आयतन के सूत्र और उनका संबंध
शंकु को रेत से भरकर उसी आधार और ऊँचाई के बेलन में डालें : बेलन भरने में तीन शंकु लगते हैं।
त्रिज्या r और ऊँचाई h के लिए : बेलन πr²h, शंकु ⅓πr²h, गोला 4/3 πr³, अर्धगोला 2/3 πr³। ऊँचाई = त्रिज्या होने पर शंकु : अर्धगोला : बेलन = 1 : 2 : 3।
सूत्र : V = πr²h ; ⅓πr²h ; 4/3 πr³ ; 2/3 πr³
आकृति में : r = h होने पर शंकु, अर्धगोला, बेलन 1 : 2 : 3 अनुपात में।
नियम 1 : एक-एक ठोस — r, h रखें; r, 7 का गुणज हो तो π = 22/7 लें।
- आसान : गोला r = 21 : 4/3 × 22/7 × 9261 = 38808 cm³।
- मध्यम : शंकु r = 7, h = 24 : 1/3 × 154 × 24 = 1232 cm³।
- परीक्षा-प्रकार : बेलन r = 7, h = 10 : 154 × 10 = 1540 cm³।
नियम 2 : संबंध लगाएँ — एक आयतन से बाकी बिना दोबारा गणना के मिलते हैं।
- आसान : बेलन 216π (r = h = 6) : शंकु 72π, अर्धगोला 144π।
- मध्यम : अर्धगोला गोले का आधा : 38808 ÷ 2 = 19404।
- परीक्षा-प्रकार : समान r, h के तीन शंकु एक बेलन भरते हैं।
संयुक्त का आयतन उसके भागों के आयतनों का सीधा योग (या अंतर) है।
शंकु के लिए πr²h लगाना; उसमें ⅓ चाहिए।
"शंकु एक-तिहाई, अर्धगोला दो-तिहाई।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1त्रिज्या r = 10 cm (और जहाँ आवश्यक हो ऊँचाई h = 13 cm) होने पर शंकु का आयतन किस सूत्र से मिलता है?
- 2त्रिज्या r = 13 cm (और जहाँ आवश्यक हो ऊँचाई h = 11 cm) होने पर गोला का आयतन किस सूत्र से मिलता है?
- 3त्रिज्या r = 9 cm (और जहाँ आवश्यक हो ऊँचाई h = 19 cm) होने पर शंकु का आयतन किस सूत्र से मिलता है?
- 4त्रिज्या r = 17 cm (और जहाँ आवश्यक हो ऊँचाई h = 7 cm) होने पर अर्धगोला का आयतन किस सूत्र से मिलता है?
- 5अर्धगोला और बेलन दोनों की आधार त्रिज्या 4 cm और ऊँचाई 4 cm है। अर्धगोला के आयतन का बेलन के आयतन से अनुपात ज्ञात कीजिए।
- 6शंकु, अर्धगोले और बेलन तीनों की त्रिज्या r है तथा शंकु और बेलन दोनों की ऊँचाई r है। बेलन का आयतन 57 cm³ है। शंकु का आयतन (cm³ में) ज्ञात कीजिए।
- 7अर्धगोले की त्रिज्या 5 cm से बढ़ाकर 25 cm की गई। उसका आयतन कितने गुना बढ़ता है?
- 8शंकु, अर्धगोले और बेलन तीनों की त्रिज्या r है तथा शंकु और बेलन दोनों की ऊँचाई r है। बेलन का आयतन 87 cm³ है। शंकु का आयतन (cm³ में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11/3 πr²h
- 24/3 πr³
- 31/3 πr²h
- 42/3 πr³
- 52 : 3
- 619
- 7125
- 829
बेलन और अर्धगोला (कैप्सूल, टंकी, बर्तन)
कैप्सूल में कितनी दवा आती है? बीच का बेलन और दोनों सिरे जोड़ें; सिरे मिलकर एक गोला बनते हैं।
हर सिरे पर अर्धगोले वाले बेलन का आयतन πr²h + 4/3 πr³ है, क्योंकि दो अर्धगोले मिलकर एक गोला बनते हैं। केवल एक ओर अर्धगोला हो तो 2/3 πr³ जोड़ें। बर्तन की धारिता उसका भीतरी आयतन है।
सूत्र : V = πr²h + 4/3 πr³
आकृति में : कैप्सूल r = 3, बेलन h = 10 : 90π + 36π = 126π ≈ 396 cm³।
बेलन और अर्धगोला (कैप्सूल, टंकी, बर्तन)
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : कैप्सूल — बेलन भाग जमा एक गोला।
- आसान : r = 3, h = 10 : बेलन π × 9 × 10 = 90π।
- मध्यम : दो अर्धगोले = गोला 4/3 × π × 27 = 36π।
- परीक्षा-प्रकार : कुल 126π = 126 × 22/7 = 396 cm³।
नियम 2 : एक अर्धगोले वाला बर्तन — बेलन जमा एक अर्धगोला।
- आसान : r = 3, h = 10 : बेलन 90π, अर्धगोला 2/3 × 27π = 18π।
- मध्यम : धारिता 108π = 108 × 22/7 ≈ 339.4 cm³।
- परीक्षा-प्रकार : 1000 cm³ = 1 L, इसलिए यह लगभग 0.34 लीटर।
जोड़ने से पहले बेलन भाग और गोला भाग अलग पंक्तियों में लिखें।
कुल लंबाई को बेलन की ऊँचाई मानना; पहले 2r घटाएँ।
"बीच में नली, सिरों पर गेंद।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक कैप्सूल 11 cm त्रिज्या और 12 cm ऊँचाई का बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर उतनी ही त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला है। इसका आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 2एक कैप्सूल 8 cm त्रिज्या और 17 cm ऊँचाई का बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर उतनी ही त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला है। इसका आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 316 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 4एक कैप्सूल 9 cm त्रिज्या और 13 cm ऊँचाई का बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर उतनी ही त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला है। इसका आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 517 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 6दवा का कैप्सूल दोनों सिरों पर अर्धगोले वाला बेलन है। इसकी कुल लंबाई 14 mm और व्यास 4 mm है। इसका आयतन (mm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 7दवा का कैप्सूल दोनों सिरों पर अर्धगोले वाला बेलन है। इसकी कुल लंबाई 19 mm और व्यास 14 mm है। इसका आयतन (mm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 8दोनों सिरों पर 4 cm त्रिज्या के अर्धगोले वाले कैप्सूल का आयतन 1552π/3 cm³ है। उसके बेलनाकार भाग की ऊँचाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 19680π/3
- 25312π/3
- 38192π/3
- 42025π
- 59826π/3
- 6152π/3
- 72107π/3
- 827
शंकु और अर्धगोला या बेलन (खिलौना, आइसक्रीम, तंबू)
ऊपर स्कूप वाला आइसक्रीम कोन शंकु जमा अर्धगोला है; तंबू के भीतर की हवा शंकु जमा बेलन है।
अर्धगोले पर शंकु : V = ⅓πr²h + ⅔πr³। बेलन पर शंकु : V = πr²H + ⅓πr²h, जहाँ H बेलन की और h शंकु की ऊँचाई। यहाँ h सीधी ऊँचाई है; आयतन के लिए तिर्यक ऊँचाई नहीं लगती।
सूत्र : V = ⅓πr²h + ⅔πr³
आकृति में : आइसक्रीम r = 6, शंकु h = 8 : 96π + 144π = 240π ≈ 753.6 cm³ (π = 3.14)।
शंकु और अर्धगोला या बेलन (खिलौना, आइसक्रीम, तंबू)
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : शंकु और अर्धगोला — अर्धगोले की r शंकु के आधार जितनी।
- आसान : r = 6, h = 8 : शंकु 1/3 × π × 36 × 8 = 96π।
- मध्यम : अर्धगोला 2/3 × π × 216 = 144π।
- परीक्षा-प्रकार : कुल 240π ≈ 753.6 cm³।
नियम 2 : तंबू : बेलन पर शंकु — पहले बेलन भाग, फिर शंकु।
- आसान : r = 7, बेलन H = 10 : 154 × 10 = 1540।
- मध्यम : शंकु h = 6 : 1/3 × 154 × 6 = 308।
- परीक्षा-प्रकार : भीतर की हवा = 1848 m³।
जाँचें कि हर भाग में वही त्रिज्या ली गई है।
⅓πr²h में h की जगह तिर्यक ऊँचाई l लेना।
"आयतन में सीधी ऊँचाई, क्षेत्रफल में तिर्यक।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक खिलौना 6 cm आधार त्रिज्या और 19 cm ऊँचाई का शंकु है जो उतनी ही त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा है। इसका आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 2एक खिलौना 1 cm आधार त्रिज्या और 5 cm ऊँचाई का शंकु है जो उतनी ही त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा है। इसका आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 3एक खिलौना 9 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर शंकु रखकर बना है। खिलौने की कुल ऊँचाई 30 cm है। इसका आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 4एक खिलौना 12 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर शंकु रखकर बना है। खिलौने की कुल ऊँचाई 18 cm है। इसका आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 5एक तंबू 6 m त्रिज्या और 4 m ऊँचाई के बेलन पर उतनी ही त्रिज्या और 18 m ऊँचाई का शंकु रखकर बना है। भीतर की हवा का आयतन (m³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 6एक तंबू 12 m त्रिज्या और 5 m ऊँचाई के बेलन पर उतनी ही त्रिज्या और 17 m ऊँचाई का शंकु रखकर बना है। भीतर की हवा का आयतन (m³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 710 cm त्रिज्या और 16 cm ऊँचाई के ठोस बेलन में से अधिकतम आकार का शंकु तराशकर निकाला गया। व्यर्थ गई लकड़ी का आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 8एक खिलौना 30 cm ऊँचाई का शंकु है जो एक अर्धगोले पर रखा है; दोनों की त्रिज्या 10 cm है। शंकु के आयतन का अर्धगोले के आयतन से अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1372π
- 27π/3
- 31053π
- 41440π
- 5360π
- 61536π
- 73200π/3
- 83 : 2
पिघलाकर नया आकार
सोने की अँगूठी पिघलाकर पट्टी बनाएँ तो सोना न बढ़ता है न घटता है : आयतन वही रहता है।
ठोस को पिघलाकर दूसरे आकार में ढालने पर आयतन नहीं बदलता। इसलिए पुराने का आयतन = नए का आयतन। n समान नए ठोस बनें तो n = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन।
सूत्र : n = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन
आकृति में : r = 6 का गोला (6/2)³ = 27 गेंदें r = 2 की बनाता है।
नियम 1 : कई छोटे ठोस — आयतन भाग दें; 4/3 π कट जाता है।
- आसान : गोला r = 6 : 288π। छोटी गेंद r = 2 : 32π/3।
- मध्यम : n = 288π ÷ (32π/3) = 27।
- परीक्षा-प्रकार : गोलों के लिए शॉर्टकट : n = (R/r)³ = 3³ = 27।
नियम 2 : गोले की तार — तार बहुत लंबा पतला बेलन है।
- आसान : गोला r = 3 : 36π cm³।
- मध्यम : तार की त्रिज्या 0.1 cm : π × 0.01 × L = 36π, इसलिए L = 3600 cm।
- परीक्षा-प्रकार : तार 36 m लंबी है।
पहले “पुराना आयतन = नया आयतन” लिखें; बाकी बीजगणित।
आयतनों की जगह पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर मानना।
"पिघलाओ, आयतन वही।"
अभ्यास के प्रश्न
- 15 cm त्रिज्या और 27 cm ऊँचाई के ठोस बेलन को पिघलाकर 3 cm त्रिज्या का नया ठोस बेलन बनाया गया। नए बेलन की ऊँचाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 28 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई के ठोस बेलन को पिघलाकर 2 cm त्रिज्या का नया ठोस बेलन बनाया गया। नए बेलन की ऊँचाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 39 cm त्रिज्या और 16 cm ऊँचाई के ठोस बेलन को पिघलाकर 12 cm त्रिज्या का नया ठोस बेलन बनाया गया। नए बेलन की ऊँचाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 48 cm त्रिज्या और 40 cm ऊँचाई के ठोस धातु के बेलन को पिघलाकर 4 cm त्रिज्या के गोले बनाए गए। कितने गोले बनेंगे?
- 512 cm त्रिज्या और 80 cm ऊँचाई के ठोस धातु के बेलन को पिघलाकर 6 cm त्रिज्या के गोले बनाए गए। कितने गोले बनेंगे?
- 67 cm त्रिज्या और 19 cm ऊँचाई के ठोस बेलन को पिघलाकर उतनी ही त्रिज्या और 19 cm ऊँचाई के ठोस शंकु बनाए गए। कितने शंकु बनेंगे?
- 710 cm त्रिज्या के ठोस गोले को पिघलाकर 2 cm आधार त्रिज्या वाले 25 एक जैसे ठोस शंकु बनाए गए। प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 86 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्या के तीन ठोस धातु के गोलों को पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया गया। नए गोले की त्रिज्या (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 175
- 2160
- 39
- 430
- 540
- 63
- 740
- 812
गुहिकाएँ, विस्थापन और अनुप्रयोग
गिलास के पानी में पत्थर डालने पर स्तर बढ़ता है; विस्थापित पानी का आयतन पत्थर के बराबर।
गुहिका खाली जगह है : आयतन = बाहरी ठोस − गुहिका। पानी में पूरा डुबोया ठोस अपने आयतन के बराबर पानी हटाता है, इसलिए स्तर की वृद्धि × आधार का क्षेत्रफल = ठोस का आयतन। खोखले गोले का आयतन 4/3 π (R³ − r³)।
सूत्र : वृद्धि × आधार क्षेत्रफल = आयतन
आकृति में : r = 3 की गेंद r = 6 के बेलन में पानी 36π ÷ 36π = 1 cm ऊपर उठाती है।
नियम 1 : गुहिका और खोखला खोल — खाली भाग घटाएँ।
- आसान : बेलन r = 3, h = 10 और अर्धगोल गड्ढा : 90π − 18π = 72π ≈ 226.1 cm³ (π = 3.14)।
- मध्यम : खोखला गोला R = 6, r = 3 : 4/3 π (216 − 27) = 252π ≈ 791.3 cm³।
- परीक्षा-प्रकार : आयतन घटाएँ, त्रिज्याएँ नहीं।
नियम 2 : विस्थापित पानी — वस्तु का आयतन = आधार क्षेत्रफल × वृद्धि।
- आसान : गेंद r = 3 : आयतन 36π।
- मध्यम : बेलन r = 6 : आधार क्षेत्रफल 36π, इसलिए वृद्धि = 1 cm।
- परीक्षा-प्रकार : ऐसी बारह गेंदें डालें तो 12 cm वृद्धि, पर टंकी काफी ऊँची होनी चाहिए।
पूछें : मुझे जो आयतन चाहिए वह भीतर का, बाहर का या अंतर है?
स्तर की वृद्धि को ही आयतन मानना; वृद्धि × आधार क्षेत्रफल चाहिए।
"बाहरी घटा खाली; वृद्धि गुणा आधार।"
अभ्यास के प्रश्न
- 16 cm त्रिज्या का ठोस गोला 12 cm त्रिज्या के पानी वाले बेलनाकार बर्तन में डाला गया; वह पूरा डूब गया। पानी का तल कितने cm ऊपर उठेगा?
- 210 cm त्रिज्या और 30 cm ऊँचाई के ठोस बेलन से वही आधार और वही ऊँचाई वाला शंक्वाकार कोटर निकाला गया। शेष ठोस का आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 39 cm त्रिज्या और 7 cm ऊँचाई के ठोस बेलन से वही आधार और वही ऊँचाई वाला शंक्वाकार कोटर निकाला गया। शेष ठोस का आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 426 cm ऊँचाई और 4 cm आधार त्रिज्या के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे से 4 cm त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला खोदकर लकड़ी की वस्तु बनाई गई। शेष लकड़ी का आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 5प्रत्येक 3 cm त्रिज्या की 72 गोलियाँ 12 cm त्रिज्या के पानी वाले बेलनाकार जार में डाली गईं और सब डूब गईं। पानी के तल में वृद्धि (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 614 cm ऊँचाई और 7 cm आधार त्रिज्या के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे से 7 cm त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला खोदकर लकड़ी की वस्तु बनाई गई। शेष लकड़ी का आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 733 cm ऊँचाई और 9 cm आधार त्रिज्या के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे से 9 cm त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला खोदकर लकड़ी की वस्तु बनाई गई। शेष लकड़ी का आयतन (cm³ में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 87 cm आधार त्रिज्या और 17 cm ऊँचाई के ठोस बेलन से वही आधार और वही ऊँचाई का शंक्वाकार कोटर निकाला गया। कोटर के आयतन का शेष ठोस के आयतन से अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 22000π
- 3378π
- 4992π/3
- 518
- 6686π/3
- 71701π
- 81 : 2