारता ज्ञात कीजिए।
- 4वर्ग अंतराल 20–40, 40–60, 60–80, 80–100, 100–120, 120–140 की संचयी बारंबारताएँ क्रमशः 12, 30, 32, 39, 58, 80 हैं। वर्ग 60–80 की बारंबारता ज्ञात कीजिए।
- 5वर्ग अंतराल 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45, 45–50 की संचयी बारंबारताएँ क्रमशः 42, 43, 54, 69, 74, 80 हैं। वर्ग 25–30 की बारंबारता ज्ञात कीजिए।
- 6व्यक्तियों की आयु (वर्षों में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 10–15, 15–20, 20–25, 25–30 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 4, 10, 3, 3 हैं। n/2 ज्ञात कीजिए।
- 7श्रमिकों की दैनिक मजदूरी (₹ में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 300–310, 310–320, 320–330, 330–340, 340–350, 350–360 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 4, 13, 4, 4, 10, 5 हैं। n/2 ज्ञात कीजिए।
- 8व्यक्तियों की आयु (वर्षों में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70, 70–80 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 2, 4, 2, 3, 2, 3 हैं। वर्ग 50–60 की संचयी बारंबारता ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 21
- 323
- 42
- 51
- 610
- 720
- 811
तालिका से माध्यक निकालना
40 विद्यार्थियों की कक्षा का बीच वाला अंक निकालने के लिए तालिका की केवल चार संख्याएँ और एक सूत्र काफी।
क़दम 1 : n और n/2 निकालें। क़दम 2 : cf स्तंभ बनाकर माध्यक वर्ग खोजें। क़दम 3 : l, cf, f, h पढ़ें। क़दम 4 : माध्यक = l + ((n/2 − cf) ÷ f) × h में रखें।
सूत्र : माध्यक = l + ((n/2 − cf) ÷ f) × h
आकृति में : माध्यक = 20 + (20 − 12) ÷ 10 × 10 = 28।
तालिका से माध्यक निकालना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : हल किया उदाहरण — वर्ग 0–10 … 40–50 के लिए बारंबारता 5, 7, 10, 12, 6।
- आसान : n = 40, n/2 = 20, माध्यक वर्ग 20–30।
- मध्यम : l = 20, cf = 12, f = 10, h = 10।
- परीक्षा-प्रकार : माध्यक = 20 + (8/10) × 10 = 28।
नियम 2 : दूसरा उदाहरण — वर्ग 0–20, 20–40, 40–60 और f = 6, 14, 10।
- आसान : n = 30, n/2 = 15; cf = 6, 20, 30, इसलिए वर्ग 20–40।
- मध्यम : l = 20, cf = 6, f = 14, h = 20।
- परीक्षा-प्रकार : माध्यक = 20 + (9/14) × 20 = 20 + 12.86 ≈ 32.86।
रखने से पहले l, cf, f, h चारों संख्याएँ एक पंक्ति में लिखें।
h के रूप में वर्ग की चौड़ाई की जगह उच्च सीमा लेना।
"n भाग 2, वर्ग, चार संख्याएँ, सूत्र।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग अंतराल 40–50, 50–60, 60–70, 70–80, 80–90 की बारंबारताएँ क्रमशः 25, 2, 14, 6, 3 हों, तो माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 2वर्ग अंतराल 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45 की बारंबारताएँ क्रमशः 3, 22, 3, 8, 14 हों, तो माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 3वर्ग अंतराल 60–80, 80–100, 100–120, 120–140, 140–160 की बारंबारताएँ क्रमशः 20, 5, 16, 1, 8 हों, तो माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 4वर्ग अंतराल 40–50, 50–60, 60–70, 70–80, 80–90 की बारंबारताएँ क्रमशः 12, 1, 12, 8, 17 हों, तो माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 5वर्ग अंतराल 100–120, 120–140, 140–160, 160–180 की बारंबारताएँ क्रमशः 3, 15, 7, 25 हों, तो माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 6वर्ग अंतराल 25–30, 30–35, 35–40, 40–45 की बारंबारताएँ क्रमशः 24, 6, 11, 19 हों, तो माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 7विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 4, 28, 8, 4, 6 हैं। माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 8व्यक्तियों की आयु (वर्षों में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 10–15, 15–20, 20–25, 25–30, 30–35 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 5, 11, 5, 5, 14 हैं। माध्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 150
- 230
- 3100
- 470
- 5160
- 635
- 737.5
- 824
माध्यक सूत्र से उलटी गणना
माध्यक अंक और एक को छोड़कर सभी बारंबारताएँ ज्ञात हों तो लुप्त बारंबारता माध्यक समीकरण हल करने से मिलती है।
n और cf को अज्ञात में लिखें, दिया माध्यक सूत्र में रखें और हल करें। हल के बाद जाँचें कि माना हुआ माध्यक वर्ग अब भी सही है।
सूत्र : हल करें : l + ((n/2 − cf) ÷ f) × h = माध्यक
आकृति में : f = 5, 7, f, 12, 6 और माध्यक 28 से f = 10।
नियम 1 : लुप्त बारंबारता निकालें — माध्यक वर्ग मानें, हल करें, फिर सत्यापित करें।
- आसान : माध्यक 28, 20–30 में है, इसलिए l = 20, h = 10, cf = 12, f अज्ञात।
- मध्यम : 20 + ((30 + f)/2 − 12) ÷ f × 10 = 28 से (6 + f)/(2f) = 0.8।
- परीक्षा-प्रकार : इसलिए 6 + f = 1.6f, जिससे f = 10।
नियम 2 : उत्तर सत्यापित करें — मान को तालिका में वापस रखें।
- आसान : f = 10 पर n = 40, n/2 = 20।
- मध्यम : cf = 5, 12, 22, 34, 40; वर्ग 20–30 में n/2 आता है।
- परीक्षा-प्रकार : माध्यक = 20 + 8 = 28, जैसा दिया।
हल के बाद देखें कि माना माध्यक वर्ग अब भी सही है।
यह भूल जाना कि अज्ञात बारंबारता n को भी बदलती है।
"लिखो, हल करो, वापस रखो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1n = 40 वाले बंटन का माध्यक वर्ग 80–90 है, उसकी बारंबारता f = 20 है और माध्यक 89.5 है। cf ज्ञात कीजिए।
- 2n = 60 वाले बंटन का माध्यक वर्ग 200–220 है, उसकी बारंबारता f = 16 है और माध्यक 217.5 है। cf ज्ञात कीजिए।
- 3n = 30 वाले बंटन का माध्यक वर्ग 90–100 है, उसकी बारंबारता f = 18 है और माध्यक 95 है। cf ज्ञात कीजिए।
- 4एक बंटन का माध्यक वर्ग 180–200 है, f = 8 और cf = 41 है। यदि माध्यक 190 है, तो कुल बारंबारता n ज्ञात कीजिए।
- 5एक बंटन का माध्यक वर्ग 80–100 है, f = 10 और cf = 24 है। यदि माध्यक 82 है, तो कुल बारंबारता n ज्ञात कीजिए।
- 6एक बंटन का माध्यक वर्ग 5–10 है, f = 10 और cf = 49 है। यदि माध्यक 5.5 है, तो कुल बारंबारता n ज्ञात कीजिए।
- 7n = 100 वाले बंटन का माध्यक वर्ग 5–10 है, cf = 42 है और माध्यक 9 है। माध्यक वर्ग की बारंबारता f ज्ञात कीजिए।
- 8एक बंटन का n = 60, वर्ग माप 20, माध्यक वर्ग की बारंबारता f = 8, cf = 27 और माध्यक 147.5 है। माध्यक वर्ग की निम्न सीमा l ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11
- 216
- 36
- 490
- 550
- 6100
- 710
- 8140
अनुप्रयोग और तुलना
छोटी कंपनी के वेतन : नौ लोग थोड़ा कमाते हैं और मालिक बहुत। माध्य अमीर दिखता है, पर माध्यक सामान्य व्यक्ति की कमाई दिखाता है।
माध्य हर मान उपयोग करता है, इसलिए एक बहुत बड़ा मान उसे खींचता है। माध्यक केवल बीच का स्थान लेता है, इसलिए कुछ चरम मान हों तो वह “सामान्य” मान बेहतर दिखाता है।
आकृति में : तालिका के आँकड़े : माध्य 26.75 और माध्यक 28 पास-पास; एक विशाल मान हो तो अंतर बड़ा।
नियम 1 : माध्य और माध्यक की तुलना — एक ही तालिका से दोनों निकालें।
- आसान : माध्य : Σfx = 25 + 105 + 250 + 420 + 270 = 1070; 1070 ÷ 40 = 26.75।
- मध्यम : उन्हीं आँकड़ों का माध्यक = 28।
- परीक्षा-प्रकार : दोनों पास हैं क्योंकि आँकड़े काफी समान हैं।
नियम 2 : कौन-सा लें — आँकड़ों के आकार के अनुसार चुनें।
- आसान : वेतन 10, 12, 13, 14, 100 (हज़ार) : माध्य = 149 ÷ 5 = 29.8, माध्यक = 13।
- मध्यम : माध्यक 13 सामान्य कमाने वाले को बेहतर बताता है।
- परीक्षा-प्रकार : समान आँकड़ों के लिए दोनों लगभग बराबर।
औसत चुनने से पहले देखें कि कोई मान बहुत बड़ा/छोटा तो नहीं।
माध्यक हमेशा माध्य से छोटा होता है कहना; वह कोई भी हो सकता है।
"चरम मान माध्य को खींचते हैं, माध्यक को नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1प्रत्येक अनुभाग के 40 विद्यार्थियों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 10, 10, 11, 9; अनुभाग B की बारंबारताएँ 2, 9, 10, 19। किस अनुभाग का माध्यक अधिक है?
- 2प्रत्येक अनुभाग के 40 विद्यार्थियों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 4, 20, 14, 2; अनुभाग B की बारंबारताएँ 18, 5, 16, 1। किस अनुभाग का माध्यक अधिक है?
- 3प्रत्येक अनुभाग के 40 विद्यार्थियों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 8, 12, 4, 16; अनुभाग B की बारंबारताएँ 1, 16, 6, 17। किस अनुभाग का माध्यक अधिक है?
- 4प्रत्येक अनुभाग के 40 विद्यार्थियों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 10, 4, 8, 18; अनुभाग B की बारंबारताएँ 15, 5, 14, 6। किस अनुभाग का माध्यक अधिक है?
- 5प्रत्येक अनुभाग के 40 विद्यार्थियों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 5, 10, 20, 5; अनुभाग B की बारंबारताएँ 17, 4, 18, 1। किस अनुभाग का माध्यक अधिक है?
- 6कुछ प्रेक्षणों का माध्यक 89 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 5 से घटाया जाए, तो नया माध्यक क्या होगा?
- 7कुछ प्रेक्षणों का माध्यक 190 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 12 से गुणा किया जाए, तो नया माध्यक क्या होगा?
- 8कुछ प्रेक्षणों का माध्यक 230 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 7 से घटाया जाए, तो नया माध्यक क्या होगा?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1अनुभाग B
- 2अनुभाग A
- 3अनुभाग B
- 4अनुभाग A
- 5अनुभाग A
- 684
- 72280
- 8223