मूल शब्द और प्रायिकता का सूत्र
क्रिकेट मैच से पहले सिक्का उछालना न्यायपूर्ण तरीका है, क्योंकि चित और पट समान संभव हैं। प्रायिकता ऐसी संभावना को 0 से 1 के बीच संख्या देती है।
प्रयोग के परिणाम मिलते हैं; सभी परिणाम मिलकर प्रतिदर्श समष्टि; हमारे काम के परिणामों का समुच्चय घटना। सभी परिणाम समान संभव हों तो P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या। P(E) हमेशा 0 से 1 के बीच; निश्चित घटना की P = 1 और असंभव घटना की P = 0।
सूत्र : P(E) = अनुकूल ÷ कुल
आकृति में : P(E) 0 से 1 के बीच : 0 असंभव, ½ बराबर संभावना, 1 निश्चित।
नियम 1 : अनुकूल और कुल गिनें — दोनों गिनतियाँ समान संभव परिणामों की हों।
- आसान : पत्ते 1 से 10, घटना “सम” : अनुकूल 5 (2, 4, 6, 8, 10), कुल 10।
- मध्यम : P(सम) = 5/10 = 1/2।
- परीक्षा-प्रकार : P(10 से बड़ी संख्या) = 0/10 = 0, असंभव घटना।
नियम 2 : मान्य और अमान्य प्रायिकताएँ — प्रायिकता कभी ऋण या 1 से अधिक नहीं होती।
- आसान : 3/5 प्रायिकता हो सकती है।
- मध्यम : 8/5 नहीं, क्योंकि 1 से अधिक, और −1/2 नहीं, क्योंकि ऋण।
- परीक्षा-प्रकार : P = 1 यानी निश्चित : 1 से 10 संख्याओं का योग 0 से बड़ा।
भाग देने से पहले परिणाम एक-एक गिनें; एक छूटा तो उत्तर बदल जाता है।
अनुकूल ÷ कुल की जगह अनुकूल ÷ प्रतिकूल लेना।
"चाहे भाग सब, कभी एक से ऊपर नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1कक्षा की एक गतिविधि में एक पासा एक बार फेंका गया। 3 का गुणज प्राप्त होने के लिए कितने परिणाम अनुकूल हैं?
- 2एक पासा एक बार फेंकने पर कितने समप्रायिक परिणाम होते हैं?
- 3कक्षा की एक गतिविधि में एक थैले में 7 पीली, 12 काली और 3 सफेद गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकाली गई। कितने समप्रायिक परिणाम संभव हैं?
- 4भाग्यशाली ड्रॉ खेल के लिए एक पासा एक बार फेंका गया। कुल कितने परिणाम संभव हैं?
- 5एक बोर्ड गेम में एक सिक्का एक बार उछाला गया। कुल कितने परिणाम संभव हैं?
- 6एक थैले में केवल 10 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकाली गई। उसके लाल होने की प्रायिकता क्या है?
- 718 समप्रायिक परिणामों वाले प्रयोग में 9 परिणाम घटना E के अनुकूल हैं। P(E) सरलतम रूप में ज्ञात कीजिए।
- 839 समप्रायिक परिणामों वाले प्रयोग में 25 परिणाम घटना E के अनुकूल हैं। P(E) सरलतम रूप में ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 26
- 322
- 46
- 52
- 60
- 71/2
- 825/39
सिक्के और पासे
लूडो और साँप-सीढ़ी दोनों पासे पर चलते हैं; हर फलक समान संभव है, इसलिए खेल निष्पक्ष है।
एक सिक्का : 2 परिणाम। दो सिक्के : HH, HT, TH, TT (4)। एक पासा : 6 परिणाम। दो पासे : 6 × 6 = 36 परिणाम। पहले प्रतिदर्श समष्टि लिखें, फिर अनुकूल जोड़ियाँ गिनें।
सूत्र : परिणाम : 2, 4, 6, 36
आकृति में : दो पासे : योग 7, 36 में से 6 खानों में, इसलिए P = 1/6।
सिक्के और पासे
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : सिक्के — सभी परिणाम क्रम से लिखें : हर सिक्के के लिए H या T।
- आसान : दो सिक्के : HH, HT, TH, TT।
- मध्यम : P(कम से कम एक चित) = 3/4 (HH, HT, TH)।
- परीक्षा-प्रकार : P(ठीक दो चित) = 1/4।
नियम 2 : एक पासा और दो पासे — दो पासों के लिए 6 × 6 जोड़ियों की तालिका लें।
- आसान : एक पासा : P(अभाज्य) = 3/6 = 1/2 (2, 3, 5); P(4 से अधिक) = 2/6 = 1/3।
- मध्यम : दो पासे : P(योग 8) = 5/36; P(योग 7) = 6/36 = 1/6।
- परीक्षा-प्रकार : P(दोनों पर समान संख्या) = 6/36 = 1/6।
दो पासों के प्रश्नों में (2, 5) और (5, 2) अलग परिणाम हैं।
दो पासों के कुल परिणाम 36 की जगह 12 लेना।
"दो पासे, छत्तीस जोड़ियाँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1स्कूल मेले के एक स्टॉल पर 3 सिक्के एक साथ उछाले गए। कम से कम एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 2प्रायिकता के एक प्रयोग में 2 सिक्के एक साथ उछाले गए। अधिकतम एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 3कक्षा की एक गतिविधि में 3 सिक्के एक साथ उछाले गए। तीनों चित प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 4दो पासे एक साथ फेंके गए। दोनों संख्याओं का योग 12 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 5भाग्यशाली ड्रॉ खेल के लिए तीन सिक्के एक साथ उछाले गए। पहले सिक्के पर पट प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 6प्रश्नोत्तरी के एक दौर में तीन सिक्के एक साथ उछाले गए। तीनों समान प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 7दो पासे एक साथ फेंके गए। दोनों संख्याओं का योग 7 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 8भाग्यशाली ड्रॉ खेल के लिए दो पासे एक साथ फेंके गए। योग अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17/8
- 23/4
- 31/8
- 41/36
- 51/2
- 61/4
- 71/6
- 85/12
थैला, क्रमांकित पत्ते और लॉटरी
बिना देखे थैले में हाथ डालना यादृच्छिक चयन है : हर गेंद की संभावना समान, लॉटरी के हर टिकट की तरह।
यादृच्छिक चयन में हर वस्तु समान संभव, इसलिए कुल वस्तुओं की संख्या है और अनुकूल वांछित गुण वाली वस्तुओं की संख्या। लॉटरी में P(जीतना) = आपके टिकट ÷ कुल टिकट।
सूत्र : P = वांछित वस्तुएँ ÷ सभी वस्तुएँ
आकृति में : थैला : 5 लाल, 3 नीली, 2 हरी : P(लाल) = 1/2, P(हरी नहीं) = 4/5।
नियम 1 : क्रमांकित पत्ते — गिनने से पहले जँचने वाली संख्याएँ लिखें।
- आसान : पत्ते 1 से 20, 3 के गुणज : 3, 6, 9, 12, 15, 18, इसलिए P = 6/20 = 3/10।
- मध्यम : अभाज्य संख्याएँ : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, इसलिए P = 8/20 = 2/5।
- परीक्षा-प्रकार : 1 अभाज्य नहीं है।
नियम 2 : थैले और लॉटरी — रंगों या टिकटों को संख्या की तरह पढ़ें।
- आसान : 5 लाल, 3 नीली, 2 हरी गेंदें : P(लाल) = 5/10 = 1/2।
- मध्यम : P(हरी नहीं) = 8/10 = 4/5।
- परीक्षा-प्रकार : 1000 टिकटों की लॉटरी, आपके पास 5 : P(जीतना) = 5/1000 = 1/200।
जाँचें कि अनुकूल संख्या कुल से अधिक न हो।
कुल में निकाली गई वस्तु को गिनना भूल जाना।
"वांछित वस्तुएँ भाग सभी वस्तुएँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक थैले में 5 लाल, 8 काली और 3 पीली गेंदें हैं। थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली गई। उसके काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 2एक थैले में 2 हरी, 3 पीली और 8 लाल गेंदें हैं। थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली गई। उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 3एक बोर्ड गेम में 1 से 60 तक क्रमांकित 60 कार्डों में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया। उस पर सम संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 4एक थैले में 4 लाल और 9 नीली गेंदें हैं। उसमें 2 नीली गेंदें और डाल दी गईं। एक गेंद यादृच्छया निकाली गई। उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 51 से 40 तक क्रमांकित 40 कार्डों में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया। उस पर 3 से विभाज्य संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 6एक बोर्ड गेम में 1 से 60 तक क्रमांकित 60 कार्डों में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया। उस पर 5 का गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 7एक थैले में 6 लाल और x नीली गेंदें हैं। यदि लाल गेंद निकालने की प्रायिकता 3/4 है, तो x ज्ञात कीजिए।
- 8एक थैले में 9 लाल और x नीली गेंदें हैं। यदि लाल गेंद निकालने की प्रायिकता 3/8 है, तो x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11/2
- 28/13
- 31/2
- 44/15
- 513/40
- 61/5
- 72
- 815
पूरक घटनाएँ
कल बारिश की संभावना 0.3 हो तो न होने की संभावना 1 पूरा करने वाली बाकी, यानी 0.7।
“E नहीं” घटना E की पूरक घटना है। P(E) + P(E नहीं) = 1, इसलिए P(E नहीं) = 1 − P(E)। “कम से कम एक” प्रश्नों का यह तेज़ रास्ता है।
सूत्र : P(E नहीं) = 1 − P(E)
आकृति में : P(E) = 0.3 यानी P(E नहीं) = 0.7, दोनों मिलकर 1।
नियम 1 : P(E नहीं) निकालें — 1 में से घटाएँ।
- आसान : P(E) = 4/5 से P(E नहीं) = 1/5।
- मध्यम : पासा : P(6) = 1/6, इसलिए P(6 नहीं) = 5/6।
- परीक्षा-प्रकार : P(E) = 0.3 से P(E नहीं) = 0.7।
नियम 2 : “कम से कम एक” पूरक विधि से — कई अच्छे मामलों की जगह एक बुरा मामला गिनें।
- आसान : तीन सिक्कों के 8 परिणाम; केवल TTT में चित नहीं।
- मध्यम : P(चित नहीं) = 1/8, इसलिए P(कम से कम एक चित) = 1 − 1/8 = 7/8।
- परीक्षा-प्रकार : दो पासे : P(योग 7 नहीं) = 1 − 1/6 = 5/6।
प्रश्न में “कम से कम एक” या “नहीं” हो तो पहले पूरक विधि आज़माएँ।
P(E नहीं) = P(E) − 1 लिखना।
"नहीं की संभावना = एक घटा संभावना।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताएँ 0.4, 0.35 और p हैं। p ज्ञात कीजिए।
- 2एक प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताएँ 0.35, 0.1 और p हैं। p ज्ञात कीजिए।
- 3एक प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताएँ 0.05, 0.35 और p हैं। p ज्ञात कीजिए।
- 4एक प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताएँ 0.2, 0.4, 0.2 और p हैं। p ज्ञात कीजिए।
- 5अनिल के खेल जीतने की प्रायिकता 0.35 है। उसके हारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 6शीला के खेल जीतने की प्रायिकता 0.8 है। उसके हारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 7रेशमा के खेल जीतने की प्रायिकता 0.65 है। उसके हारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 8अनिल के खेल जीतने की प्रायिकता 0.15 है। उसके हारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 10.25
- 20.55
- 30.6
- 40.2
- 50.65
- 60.2
- 70.35
- 80.85
ताश के पत्ते और अनुप्रयोग
ताश की गड्डी प्रायिकता का पारंपरिक साधन है : 52 पत्ते, चार प्रकार, हर एक में 13।
गड्डी में 52 पत्ते चार रंगों/प्रकारों में : हुकुम और चिड़ी (काले), पान और ईंट (लाल), प्रत्येक में 13। चित्र वाले पत्ते हर प्रकार के बादशाह, बेगम, गुलाम : कुल 12। इक्के 4। इन संख्याओं से गिनें और 52 से भाग दें।
सूत्र : कुल = 52
आकृति में : चित्र वाले पत्ते (बादशाह, बेगम, गुलाम) हर पंक्ति के अंतिम तीन : 52 में 12, इसलिए P = 3/13।
नियम 1 : पत्तों की सामान्य घटनाएँ — गड्डी की बनावट से गिनें।
- आसान : P(इक्का) = 4/52 = 1/13; P(लाल पत्ता) = 26/52 = 1/2।
- मध्यम : P(चित्र वाला पत्ता) = 12/52 = 3/13।
- परीक्षा-प्रकार : P(पान का बादशाह) = 1/52; P(लाल बादशाह) = 2/52 = 1/26।
नियम 2 : यहाँ भी पूरक लें — चित्र न होने वाला पत्ता बाकी गड्डी है।
- आसान : P(चित्र वाला नहीं) = 1 − 3/13 = 10/13।
- मध्यम : गिनकर जाँच : 52 − 12 = 40 और 40/52 = 10/13।
- परीक्षा-प्रकार : चित्र वाले पत्ते और इक्के अलग : इक्का चित्र वाला नहीं।
गड्डी एक बार याद करें : 52, 13 के चार प्रकार, 26 लाल, 12 चित्र, 4 इक्के।
इक्के को चित्र वाला पत्ता गिनना।
"बावन, छब्बीस लाल, बारह चित्र।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1प्रश्नोत्तरी के एक दौर में ताश की 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया। काला पत्ता प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 2प्रश्नोत्तरी के एक दौर में ताश की 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया। इक्का प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 3एक बोर्ड गेम में एक दिन यादृच्छया चुना गया। सप्ताह के दिन का अंग्रेज़ी नाम ‘S’ से शुरू होना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 4कक्षा की एक गतिविधि में ताश की 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया। चित्र वाला पत्ता (गुलाम, बेगम या बादशाह) प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 5एक महीना यादृच्छया चुना गया। महीने का अंग्रेज़ी नाम ‘J’ से शुरू होना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 6भाग्यशाली ड्रॉ खेल के लिए ताश की 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया। काला इक्का प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 725 बल्बों के एक डिब्बे में से यादृच्छया चुना गया बल्ब खराब होने की प्रायिकता 0.12 है। डिब्बे में कितने बल्ब खराब हैं?
- 860 बल्बों के एक डिब्बे में से यादृच्छया चुना गया बल्ब खराब होने की प्रायिकता 0.15 है। डिब्बे में कितने बल्ब खराब हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11/2
- 21/13
- 32/7
- 43/13
- 51/4
- 61/26
- 73
- 89