वर्ग चिह्न, वर्ग की चौड़ाई और माध्य का सूत्र
शिक्षिका के पास 20 विद्यार्थियों के अंक 0–10, 10–20 जैसे समूहों में हैं। हर अंक दिखता नहीं, इसलिए वह मान लेती है कि समूह के सभी विद्यार्थियों के अंक उस समूह के बीच के मान के बराबर हैं।
समूहित आँकड़ों में हर वर्ग का वर्ग चिह्न x = (निम्न सीमा + उच्च सीमा) ÷ 2 और वर्ग की चौड़ाई h = उच्च − निम्न। माध्य है Σfx ÷ Σf, जहाँ f उस वर्ग की बारंबारता है।
सूत्र : माध्य = Σfx ÷ Σf
आकृति में : चौड़ाई 10 के वर्ग, बारंबारता 2, 3, 6, 5, 4; वर्ग चिह्न 5 से 45; माध्य 28।
नियम 1 : वर्ग चिह्न और चौड़ाई — दोनों सीमाएँ जोड़कर आधा करें; चौड़ाई के लिए घटाएँ।
- आसान : वर्ग 20–30 : x = (20 + 30) ÷ 2 = 25।
- मध्यम : वर्ग 20–30 : h = 30 − 20 = 10।
- परीक्षा-प्रकार : वर्ग 15–25 : x = 20, h = 10।
नियम 2 : माध्य केवल अनुमान क्यों — वर्ग में सटीक मान नहीं पता, इसलिए x सबका प्रतिनिधि है।
- आसान : Σf कुल प्रेक्षण, N है।
- मध्यम : हर गुणनफल fx “बारंबारता गुणा वर्ग चिह्न” है।
- परीक्षा-प्रकार : उत्तर पहले और अंतिम वर्ग चिह्न के बीच होता है।
जाँचें कि माध्य सबसे छोटे और सबसे बड़े वर्ग चिह्न के बीच है।
Σfx में वर्ग चिह्न की जगह वर्ग की सीमाएँ लेना।
"बारंबारता गुणा वर्ग चिह्न, भाग कुल।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग अंतराल 25–31 का वर्ग माप (वर्ग की चौड़ाई) ज्ञात कीजिए।
- 2वर्ग अंतराल 34–36 का वर्ग चिह्न ज्ञात कीजिए।
- 3वर्ग अंतराल 105–111 का वर्ग माप (वर्ग की चौड़ाई) ज्ञात कीजिए।
- 4एक बंटन के वर्ग अंतराल 300–320, 320–340, 340–360, 360–380 हैं। पहले वर्ग का वर्ग चिह्न ज्ञात कीजिए।
- 5एक बंटन के वर्ग अंतराल 50–60, 60–70, 70–80, 80–90 हैं। दूसरे वर्ग का वर्ग चिह्न ज्ञात कीजिए।
- 6एक बंटन के वर्ग अंतराल 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45 हैं। चौथे वर्ग का वर्ग चिह्न ज्ञात कीजिए।
- 7समान चौड़ाई के तीन क्रमागत वर्गों के वर्ग चिह्न 74, 82 और 90 हैं। पहला वर्ग अंतराल ज्ञात कीजिए।
- 8एक वर्गीकृत आँकड़ों के लिए Σfᵢxᵢ = 2944 और Σfᵢ = 32 है। माध्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16
- 235
- 36
- 4310
- 565
- 637.5
- 770–78
- 892
प्रत्यक्ष विधि
दुकानदार दिन के बिलों को समूहों में रखता है, हर समूह के बीच वाले बिल को बिलों की संख्या से गुणा करता है, सब जोड़ता है और कुल बिलों से भाग देता है।
प्रत्यक्ष विधि में x, f और fx स्तंभ बनाएँ। f स्तंभ का योग Σf और fx स्तंभ का योग Σfx लें, फिर भाग दें : माध्य = Σfx ÷ Σf। संख्याएँ छोटी हों तो यह सरल है।
सूत्र : माध्य = Σfx ÷ Σf
आकृति में : Σf = 20, Σfx = 560, इसलिए माध्य 28।
प्रत्यक्ष विधि
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : तालिका बनाएँ — हर वर्ग का x, फिर fx निकालें।
- आसान : वर्ग 0–10 … 40–50 के x = 5, 15, 25, 35, 45।
- मध्यम : f = 2, 3, 6, 5, 4 पर fx = 10, 45, 150, 175, 180।
- परीक्षा-प्रकार : Σf = 20 और Σfx = 560।
नियम 2 : भाग दें और जाँचें — माध्य आँकड़ों से मेल खाना चाहिए।
- आसान : माध्य = 560 ÷ 20 = 28।
- मध्यम : 28 वर्ग 20–30 में है, जहाँ बड़ी बारंबारताएँ हैं।
- परीक्षा-प्रकार : f का गलत योग सबसे आम गलती है।
हर स्तंभ दो बार जोड़ें; गलत Σf या Σfx पूरा उत्तर बिगाड़ता है।
Σfx को वर्गों की संख्या से भाग देना, Σf से नहीं।
"गुणा करो, जोड़ो, कुल बारंबारता से भाग दो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दो अनुभागों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 7, 4, 1, 8; अनुभाग B की बारंबारताएँ 8, 8, 3, 1। किस अनुभाग का माध्य अधिक है?
- 2वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 274 है और Σfᵢ = 40 है। Σfᵢxᵢ ज्ञात कीजिए।
- 3दो अनुभागों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 5, 5, 7, 3; अनुभाग B की बारंबारताएँ 2, 7, 2, 9। किस अनुभाग का माध्य अधिक है?
- 4वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 332 है और Σfᵢ = 50 है। Σfᵢxᵢ ज्ञात कीजिए।
- 5वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 97 है और Σfᵢ = 50 है। Σfᵢxᵢ ज्ञात कीजिए।
- 6दो अनुभागों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 2, 1, 2, 15; अनुभाग B की बारंबारताएँ 6, 7, 1, 6। किस अनुभाग का माध्य अधिक है?
- 7दो अनुभागों के प्राप्तांक (वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40) : अनुभाग A की बारंबारताएँ 1, 4, 10, 5; अनुभाग B की बारंबारताएँ 3, 5, 4, 8। किस अनुभाग का माध्य अधिक है?
- 8वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 47.3 है और Σfᵢ = 100 है। Σfᵢxᵢ ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1अनुभाग A
- 210960
- 3अनुभाग B
- 416600
- 54850
- 6अनुभाग A
- 7अनुभाग A
- 84730
कल्पित माध्य विधि
28, 31, 29 जल्दी जोड़ने के लिए 30 से शुरू कर −2, +1, −1 जोड़ते हैं; छोटी संख्याएँ आसान।
बीच का एक वर्ग चिह्न कल्पित माध्य A लें। हर वर्ग का विचलन d = x − A निकालें। फिर माध्य = A + Σfd ÷ Σf। सबसे बड़ी बारंबारता वाला वर्ग चुनने पर d स्तंभ छोटा रहता है।
सूत्र : माध्य = A + Σfd ÷ Σf
आकृति में : A = 25 : Σfd = 60, इसलिए माध्य 25 + 60/20 = 28।
नियम 1 : विचलन और fd — कल्पित वर्ग का विचलन हमेशा 0 होता है।
- आसान : A = 25 : d = −20, −10, 0, 10, 20।
- मध्यम : fd = −40, −30, 0, 50, 80; Σfd = 60।
- परीक्षा-प्रकार : ऋण चिह्न रखें; वे योग का कुछ भाग कम करते हैं।
नियम 2 : कोई भी A लें, माध्य वही — यह विधि केवल छोटा रास्ता है।
- आसान : A = 15 : d = −10, 0, 10, 20, 30; Σfd = −20 + 0 + 60 + 100 + 120 = 260।
- मध्यम : माध्य = 15 + 260/20 = 28 फिर से।
- परीक्षा-प्रकार : संख्याएँ छोटी रखने के लिए A बीच से चुनें।
जाँचें : A के रूप में चुने वर्ग का विचलन शून्य हो।
अंत में A को वापस जोड़ना भूल जाना।
"अनुमान से शुरू, औसत अंतर जोड़ो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग चिह्न 110, 130, 150, 170, 190, 210 वाले बंटन के लिए कल्पित माध्य a = 170 है। वर्ग चिह्न 150 के लिए विचलन d = x − a ज्ञात कीजिए।
- 2वर्ग चिह्न 30, 50, 70, 90 वाले बंटन के लिए कल्पित माध्य a = 70 है। वर्ग चिह्न 50 के लिए विचलन d = x − a ज्ञात कीजिए।
- 3वर्ग चिह्न 2.5, 7.5, 12.5, 17.5 वाले बंटन के लिए कल्पित माध्य a = 12.5 है। वर्ग चिह्न 2.5 के लिए विचलन d = x − a ज्ञात कीजिए।
- 4वर्ग चिह्न 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5, 37.5 वाले बंटन के लिए कल्पित माध्य a = 32.5 है। वर्ग चिह्न 22.5 के लिए विचलन d = x − a ज्ञात कीजिए।
- 5वर्ग चिह्न 55, 65, 75, 85, 95, 105 वाले बंटन के लिए कल्पित माध्य a = 85 है। वर्ग चिह्न 55 के लिए विचलन d = x − a ज्ञात कीजिए।
- 6कल्पित माध्य 55 लेने पर Σfᵢdᵢ = −15 और Σfᵢ = 25 है। कल्पित माध्य बदलकर 75 करने पर नया Σfᵢdᵢ क्या होगा?
- 7कल्पित माध्य विधि से माध्य = 20.24, Σfᵢdᵢ = 62 और Σfᵢ = 50 है। कल्पित माध्य a ज्ञात कीजिए।
- 8कल्पित माध्य विधि से माध्य = 38.92, Σfᵢdᵢ = 73 और Σfᵢ = 25 है। कल्पित माध्य a ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−20
- 2−20
- 3−10
- 4−10
- 5−30
- 6−515
- 719
- 836
पद-विचलन विधि
जब सभी विचलन 10 के गुणज हों, उन्हें 10 से भाग देने पर −2, −1, 0, 1, 2 जैसी छोटी संख्याएँ मिलती हैं।
सभी वर्गों की चौड़ाई h समान हो तो पद-विचलन u = (x − A) ÷ h लें। फिर माध्य = A + h × Σfu ÷ Σf। बड़े वर्ग चिह्नों के लिए यह सबसे तेज़ विधि है।
सूत्र : माध्य = A + h × Σfu ÷ Σf
आकृति में : A = 25, h = 10 : Σfu = 6, माध्य = 25 + 10 × 6/20 = 28।
नियम 1 : u स्तंभ बनाएँ — हर विचलन को h से भाग दें।
- आसान : d = −20, −10, 0, 10, 20 ÷ 10 से u = −2, −1, 0, 1, 2।
- मध्यम : fu = −4, −3, 0, 5, 8; Σfu = 6।
- परीक्षा-प्रकार : कल्पित वर्ग का u = 0 होता है।
नियम 2 : h से वापस गुणा — यह विधि संख्याएँ छोटी करती है, इसलिए h से वापस गुणा करें।
- आसान : माध्य = 25 + 10 × 6/20 = 25 + 3 = 28।
- मध्यम : तीनों विधियों से 28 आता है, इसलिए कोई भी लें।
- परीक्षा-प्रकार : समान चौड़ाई चाहिए; नहीं तो कल्पित माध्य विधि लें।
उत्तर प्रत्यक्ष विधि से अलग आए तो u का चिह्न और h से गुणा जाँचें।
Σfu ÷ Σf को h से गुणा करना भूल जाना।
"h से छोटा करो, फिर h से बड़ा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग माप 10 और कल्पित माध्य a = 45 होने पर वर्ग चिह्न 55 के लिए uᵢ = (xᵢ − a)/h ज्ञात कीजिए।
- 2वर्ग माप 15 और कल्पित माध्य a = 82.5 होने पर वर्ग चिह्न 67.5 के लिए uᵢ = (xᵢ − a)/h ज्ञात कीजिए।
- 3वर्ग माप 15 और कल्पित माध्य a = 72.5 होने पर वर्ग चिह्न 87.5 के लिए uᵢ = (xᵢ − a)/h ज्ञात कीजिए।
- 4वर्ग माप 10 और कल्पित माध्य a = 65 होने पर वर्ग चिह्न 55 के लिए uᵢ = (xᵢ − a)/h ज्ञात कीजिए।
- 5पद-विचलन विधि से माध्य = 44, a = 40, Σfᵢuᵢ = 4 और Σfᵢ = 20 है। वर्ग माप h ज्ञात कीजिए।
- 6पद-विचलन गणना में a = 20, h = 15, Σfᵢuᵢ = 40 और Σfᵢ = 20 है। माध्य ज्ञात कीजिए।
- 7पद-विचलन गणना में a = 50, h = 25, Σfᵢuᵢ = 18 और Σfᵢ = 25 है। माध्य ज्ञात कीजिए।
- 8पद-विचलन गणना में a = 90, h = 25, Σfᵢuᵢ = 12 और Σfᵢ = 20 है। माध्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11
- 2−1
- 31
- 4−1
- 520
- 650
- 768
- 8105
लुप्त बारंबारता और अनुप्रयोग
20 विद्यार्थियों का रजिस्टर फट जाए और एक बारंबारता खो जाए, तब भी आवरण पर लिखे माध्य से वह मिल जाती है।
माध्य दिया हो और एक बारंबारता लुप्त हो तो उसे x मानें, Σfx और Σf को x में लिखें और समीकरण Σfx ÷ Σf = माध्य बनाएँ। x हल करें। बारंबारता पूर्णांक आनी चाहिए।
सूत्र : Σfx ÷ Σf = माध्य
आकृति में : बारंबारता 2, x, 6, 5, 4 और माध्य 28 से x = 3।
नियम 1 : लुप्त बारंबारता निकालें — x वाले पद और संख्याएँ अलग रखें।
- आसान : वर्ग 0–10 … 40–50, f = 2, x, 6, 5, 4 : Σf = 17 + x।
- मध्यम : Σfx = 10 + 15x + 150 + 175 + 180 = 515 + 15x।
- परीक्षा-प्रकार : 515 + 15x = 28(17 + x) = 476 + 28x, इसलिए 13x = 39 और x = 3।
नियम 2 : अनुप्रयोग — मजदूरी, ऊँचाई और रनों के औसत सब समूहित माध्य के उदाहरण हैं।
- आसान : उत्तर जाँचें : x = 3 रखने पर Σf = 20, Σfx = 560, माध्य 28।
- मध्यम : 3.5 जैसी बारंबारता यानी गलती : विद्यार्थी पूर्ण संख्या होते हैं।
- परीक्षा-प्रकार : मजदूरी, ऊँचाई और आयु के लिए वही तरीका।
उत्तर को तालिका में वापस रखकर माध्य फिर निकालें।
x को Σf में लेना पर Σfx में भूल जाना।
"दोनों योगों में वही अज्ञात।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग अंतराल 30–35, 35–40, 40–45, 45–50 की बारंबारताएँ क्रमशः 11, 36, 2, p हैं और कुल बारंबारता 50 है। p ज्ञात कीजिए।
- 2वर्ग अंतराल 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70, 70–80 की बारंबारताएँ क्रमशः p, 13, 2, 12, 4, 8 हैं और कुल बारंबारता 50 है। p ज्ञात कीजिए।
- 3वर्ग अंतराल 10–20, 20–30, 30–40, 40–50, 50–60 की बारंबारताएँ क्रमशः 1, 14, p, 1, 2 हैं और कुल बारंबारता 20 है। p ज्ञात कीजिए।
- 4वर्ग अंतराल 120–160, 160–200, 200–240, 240–280, 280–320, 320–360 की बारंबारताएँ क्रमशः 3, 14, 3, 3, 15, p हैं और कुल बारंबारता 40 है। p ज्ञात कीजिए।
- 530 विद्यार्थियों के एक समूह का माध्य अंक 89 है और 10 विद्यार्थियों के दूसरे समूह का माध्य अंक 65 है। सभी 40 विद्यार्थियों का माध्य ज्ञात कीजिए।
- 630 विद्यार्थियों के एक समूह का माध्य अंक 41 है और 30 विद्यार्थियों के दूसरे समूह का माध्य अंक 75 है। सभी 60 विद्यार्थियों का माध्य ज्ञात कीजिए।
- 740 विद्यार्थियों के एक समूह का माध्य अंक 85 है और 60 विद्यार्थियों के दूसरे समूह का माध्य अंक 65 है। सभी 100 विद्यार्थियों का माध्य ज्ञात कीजिए।
- 8कुछ प्रेक्षणों का माध्य 103 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 7 से बढ़ाया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11
- 211
- 32
- 42
- 583
- 658
- 773
- 8110