बहुलक वर्ग और बहुलक सूत्र के चिह्न
दुकान में सबसे ज़्यादा बिकने वाला जूते का नाप बहुलक है। समूहित आँकड़ों में पहले सबसे भीड़ वाला वर्ग खोजते हैं, फिर पड़ोसी वर्गों से बहुलक उसमें रखते हैं।
बहुलक वर्ग सबसे बड़ी बारंबारता वाला वर्ग है। बहुलक = l + ((f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)) × h, जहाँ l बहुलक वर्ग की निम्न सीमा, h चौड़ाई, f₁ उसकी बारंबारता, f₀ पिछले वर्ग की और f₂ अगले वर्ग की बारंबारता।
सूत्र : बहुलक = l + ((f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)) × h
आकृति में : बारंबारताएँ 3, 4, 10, 6, 5 : बहुलक वर्ग 20–30।
नियम 1 : हर चिह्न का अर्थ — तीन बारंबारताएँ और बहुलक वर्ग की दो संख्याएँ।
- आसान : f₁ = 10 बहुलक वर्ग की बारंबारता है।
- मध्यम : f₀ = 4 पहले वाले वर्ग 10–20 की है।
- परीक्षा-प्रकार : f₂ = 6 अगले वर्ग 30–40 की है।
नियम 2 : पड़ोसी क्यों महत्त्वपूर्ण — बहुलक अधिक भीड़ वाले पड़ोसी की ओर झुकता है।
- आसान : f₀, f₂ से बड़ा हो तो बहुलक निचले सिरे की ओर खिसकता है।
- मध्यम : f₂ बड़ा हो तो ऊपरी सिरे की ओर।
- परीक्षा-प्रकार : f₀ = f₂ हो तो बहुलक वर्ग के ठीक बीच में।
जाँचें कि बहुलक बहुलक वर्ग के भीतर है।
f₀ और f₂ को उलटा लिख देना।
"पहले, सबसे बड़ी, बाद : f₀, f₁, f₂।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक बंटन का बहुलक वर्ग 60–70 है। उसकी वर्ग माप h बताइए।
- 2एक बंटन का बहुलक वर्ग 90–100 है। उसकी निम्न सीमा l बताइए।
- 3एक बंटन का बहुलक वर्ग 165–180 है। उसकी उच्च सीमा बताइए।
- 4एक वर्गीकृत बंटन के बहुलक वर्ग के लिए l = 150, h = 15, f₁ = 31, f₀ = 7, f₂ = 10 है। बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 5एक वर्गीकृत बंटन के बहुलक वर्ग के लिए l = 180, h = 15, f₁ = 28, f₀ = 2, f₂ = 4 है। बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 6बहुलक वर्ग के लिए f₁ = 13, f₀ = 2, f₂ = 3 है। बहुलक सूत्र का हर 2f₁ − f₀ − f₂ ज्ञात कीजिए।
- 7बहुलक वर्ग के लिए f₁ = 29, f₀ = 22, f₂ = 2 है। बहुलक सूत्र का हर 2f₁ − f₀ − f₂ ज्ञात कीजिए।
- 8बहुलक वर्ग के लिए f₁ = 16, f₀ = 13, f₂ = 9 है। बहुलक सूत्र का हर 2f₁ − f₀ − f₂ ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 110
- 290
- 3180
- 4158
- 5187.8
- 621
- 734
- 810
बहुलक वर्ग, f₀, f₁, f₂ ढूँढना
बारंबारता स्तंभ में सबसे ऊँचा स्तंभ देखें; उसका बायाँ पड़ोसी f₀ और दायाँ f₂।
सबसे बड़ी f खोजें; वह वर्ग बहुलक वर्ग और उसकी बारंबारता f₁। तालिका में उसके ठीक ऊपर की बारंबारता f₀ और ठीक नीचे की f₂। बहुलक वर्ग पहला हो तो f₀ = 0; अंतिम हो तो f₂ = 0।
आकृति में : f₁ = 10 (वर्ग 20–30), f₀ = 4 (वर्ग 10–20), f₂ = 6 (वर्ग 30–40)।
नियम 1 : तीन बारंबारताएँ चुनें — सबसे बड़ी बारंबारता से शुरू करें।
- आसान : f = 3, 4, 10, 6, 5 : सबसे बड़ी 10, इसलिए f₁ = 10।
- मध्यम : ऊपर वाले वर्ग में 4, इसलिए f₀ = 4।
- परीक्षा-प्रकार : नीचे वाले वर्ग में 6, इसलिए f₂ = 6।
नियम 2 : किनारे के मामले — न हो तो पड़ोसी शून्य माना जाता है।
- आसान : f = 9, 6, 4, 2 : बहुलक वर्ग पहला, f₀ = 0।
- मध्यम : f = 2, 5, 8 : बहुलक वर्ग अंतिम, f₂ = 0।
- परीक्षा-प्रकार : दो समान सबसे बड़ी बारंबारताएँ हों तो दो बहुलक वर्ग; प्रश्न अधिक संकेत देता है।
पहले सबसे बड़ी बारंबारता रेखांकित करें, फिर दोनों पड़ोसी घेरें।
सबसे बड़ी बारंबारता की जगह सबसे बड़े वर्ग चिह्न वाला वर्ग लेना।
"सबसे ऊँचा स्तंभ, उसके दो पड़ोसी।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1श्रमिकों की दैनिक मजदूरी (₹ में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 300–320, 320–340, 340–360, 360–380, 380–400 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 6, 7, 6, 8, 5 हैं। बहुलक वर्ग ज्ञात कीजिए।
- 2श्रमिकों की दैनिक मजदूरी (₹ में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 300–310, 310–320, 320–330, 330–340, 340–350 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 3, 23, 13, 5, 6 हैं। f₀ (बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारंबारता) ज्ञात कीजिए।
- 3विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 2, 9, 5, 1, 3 हैं। f₀ (बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारंबारता) ज्ञात कीजिए।
- 4व्यक्तियों की आयु (वर्षों में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 10–15, 15–20, 20–25, 25–30, 30–35 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 1, 2, 1, 14, 2 हैं। f₂ (बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारंबारता) ज्ञात कीजिए।
- 5व्यक्तियों की आयु (वर्षों में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 2, 11, 4, 1, 2 हैं। बहुलक वर्ग ज्ञात कीजिए।
- 6घरों की मासिक बिजली खपत (यूनिट में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 100–120, 120–140, 140–160, 160–180 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 1, 5, 1, 1 हैं। f₁ (बहुलक वर्ग की बारंबारता) ज्ञात कीजिए।
- 7श्रमिकों की दैनिक मजदूरी (₹ में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 200–220, 220–240, 240–260, 260–280, 280–300, 300–320 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 13, 21, 11, 40, 10, 5 हैं। बहुलक वर्ग ज्ञात कीजिए।
- 8विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 0–5, 5–10, 10–15, 15–20, 20–25 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 1, 2, 4, 2, 1 हैं। f₁ (बहुलक वर्ग की बारंबारता) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1360–380
- 23
- 32
- 42
- 530–40
- 65
- 7260–280
- 84
तालिका से बहुलक निकालना
तीन बारंबारताएँ पता हों तो बहुलक ऊपर एक घटाव, नीचे एक घटाव और चौड़ाई से गुणा करने पर मिलता है।
l, h, f₁, f₀, f₂ को बहुलक = l + ((f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)) × h में रखें। हर दो अंतरों f₁ − f₀ और f₁ − f₂ का योग है।
सूत्र : बहुलक = l + ((f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)) × h
आकृति में : बहुलक = 20 + 6 ÷ (20 − 4 − 6) × 10 = 26।
तालिका से बहुलक निकालना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : हल उदाहरण 1 — वर्ग 0–10 … 40–50 और f = 3, 4, 10, 6, 5।
- आसान : l = 20, h = 10, f₁ = 10, f₀ = 4, f₂ = 6।
- मध्यम : अंश 10 − 4 = 6; हर 20 − 4 − 6 = 10।
- परीक्षा-प्रकार : बहुलक = 20 + (6/10) × 10 = 26।
नियम 2 : हल उदाहरण 2 — वर्ग 10–20 … 40–50 और f = 5, 12, 8, 3।
- आसान : बहुलक वर्ग 20–30 : l = 20, f₁ = 12, f₀ = 5, f₂ = 8।
- मध्यम : बहुलक = 20 + 7/(24 − 5 − 8) × 10 = 20 + 70/11।
- परीक्षा-प्रकार : बहुलक ≈ 20 + 6.36 = 26.36।
भाग देने से पहले अंश और हर अलग लिखें।
हर में 2f₁ − f₀ − f₂ की जगह f₁ − f₀ − f₂ लेना।
"ऊपर का अंतर भाग कुल अंतर, गुणा चौड़ाई।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1विद्यार्थियों के भार (kg में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 40–50, 50–60, 60–70, 70–80 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 15, 5, 20, 10 हैं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 2विद्यार्थियों के भार (kg में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 40–50, 50–60, 60–70, 70–80 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 7, 10, 1, 2 हैं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 3घरों की मासिक बिजली खपत (यूनिट में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 60–100, 100–140, 140–180, 180–220 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 2, 4, 16, 3 हैं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 4विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 8, 1, 1, 9, 1 हैं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 5श्रमिकों की दैनिक मजदूरी (₹ में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 200–250, 250–300, 300–350, 350–400, 400–450 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 11, 1, 11, 12, 5 हैं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 6घरों की मासिक बिजली खपत (यूनिट में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 60–100, 100–140, 140–180, 180–220 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 2, 9, 13, 1 हैं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 7श्रमिकों की दैनिक मजदूरी (₹ में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 200–210, 210–220, 220–230, 230–240 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 2, 9, 6, 3 हैं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 8घरों की मासिक बिजली खपत (यूनिट में) का निम्नलिखित बंटन दिया गया है : वर्ग अंतराल 100–140, 140–180, 180–220, 220–260 और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 7, 1, 11, 1 हैं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 166
- 252.5
- 3159.2
- 435
- 5356.25
- 6150
- 7217
- 8200
बहुलक सूत्र से उलटी गणना
बहुलक ज्ञात हो और एक पड़ोसी की बारंबारता खो जाए तो समीकरण बताता है कि क्या खोया।
अज्ञात बारंबारता x लिखें, उसे बहुलक सूत्र में रखें, परिणाम को दिए बहुलक के बराबर रखें और समीकरण हल करें। उत्तर पूर्णांक हो और बहुलक वर्ग न बदले।
सूत्र : हल करें : l + ((f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)) × h = बहुलक
आकृति में : बहुलक 26, f₁ = 10, f₂ = 6 से f₀ = 4।
नियम 1 : f₀ निकालें — बहुलक वर्ग 20–30 और बहुलक 26 दिया है।
- आसान : (10 − x) ÷ (20 − x − 6) × 10 = 26 − 20 = 6।
- मध्यम : 10 − x = 0.6 (14 − x) = 8.4 − 0.6x।
- परीक्षा-प्रकार : 1.6 = 0.4x, इसलिए x = 4।
नियम 2 : सत्यापित करें — मान वापस रखकर बहुलक फिर निकालें।
- आसान : f₀ = 4 रखने पर : बहुलक = 20 + 6/10 × 10 = 26।
- मध्यम : 10 सबसे बड़ी है, इसलिए 20–30 अब भी बहुलक वर्ग।
- परीक्षा-प्रकार : उत्तर 4 पूर्णांक है।
दिया बहुलक आता है या नहीं, उत्तर वापस रखकर देखें।
जाँचे बिना अज्ञात का बहुलक वर्ग बदलने देना।
"समीकरण बनाओ, हल करो, वापस रखो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक बंटन का वर्ग माप 20, f₁ = 23, f₀ = 10, f₂ = 11 और बहुलक 110.4 है। बहुलक वर्ग की निम्न सीमा l ज्ञात कीजिए।
- 2एक बंटन का वर्ग माप 10, f₁ = 10, f₀ = 9, f₂ = 6 और बहुलक 42 है। बहुलक वर्ग की निम्न सीमा l ज्ञात कीजिए।
- 3एक बंटन का वर्ग माप 10, f₁ = 13, f₀ = 10, f₂ = 8 और बहुलक 83.75 है। बहुलक वर्ग की निम्न सीमा l ज्ञात कीजिए।
- 4एक बंटन का बहुलक वर्ग 50–60 है और f₀ = 15, f₂ = 9 है। यदि बहुलक 53.75 है, तो f₁ ज्ञात कीजिए।
- 5एक बंटन का वर्ग माप 20, f₁ = 10, f₀ = 5, f₂ = 7 और बहुलक 152.5 है। बहुलक वर्ग की निम्न सीमा l ज्ञात कीजिए।
- 6एक बंटन का बहुलक वर्ग 180–200 है और f₀ = 13, f₂ = 13 है। यदि बहुलक 190 है, तो f₁ ज्ञात कीजिए।
- 7बहुलक वर्ग 60–80 के दोनों पड़ोसी वर्गों की बारंबारताएँ समान (f₀ = f₂ = 14) हैं और f₁ = 28 है। बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 8वर्ग अंतराल 300–310, 310–320, 320–330, 330–340, 340–350 की बारंबारताएँ 13, 11, x, 2, 4 हैं, बहुलक 323.2 है और बहुलक वर्ग की बारंबारता x है। x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1100
- 240
- 380
- 424
- 5140
- 619
- 770
- 819
माध्य, माध्यक, बहुलक का संबंध और अनुप्रयोग
घंटे जैसे सुडौल आँकड़ों में तीनों औसत एक हो जाते हैं; एकतरफा आँकड़ों में वे निश्चित क्रम में बिखर जाती हैं।
थोड़े विषम बंटन के लिए अनुभवजन्य संबंध है बहुलक = 3 × माध्यक − 2 × माध्य। अन्य दो ज्ञात हों तो तीसरा निकालने में लगाएँ। “सबसे सामान्य” प्रश्नों के लिए बहुलक, योग के लिए माध्य और चरम मानों के लिए माध्यक।
सूत्र : बहुलक = 3 माध्यक − 2 माध्य
आकृति में : माध्यक 22 और माध्य 24 से बहुलक = 66 − 48 = 18।
नियम 1 : संबंध लगाएँ — जो अज्ञात हो उसके लिए सूत्र बदलें।
- आसान : माध्य 24, माध्यक 22 : बहुलक = 3 × 22 − 2 × 24 = 18।
- मध्यम : बहुलक 18, माध्य 24 : माध्यक = (18 + 48) ÷ 3 = 22।
- परीक्षा-प्रकार : बहुलक 18, माध्यक 22 : माध्य = (66 − 18) ÷ 2 = 24।
नियम 2 : कौन-सा औसत कहाँ — प्रश्न को सही औसत से मिलाएँ।
- आसान : दुकान सबसे ज़्यादा बिकने वाला जूते का नाप मँगाती है : बहुलक।
- मध्यम : कक्षा के कुल अंक : माध्य।
- परीक्षा-प्रकार : कुछ घर बहुत महँगे हों तब सामान्य घर का दाम : माध्यक।
यह संबंध केवल जाँच या थोड़े विषम आँकड़ों के लिए लें।
3 × माध्यक − 2 × माध्य में माध्य और माध्यक की अदला-बदली।
"बहुलक : तीन माध्यक घटा दो माध्य।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1मध्यम विषमता वाले बंटन का माध्य 44 और माध्यक 40 है। अनुभवजन्य संबंध से बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 2मध्यम विषमता वाले बंटन का माध्य 79 और माध्यक 71 है। अनुभवजन्य संबंध से बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 3मध्यम विषमता वाले बंटन का माध्य 64 और माध्यक 56 है। अनुभवजन्य संबंध से बहुलक ज्ञात कीजिए।
- 4मध्यम विषमता वाले बंटन का बहुलक 34 और माध्यक 44 है। माध्य ज्ञात कीजिए।
- 5मध्यम विषमता वाले बंटन का बहुलक 64 और माध्यक 44 है। माध्य ज्ञात कीजिए।
- 6मध्यम विषमता वाले बंटन का बहुलक 79 और माध्य 43 है। माध्यक ज्ञात कीजिए।
- 7एक कक्षा के परीक्षण अंकों का माध्य 29 और माध्यक 25 है। 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य से बहुलक का अनुमान लगाइए।
- 8मध्यम विषमता वाले बंटन का माध्य 74 और माध्यक 71 है। बहुलक + माध्यक + माध्य का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 132
- 255
- 340
- 449
- 534
- 655
- 717
- 8210