त्रिज्याखंड, वृत्तखंड व त्रिज्याखंडाचा कोन
पिझ्झाचा तुकडा म्हणजे त्रिज्याखंड : केंद्रापासून दोन सरळ कापे व कडा. एकाच सरळ सुरीने कापलेला भाग म्हणजे वृत्तखंड.
त्रिज्याखंड म्हणजे दोन त्रिज्या व त्यांना जोडणारा कंस यांमधील भाग; केंद्रावरील त्याचा कोन केंद्रीय कोन θ. वृत्तखंड म्हणजे जीवा व तिचा कंस यांमधील भाग. θ १८०° पेक्षा लहान असेल तर लघु, मोठा असेल तर विशाल आणि दोन्ही मिळून ३६०°.
आकृतीत : डावीकडे : कोन θ चा त्रिज्याखंड. उजवीकडे : जीवेने कापलेला वृत्तखंड.
नियम 1 : दुसऱ्या त्रिज्याखंडाचा कोन — लघु व विशाल त्रिज्याखंडाचे कोन मिळून ३६०°.
- सोपे : लघु त्रिज्याखंड ११०° : विशाल = ३६०° − ११०° = २५०°.
- मध्यम : विशाल त्रिज्याखंड ३००° : लघु = ६०°.
- परीक्षेसाठी : अर्धवर्तुळ म्हणजे १८०° चा त्रिज्याखंड.
नियम 2 : कोन म्हणजे वर्तुळाचा अपूर्णांक — θ अंशांचा त्रिज्याखंड म्हणजे पूर्ण वर्तुळाचा θ/३६० भाग.
- सोपे : ९०° म्हणजे १/४ व ६०° म्हणजे १/६.
- मध्यम : १२०° म्हणजे १/३; ७२° म्हणजे ७२/३६० = १/५.
- परीक्षेसाठी : ४५° म्हणजे वर्तुळाचा १/८.
त्रिज्याखंडाशी व कंसाशी संबंधित प्रत्येक राशी पूर्ण वर्तुळाच्या राशीचा तोच θ/३६० अपूर्णांक.
θ/३६० ऐवजी θ/१८० वापरणे; पूर्ण फेरा ३६०°.
"कोन भागिले ३६० = पूर्णाचा तुकडा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्तुळाच्या लघु त्रिज्यखंडाचा कोन 110° आहे. त्याच्या संगत विशाल त्रिज्यखंडाचा कोन (अंशांत) किती?
- 2वर्तुळाच्या एका त्रिज्यखंडाचा केंद्रातील कोन 20° आहे. त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचा किती भाग आहे?
- 3वर्तुळाच्या एका त्रिज्यखंडाचा केंद्रातील कोन 10° आहे. त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचा किती भाग आहे?
- 4वर्तुळाच्या लघु त्रिज्यखंडाचा कोन 50° आहे. त्याच्या संगत विशाल त्रिज्यखंडाचा कोन (अंशांत) किती?
- 5वर्तुळातून 40° कोनाचा त्रिज्यखंड कापला आहे. या (लघु) त्रिज्यखंडाच्या क्षेत्रफळाचे संगत विशाल त्रिज्यखंडाच्या क्षेत्रफळाशी गुणोत्तर शोधा.
- 6वर्तुळातून 120° कोनाचा त्रिज्यखंड कापला आहे. या (लघु) त्रिज्यखंडाच्या क्षेत्रफळाचे संगत विशाल त्रिज्यखंडाच्या क्षेत्रफळाशी गुणोत्तर शोधा.
- 7वर्तुळातून 30° कोनाचा त्रिज्यखंड कापला आहे. या (लघु) त्रिज्यखंडाच्या क्षेत्रफळाचे संगत विशाल त्रिज्यखंडाच्या क्षेत्रफळाशी गुणोत्तर शोधा.
- 8दोन त्रिज्यखंडांचे कोन 72° आणि 40° असून ते अनुक्रमे 5 cm आणि 8 cm त्रिज्येच्या वर्तुळांचे आहेत. त्यांच्या कंसांच्या लांबींचे गुणोत्तर शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1250
- 21/18
- 31/36
- 4310
- 51 : 8
- 61 : 2
- 71 : 11
- 89 : 8
कंसाची लांबी
घड्याळाच्या मिनिट काट्याचे टोक कंसावरून फिरते. जितके जास्त मिनिटे तितका कंस लांब.
केंद्रीय कोन θ च्या त्रिज्याखंडाचा कंस हा परिघ २πr चा θ/३६० भाग : l = θ/३६० × २πr. r हा ७ चा पट असेल तर π = २२/७, नाहीतर ३.१४ घेतात.
सूत्र : l = θ/३६० × २πr
आकृतीत : r = २१, θ = ६०° : l = १/६ × १३२ = २२.
नियम 1 : कंसाची लांबी काढा — आधी परिघ काढा, मग अपूर्णांक घ्या.
- सोपे : r = २१ cm, θ = ६०° : परिघ १३२, l = २२ cm.
- मध्यम : r = ७ cm, θ = ९०° : परिघ ४४, l = ११ cm.
- परीक्षेसाठी : r = ९ cm, θ = ४०° : l = १/९ × १८π = २π cm.
नियम 2 : कोन काढा — सूत्र उलटे करा : θ = l ÷ (२πr) × ३६०.
- सोपे : l = २२ cm, r = २१ cm : θ = २२/१३२ × ३६० = ६०°.
- मध्यम : l = ११ cm, r = ७ cm : θ = ११/४४ × ३६० = ९०°.
- परीक्षेसाठी : l पूर्ण परिघ असेल तर θ = ३६०°.
कंसाची लांबी ही लांबी असल्याने एकक cm किंवा m, cm² नव्हे.
कंसासाठी πr² (क्षेत्रफळाचे सूत्र) वापरणे; कंसाला २πr लागते.
"तुकड्याचा अपूर्णांक गुणिले कडेचा परिघ."
सरावासाठी प्रश्न
- 133 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रात 40° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी (cm मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 22 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रात 45° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी (cm मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 315 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रात 30° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी (cm मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 428 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रात 45° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी (cm मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 513 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रात 120° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी (cm मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 627 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रात 120° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी (cm मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 718 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रात 72° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी (cm मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 811 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रात 40° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी (cm मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 122π/3
- 2π/2
- 35π/2
- 47π
- 526π/3
- 618π
- 736π/5
- 822π/9
त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ
शेताच्या कोपऱ्यात बांधलेली शेळी जेवढे गवत खाऊ शकते तो भाग त्रिज्याखंड; त्याचा आकार दोरीची लांबी व कोपऱ्याचा कोन यांवर.
त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ हे वर्तुळाच्या क्षेत्रफळ πr² चा θ/३६० भाग : A = θ/३६० × πr². कंसाची लांबी l वापरून A = ½ × l × r असेही.
सूत्र : A = θ/३६० × πr² ; A = ½ l r
आकृतीत : r = १४ cm, θ = ९०° : A = १/४ × २२/७ × १९६ = १५४ cm².
त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : क्षेत्रफळ काढा — आधी पूर्ण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ, मग अपूर्णांक.
- सोपे : r = १४ cm, θ = ९०° : A = १५४ cm².
- मध्यम : r = २१ cm, θ = ६०° : A = १/६ × १३८६ = २३१ cm².
- परीक्षेसाठी : r = ६ cm, θ = ६०° : A = १/६ × ३६π = ६π cm².
नियम 2 : ½ l r वापरा किंवा कोन काढा — दोन्ही मार्गांनी तेच क्षेत्रफळ.
- सोपे : l = २२ cm, r = २१ cm : A = ½ × २२ × २१ = २३१ cm².
- मध्यम : A = १५४ cm², r = १४ cm : θ = १५४/६१६ × ३६० = ९०°.
- परीक्षेसाठी : २१ cm च्या मिनिट काट्याचा १० मिनिटांचा फेरा ६०° : क्षेत्रफळ २३१ cm².
त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ पूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळापेक्षा कमी आहे का ते तपासा.
क्षेत्रफळाच्या सूत्रात πr² ऐवजी २πr वापरणे.
"पाईचा तुकडा = अपूर्णांक × π r वर्ग."
सरावासाठी प्रश्न
- 124 cm त्रिज्येच्या वर्तुळातील 40° कोनाच्या त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 22 cm त्रिज्येच्या वर्तुळातील 270° कोनाच्या त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 39 cm त्रिज्येच्या वर्तुळातील 180° कोनाच्या त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 423 cm त्रिज्येच्या वर्तुळातील 30° कोनाच्या त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 527 cm त्रिज्येच्या वर्तुळातील 270° कोनाच्या त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 628 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या एका कंसाची लांबी 39 cm आहे. संगत त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 75 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या एका कंसाची लांबी 37 cm आहे. संगत त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 810 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या एका कंसाची लांबी 9 cm आहे. संगत त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 164π
- 23π
- 381π/2
- 4529π/12
- 52187π/4
- 6546
- 792.5
- 845
वृत्तखंडाचे क्षेत्रफळ
भिंगासारख्या खिडकीचे क्षेत्रफळ काढायला ती ज्या त्रिज्याखंडात आहे त्यातून सरळ बाजूंचा त्रिकोण वजा करा.
वृत्तखंड म्हणजे त्रिज्याखंडातून त्रिकोण वजा केलेला भाग : वृत्तखंडाचे क्षेत्रफळ = त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ − त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ. त्रिकोणाच्या दोन बाजू r व त्यांमधील कोन θ. ९०° साठी त्याचे क्षेत्रफळ ½r²; ६०° साठी तो समभुज त्रिकोण व क्षेत्रफळ (√३/४) r²; १२०° साठीही (√३/४) r².
सूत्र : वृत्तखंड = θ/३६० × πr² − त्रिकोण
आकृतीत : r = १०, θ = ९०° : त्रिज्याखंड ७८.५ − त्रिकोण ५० = वृत्तखंड २८.५ cm² (π = ३.१४).
वृत्तखंडाचे क्षेत्रफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : ९०° व ६०° चे वृत्तखंड — कोनाला जुळणारा त्रिकोण घ्या.
- सोपे : r = १०, θ = ९०° : ७८.५ − ५० = २८.५ cm².
- मध्यम : r = १२, θ = ६०° : त्रिज्याखंड ७५.३६; त्रिकोण (√३/४) × १४४ = ६२.२८; वृत्तखंड १३.०८ cm² (π = ३.१४, √३ = १.७३).
- परीक्षेसाठी : वृत्तखंड नेहमी त्याच्या त्रिज्याखंडापेक्षा लहान.
नियम 2 : १२०° चे वृत्तखंड — दोन बाजूंच्या गुणाकाराचा अर्धा भाग गुणिले sin θ वापरा.
- सोपे : r = ६, θ = १२०° : त्रिज्याखंड = १/३ × ३.१४ × ३६ = ३७.६८ cm².
- मध्यम : त्रिकोण = ½ × ६ × ६ × sin १२०° = ९√३ ≈ १५.५७ cm².
- परीक्षेसाठी : वृत्तखंड = ३७.६८ − १५.५७ = २२.११ cm².
वजा करण्याआधी त्रिज्याखंड, त्रिकोण व वृत्तखंड तीन वेगळ्या आकृत्यांत काढा.
त्रिकोण त्रिज्याखंडात मिळवणे; लघु वृत्तखंडासाठी तो वजा करायचा.
"तुकडा वजा त्रिकोण = वृत्तखंड."
सरावासाठी प्रश्न
- 1O केंद्र असलेल्या वर्तुळात त्रिज्यखंड OAPB चे क्षेत्रफळ 372 cm² आणि त्रिकोण OAB चे क्षेत्रफळ 96 cm² आहे. लघु वर्तुळखंड APB चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 2एका वर्तुळाचे क्षेत्रफळ 193 cm² आणि त्याच्या लघु वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ 24 cm² आहे. संगत विशाल वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 3O केंद्र असलेल्या वर्तुळात त्रिज्यखंड OAPB चे क्षेत्रफळ 102 cm² आणि त्रिकोण OAB चे क्षेत्रफळ 53 cm² आहे. लघु वर्तुळखंड APB चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 4O केंद्र असलेल्या वर्तुळात त्रिज्यखंड OAPB चे क्षेत्रफळ 388 cm² आणि त्रिकोण OAB चे क्षेत्रफळ 369 cm² आहे. लघु वर्तुळखंड APB चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 518 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाची एक जीवा केंद्रात 60° कोन करते. संगत लघु वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π आणि √3 च्या स्वरूपात) शोधा.
- 612 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाची एक जीवा केंद्रात 60° कोन करते. संगत लघु वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π आणि √3 च्या स्वरूपात) शोधा.
- 748 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाची एक जीवा केंद्रात 60° कोन करते. संगत लघु वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π आणि √3 च्या स्वरूपात) शोधा.
- 84 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाची एक जीवा केंद्रात 90° कोन करते. संगत विशाल वर्तुळखंडाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1276
- 2169
- 349
- 419
- 554π − 81√3
- 624π − 36√3
- 7384π − 576√3
- 812π + 8
संयुक्त आकृत्या व उपयोग
बांधलेला घोडा, वायपरचे पाते आणि घड्याळाचा काटा हे प्रत्यक्षात त्रिज्याखंड; गोलाकार कोपऱ्यांच्या बागा चौरस व पाव-वर्तुळे जोडून बनतात.
संयुक्त आकृतीसाठी ती चौरस, आयत, त्रिकोण, त्रिज्याखंड व वृत्तखंड यांत विभागा, प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ काढा व मग मिळवा किंवा वजा करा. कोपऱ्यात बांधलेली दोरी त्या कोपऱ्याच्या कोनाचा त्रिज्याखंड व्यापते.
आकृतीत : १४ बाजूच्या चौरसातून ७ त्रिज्येची चार पाव-वर्तुळे वजा : छायांकित भाग = १९६ − १५४ = ४२.
नियम 1 : दोरी व वायपरचे प्रश्न — फिरलेला कोन काढा, मग त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ.
- सोपे : शेताच्या कोपऱ्यात १४ m दोरीने बांधलेला घोडा १/४ × २२/७ × १९६ = १५४ m² व्यापतो.
- मध्यम : २१ cm चे वायपर पाते १२०° फिरून १/३ × १३८६ = ४६२ cm² व्यापते.
- परीक्षेसाठी : २१ cm चा मिनिट काटा १० मिनिटांत : क्षेत्रफळ २३१ cm², टोक २२ cm.
नियम 2 : चौरस व पाव-वर्तुळे — समान त्रिज्येची चार पाव-वर्तुळे मिळून एक पूर्ण वर्तुळ.
- सोपे : चौरस १४ cm, पाव-वर्तुळे r = ७ : छायांकित = १९६ − १५४ = ४२ cm².
- मध्यम : पडताळा : ४ × १५४/४ = ४ × ३८.५ = १५४.
- परीक्षेसाठी : आतील आकृतीची परिमिती पूर्ण वर्तुळाचा परिघ ४४ cm.
नेहमी विचारा : ही आकृती कोणत्या लहान आकृत्यांनी बनली व मी त्या मिळवू का वजा करू?
दोरी फक्त कोपऱ्यातील त्रिज्याखंडापर्यंतच पोहोचत असताना पूर्ण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ घेणे.
"विभागा, प्रत्येक काढा, मग मिळवा किंवा वजा करा."
सरावासाठी प्रश्न
- 149 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 242 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या चतुर्थांशाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 320 cm त्रिज्येच्या आणि 270° कोनाच्या त्रिज्यखंडाची परिमिती (cm मध्ये) शोधा. (π = 3.14 घ्या.)
- 428 cm त्रिज्येच्या अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 550 cm त्रिज्येच्या आणि 36° कोनाच्या त्रिज्यखंडाची परिमिती (cm मध्ये) शोधा. (π = 3.14 घ्या.)
- 67 cm त्रिज्येच्या अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 77 cm त्रिज्येच्या आणि 90° कोनाच्या त्रिज्यखंडाची परिमिती (cm मध्ये) शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 821 cm त्रिज्येच्या आणि 90° कोनाच्या त्रिज्यखंडाची परिमिती (cm मध्ये) शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11886.5
- 21386
- 3134.2
- 41232
- 5131.4
- 677
- 725
- 875