मूलभूत संज्ञा व संभाव्यतेचे सूत्र
क्रिकेट सामन्याआधी नाणेफेक हा न्याय्य मार्ग, कारण छापा व काटा सारखेच शक्य. संभाव्यता अशा शक्यतेला ० ते १ मधील संख्या देते.
प्रयोगाचे निकाल मिळतात; सर्व निकाल मिळून नमुना अवकाश; आपल्याला हव्या असलेल्या निकालांचा संच म्हणजे घटना. सर्व निकाल सारखेच शक्य असतील तर P(E) = अनुकूल निकालांची संख्या ÷ एकूण निकालांची संख्या. P(E) नेहमी ० ते १ मध्ये; निश्चित घटनेची P = १ व अशक्य घटनेची P = ०.
सूत्र : P(E) = अनुकूल ÷ एकूण
आकृतीत : P(E) ० ते १ मध्ये : ० अशक्य, ½ बरोबरीची शक्यता, १ निश्चित.
नियम 1 : अनुकूल व एकूण मोजा — दोन्ही संख्या सारखेच शक्य निकालांच्या असाव्यात.
- सोपे : पत्ते १ ते १०, घटना “सम” : अनुकूल ५ (२, ४, ६, ८, १०), एकूण १०.
- मध्यम : P(सम) = ५/१० = १/२.
- परीक्षेसाठी : P(१० पेक्षा मोठी संख्या) = ०/१० = ०, अशक्य घटना.
नियम 2 : योग्य व अयोग्य संभाव्यता — संभाव्यता कधीही ऋण किंवा १ पेक्षा जास्त नसते.
- सोपे : ३/५ ही संभाव्यता असू शकते.
- मध्यम : ८/५ नाही, कारण ते १ पेक्षा जास्त, आणि −१/२ नाही, कारण ते ऋण.
- परीक्षेसाठी : P = १ म्हणजे निश्चित : १ ते १० संख्यांची बेरीज ० पेक्षा मोठी.
भागण्याआधी निकाल एक एक करून मोजा; एक निकाल सुटला तर उत्तर बदलते.
अनुकूल ÷ एकूण ऐवजी अनुकूल ÷ प्रतिकूल वापरणे.
"हवे ते भागिले सर्व, कधीही एकापेक्षा जास्त नाही."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्गातील एका उपक्रमात एक फासा एकदा फेकला. 3 ची पटीतील संख्या मिळण्यासाठी किती निष्पत्ती अनुकूल आहेत?
- 2एक फासा एकदा फेकल्यावर किती समसंभाव्य निष्पत्ती असतात?
- 3वर्गातील एका उपक्रमात एका पिशवीत 7 पिवळे, 12 काळे आणि 3 पांढरे चेंडू आहेत. एक चेंडू यादृच्छिक काढला. किती समसंभाव्य निष्पत्ती शक्य आहेत?
- 4भाग्यवान सोडत खेळासाठी एक फासा एकदा फेकला. एकूण किती निष्पत्ती शक्य आहेत?
- 5एका बैठ्या खेळात एक नाणे एकदा उडवले. एकूण किती निष्पत्ती शक्य आहेत?
- 6एका पिशवीत फक्त 10 निळे चेंडू आहेत. एक चेंडू यादृच्छिक काढला. तो लाल असण्याची संभाव्यता किती?
- 718 समसंभाव्य निष्पत्ती असलेल्या प्रयोगात 9 निष्पत्ती घटना E ला अनुकूल आहेत. P(E) सोप्या रूपात शोधा.
- 839 समसंभाव्य निष्पत्ती असलेल्या प्रयोगात 25 निष्पत्ती घटना E ला अनुकूल आहेत. P(E) सोप्या रूपात शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12
- 26
- 322
- 46
- 52
- 60
- 71/2
- 825/39
नाणी व फासे
लुडो व सापशिडी दोन्ही फाशावर चालतात; प्रत्येक बाजू सारखीच शक्य, म्हणून खेळ न्याय्य.
एक नाणे : २ निकाल. दोन नाणी : HH, HT, TH, TT (४). एक फासा : ६ निकाल. दोन फासे : ६ × ६ = ३६ निकाल. आधी नमुना अवकाश लिहा, मग अनुकूल जोड्या मोजा.
सूत्र : निकाल : २, ४, ६, ३६
आकृतीत : दोन फासे : बेरीज ७ ही ३६ पैकी ६ घरांत, म्हणून P = १/६.
नाणी व फासे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : नाणी — सर्व निकाल क्रमाने लिहा : प्रत्येक नाण्यासाठी H किंवा T.
- सोपे : दोन नाणी : HH, HT, TH, TT.
- मध्यम : P(किमान एक छापा) = ३/४ (HH, HT, TH).
- परीक्षेसाठी : P(नेमके दोन छापे) = १/४.
नियम 2 : एक फासा व दोन फासे — दोन फाशांसाठी ६ × ६ जोड्यांचा तक्ता वापरा.
- सोपे : एक फासा : P(मूळ) = ३/६ = १/२ (२, ३, ५); P(४ पेक्षा जास्त) = २/६ = १/३.
- मध्यम : दोन फासे : P(बेरीज ८) = ५/३६; P(बेरीज ७) = ६/३६ = १/६.
- परीक्षेसाठी : P(दोन्हीवर समान संख्या) = ६/३६ = १/६.
दोन फाशांच्या प्रश्नांत (२, ५) व (५, २) हे वेगळे निकाल.
दोन फाशांचे एकूण निकाल ३६ ऐवजी १२ घेणे.
"दोन फासे, छत्तीस जोड्या."
सरावासाठी प्रश्न
- 1शाळेच्या जत्रेतील एका स्टॉलवर 3 नाणी एकत्र उडवली. किमान एक छापा मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 2संभाव्यतेच्या एका प्रयोगात 2 नाणी एकत्र उडवली. जास्तीत जास्त एक छापा मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 3वर्गातील एका उपक्रमात 3 नाणी एकत्र उडवली. तीनही छापे मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 4दोन फासे एकत्र फेकले. दोन्ही संख्यांची बेरीज 12 येण्याची संभाव्यता शोधा.
- 5भाग्यवान सोडत खेळासाठी तीन नाणी एकत्र उडवली. पहिल्या नाण्यावर काटा मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 6प्रश्नमंजुषेच्या एका फेरीत तीन नाणी एकत्र उडवली. तीनही सारखे मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 7दोन फासे एकत्र फेकले. दोन्ही संख्यांची बेरीज 7 येण्याची संभाव्यता शोधा.
- 8भाग्यवान सोडत खेळासाठी दोन फासे एकत्र फेकले. बेरीज मूळ संख्या मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 17/8
- 23/4
- 31/8
- 41/36
- 51/2
- 61/4
- 71/6
- 85/12
पिशवी, क्रमांकित पत्ते व सोडत
न पाहता पिशवीत हात घालणे म्हणजे यादृच्छिक निवड : प्रत्येक चेंडूची शक्यता सारखी, लॉटरीच्या प्रत्येक तिकिटासारखी.
यादृच्छिक निवडीत प्रत्येक वस्तू सारखीच शक्य, म्हणून एकूण म्हणजे वस्तूंची संख्या व अनुकूल म्हणजे हवा गुणधर्म असलेल्या वस्तू. सोडतीत P(जिंकणे) = तुमची तिकिटे ÷ एकूण तिकिटे.
सूत्र : P = हव्या वस्तू ÷ सर्व वस्तू
आकृतीत : पिशवी : ५ लाल, ३ निळे, २ हिरवे : P(लाल) = १/२, P(हिरवा नाही) = ४/५.
नियम 1 : क्रमांकित पत्ते — मोजण्याआधी बसणाऱ्या संख्या लिहा.
- सोपे : पत्ते १ ते २०, ३ चे पट : ३, ६, ९, १२, १५, १८, म्हणून P = ६/२० = ३/१०.
- मध्यम : मूळ संख्या : २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, १९, म्हणून P = ८/२० = २/५.
- परीक्षेसाठी : १ ही मूळ संख्या नाही.
नियम 2 : पिशव्या व सोडत — रंग किंवा तिकिटे ही संख्या म्हणून वाचा.
- सोपे : ५ लाल, ३ निळे, २ हिरवे चेंडू : P(लाल) = ५/१० = १/२.
- मध्यम : P(हिरवा नाही) = ८/१० = ४/५.
- परीक्षेसाठी : १००० तिकिटांची सोडत, तुमच्याकडे ५ : P(जिंकणे) = ५/१००० = १/२००.
अनुकूल संख्या एकूणपेक्षा जास्त नाही ना ते तपासा.
एकूणमध्ये काढलेली वस्तू मोजायला विसरणे.
"हव्या वस्तू भागिले सर्व वस्तू."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका पिशवीत 5 लाल, 8 काळे आणि 3 पिवळे चेंडू आहेत. पिशवीतून एक चेंडू यादृच्छिक रीतीने काढला. तो काळा असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 2एका पिशवीत 2 हिरवे, 3 पिवळे आणि 8 लाल चेंडू आहेत. पिशवीतून एक चेंडू यादृच्छिक रीतीने काढला. तो लाल असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 3एका बैठ्या खेळात 1 ते 60 क्रमांक असलेल्या 60 पत्त्यांतून एक पत्ता यादृच्छिक काढला. त्यावरील संख्या सम संख्या असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 4एका पिशवीत 4 लाल आणि 9 निळे चेंडू आहेत. त्यात आणखी 2 निळे चेंडू टाकले. एक चेंडू यादृच्छिक काढला. तो लाल असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 51 ते 40 क्रमांक असलेल्या 40 पत्त्यांतून एक पत्ता यादृच्छिक काढला. त्यावरील संख्या 3 ने भाग जाणारी संख्या असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 6एका बैठ्या खेळात 1 ते 60 क्रमांक असलेल्या 60 पत्त्यांतून एक पत्ता यादृच्छिक काढला. त्यावरील संख्या 5 ची पटीतील संख्या असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 7एका पिशवीत 6 लाल आणि x निळे चेंडू आहेत. लाल चेंडू काढण्याची संभाव्यता 3/4 असल्यास x शोधा.
- 8एका पिशवीत 9 लाल आणि x निळे चेंडू आहेत. लाल चेंडू काढण्याची संभाव्यता 3/8 असल्यास x शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11/2
- 28/13
- 31/2
- 44/15
- 513/40
- 61/5
- 72
- 815
पूरक घटना
उद्या पाऊस पडण्याची शक्यता ०.३ असेल तर न पडण्याची शक्यता १ पूर्ण करणारी उरलेली, म्हणजे ०.७.
“E नाही” ही E ची पूरक घटना. P(E) + P(E नाही) = १, म्हणून P(E नाही) = १ − P(E). “किमान एक” प्रश्नांसाठी हा जलद मार्ग.
सूत्र : P(E नाही) = १ − P(E)
आकृतीत : P(E) = ०.३ म्हणजे P(E नाही) = ०.७, दोन्ही मिळून १.
नियम 1 : P(E नाही) काढा — १ मधून वजा करा.
- सोपे : P(E) = ४/५ वरून P(E नाही) = १/५.
- मध्यम : फासा : P(६) = १/६, म्हणून P(६ नाही) = ५/६.
- परीक्षेसाठी : P(E) = ०.३ वरून P(E नाही) = ०.७.
नियम 2 : “किमान एक” पूरक पद्धतीने — अनेक चांगल्या प्रकरणांऐवजी एक वाईट प्रकरण मोजा.
- सोपे : तीन नाण्यांचे ८ निकाल; फक्त TTT मध्ये छापा नाही.
- मध्यम : P(छापा नाही) = १/८, म्हणून P(किमान एक छापा) = १ − १/८ = ७/८.
- परीक्षेसाठी : दोन फासे : P(बेरीज ७ नाही) = १ − १/६ = ५/६.
प्रश्नात “किमान एक” किंवा “नाही” असेल तर आधी पूरक पद्धत वापरा.
P(E नाही) = P(E) − १ असे लिहिणे.
"नाहीची शक्यता = एक वजा शक्यता."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका प्रयोगाच्या प्राथमिक घटनांच्या संभाव्यता 0.4, 0.35 आणि p आहेत. p शोधा.
- 2एका प्रयोगाच्या प्राथमिक घटनांच्या संभाव्यता 0.35, 0.1 आणि p आहेत. p शोधा.
- 3एका प्रयोगाच्या प्राथमिक घटनांच्या संभाव्यता 0.05, 0.35 आणि p आहेत. p शोधा.
- 4एका प्रयोगाच्या प्राथमिक घटनांच्या संभाव्यता 0.2, 0.4, 0.2 आणि p आहेत. p शोधा.
- 5अनिल खेळ जिंकण्याची संभाव्यता 0.35 आहे. अनिल हरण्याची संभाव्यता शोधा.
- 6शीला खेळ जिंकण्याची संभाव्यता 0.8 आहे. शीला हरण्याची संभाव्यता शोधा.
- 7रेश्मा खेळ जिंकण्याची संभाव्यता 0.65 आहे. रेश्मा हरण्याची संभाव्यता शोधा.
- 8अनिल खेळ जिंकण्याची संभाव्यता 0.15 आहे. अनिल हरण्याची संभाव्यता शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 10.25
- 20.55
- 30.6
- 40.2
- 50.65
- 60.2
- 70.35
- 80.85
पत्ते व उपयोग
पत्त्यांचा कॅट म्हणजे संभाव्यतेची पारंपरिक साधने : ५२ पत्ते, चार प्रकार, प्रत्येकी १३.
कॅटमध्ये ५२ पत्ते चार प्रकारांत : इस्पिक व किलवर (काळे), बदाम व चौकट (लाल), प्रत्येकी १३. चित्रांचे पत्ते म्हणजे प्रत्येक प्रकारचा राजा, राणी, गुलाम : एकूण १२. एक्के ४. या संख्यांनी मोजा व ५२ ने भागा.
सूत्र : एकूण = ५२
आकृतीत : चित्रांचे पत्ते (राजा, राणी, गुलाम) प्रत्येक ओळीतील शेवटचे तीन : ५२ पैकी १२, म्हणून P = ३/१३.
नियम 1 : पत्त्यांच्या सामान्य घटना — कॅटच्या रचनेवरून मोजा.
- सोपे : P(एक्का) = ४/५२ = १/१३; P(लाल पत्ता) = २६/५२ = १/२.
- मध्यम : P(चित्राचा पत्ता) = १२/५२ = ३/१३.
- परीक्षेसाठी : P(बदामचा राजा) = १/५२; P(लाल राजा) = २/५२ = १/२६.
नियम 2 : येथेही पूरक वापरा — चित्राचा नसलेला पत्ता म्हणजे उरलेला कॅट.
- सोपे : P(चित्राचा नाही) = १ − ३/१३ = १०/१३.
- मध्यम : मोजून पडताळा : ५२ − १२ = ४० व ४०/५२ = १०/१३.
- परीक्षेसाठी : चित्रांचे पत्ते व एक्के वेगळे : एक्का चित्राचा पत्ता नसतो.
कॅट एकदा लक्षात ठेवा : ५२, १३ चे चार प्रकार, २६ लाल, १२ चित्रे, ४ एक्के.
एक्क्याला चित्राचा पत्ता मोजणे.
"बावन्न, छब्बीस लाल, बारा चित्रे."
सरावासाठी प्रश्न
- 1प्रश्नमंजुषेच्या एका फेरीत 52 पत्त्यांच्या नीट पिसलेल्या संचातून एक पत्ता यादृच्छिक काढला. काळा पत्ता मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 2प्रश्नमंजुषेच्या एका फेरीत 52 पत्त्यांच्या नीट पिसलेल्या संचातून एक पत्ता यादृच्छिक काढला. एक्का मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 3एका बैठ्या खेळात एक वार यादृच्छिक निवडला. आठवड्याच्या वारांचे नाव ‘S’ ने सुरू होणे (इंग्रजीत) याची संभाव्यता शोधा.
- 4वर्गातील एका उपक्रमात 52 पत्त्यांच्या नीट पिसलेल्या संचातून एक पत्ता यादृच्छिक काढला. चित्रपत्ता (गुलाम, राणी किंवा राजा) मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 5एक महिना यादृच्छिक निवडला. महिन्याचे इंग्रजी नाव ‘J’ ने सुरू होणे याची संभाव्यता शोधा.
- 6भाग्यवान सोडत खेळासाठी 52 पत्त्यांच्या नीट पिसलेल्या संचातून एक पत्ता यादृच्छिक काढला. काळा एक्का मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 725 बल्बच्या पेटीतून यादृच्छिक निवडलेला बल्ब सदोष असण्याची संभाव्यता 0.12 आहे. पेटीत किती बल्ब सदोष आहेत?
- 860 बल्बच्या पेटीतून यादृच्छिक निवडलेला बल्ब सदोष असण्याची संभाव्यता 0.15 आहे. पेटीत किती बल्ब सदोष आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11/2
- 21/13
- 32/7
- 43/13
- 51/4
- 61/26
- 73
- 89