उन्नत कोन व अवनत कोन : अर्थ व मूलतत्त्वे
पतंगाकडे पाहताना डोके सरळ पातळीपासून वर झुकवता, बाल्कनीतून खाली पाहताना खाली. तो झुकाव म्हणजे कोन.
दृष्टिरेषा म्हणजे निरीक्षकाच्या डोळ्यापासून वस्तूपर्यंतची रेषा. वर पाहताना क्षितिजसमांतर रेषा व दृष्टिरेषा यांमधील कोन म्हणजे उन्नत कोन; खाली पाहताना तोच कोन म्हणजे अवनत कोन. दोन्ही क्षितिजसमांतर रेषेपासून मोजतात.
आकृतीत : जमिनीवरून उन्नत कोन θ; शिखरावरून अवनत कोन सुद्धा θ.
उन्नत कोन व अवनत कोन : अर्थ व मूलतत्त्वे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : कोनाला नाव द्या — विचारा : निरीक्षक क्षितिजसमांतर रेषेपासून वर पाहतो की खाली?
- सोपे : मनोऱ्याच्या शिखराकडे वर पाहणे : उन्नत कोन.
- मध्यम : कड्यावरून नावेकडे खाली पाहणे : अवनत कोन.
- परीक्षेसाठी : दोन्ही कोन लघुकोन असून क्षितिजसमांतर रेषेपासून मोजतात.
नियम 2 : उन्नत कोन = अवनत कोन — दोन्ही क्षितिजसमांतर रेषा समांतर, म्हणून व्युत्क्रम कोन समान.
- सोपे : शिखरावरून अवनत कोन ४०° म्हणजे पायथ्यावरून उन्नत कोन ४०°.
- मध्यम : आधी क्षितिजसमांतर रेषा काढा, मग कोन दाखवा.
- परीक्षेसाठी : निरीक्षकाचा डोळा जमिनीपासून १.५ m उंच असेल तर मिळालेल्या उंचीत १.५ m मिळवा.
उन्नत व अवनत कोन नेहमी क्षितिजसमांतर रेषेपासून घेतात, उभ्या रेषेपासून कधीही नाही.
अवनत कोन आकृतीच्या खालच्या बाजूला दाखवणे; तो निरीक्षकाजवळ, तेथील क्षितिजसमांतर रेषेखाली असतो.
"सरळ पातळीपासून वर = उन्नत; खाली = अवनत."
सरावासाठी प्रश्न
- 124 मी उंच खांबाच्या माथ्यावरून जमिनीवरील मोटारीचा अवनत कोन 45° आहे. मोटारीपासून खांबाच्या माथ्याचा उन्नत कोन किती?
- 276 मी उंच ध्वजस्तंभाच्या माथ्यावरून जमिनीवरील मोटारीचा अवनत कोन 15° आहे. मोटारीपासून ध्वजस्तंभाच्या माथ्याचा उन्नत कोन किती?
- 374 मी उंच दीपगृहाच्या माथ्यावरून जमिनीवरील मोटारीचा अवनत कोन 35° आहे. मोटारीपासून दीपगृहाच्या माथ्याचा उन्नत कोन किती?
- 470 मी उंच मनोऱ्याच्या माथ्यावरून जमिनीवरील मोटारीचा अवनत कोन 40° आहे. मोटारीपासून मनोऱ्याच्या माथ्याचा उन्नत कोन किती?
- 5धुराड्याच्या माथ्यावरून जमिनीवरील एका बिंदूचा अवनत कोन 55° आहे. दृष्टिरेषा धुराड्याशी किती कोन करते?
- 6जमिनीवरील एका बिंदूपासून दीपगृहाच्या टोकाचा उन्नत कोन 50° आहे. दृष्टिरेषा दीपगृहाशी किती कोन करते?
- 7मनोऱ्याच्या माथ्यावरून जमिनीवरील एका बिंदूचा अवनत कोन 45° आहे. दृष्टिरेषा मनोऱ्याशी किती कोन करते?
- 8जमिनीवरील एका बिंदूपासून इमारतीच्या टोकाचा उन्नत कोन 45° आहे. दृष्टिरेषा इमारतीशी किती कोन करते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 145
- 215
- 335
- 440
- 535
- 640
- 745
- 845
उंची शोधणे
भूमापक मनोरा न चढता त्याची उंची मोजतात : ठराविक अंतरावर उभे राहून ते फक्त एक कोन वाचतात.
मनोरा, जमीन व दृष्टिरेषा काटकोन त्रिकोण बनवतात. अंतर d व उन्नत कोन θ माहीत असतील तर उंची tan θ = h ÷ d वरून, म्हणजे h = d tan θ.
सूत्र : h = d tan θ
आकृतीत : ३० m अंतरावर उन्नत कोन ६०° : h = ३० tan ६०° = ३०√३ ≈ ५१.९ m.
उंची शोधणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : tan θ वापरा — अंतराला कोनाच्या tan ने गुणा.
- सोपे : d = ३० m, θ = ६०° : h = ३०√३ ≈ ५१.९ m.
- मध्यम : d = २० m, θ = ४५° : h = २० × १ = २० m.
- परीक्षेसाठी : d = १२ m, θ = ३०° : h = १२ ÷ √३ = ४√३ ≈ ६.९३ m.
नियम 2 : डोळ्याची उंची मिळवा — त्रिकोण डोळ्यापासून सुरू होतो, म्हणून जमिनीपर्यंतचा भाग वेगळा मिळवावा लागतो.
- सोपे : डोळा १.५ m उंच, इमारत २० m दूर, उन्नत कोन ३०° : २० ÷ √३ ≈ ११.५५ m.
- मध्यम : इमारतीची उंची = ११.५५ + १.५ ≈ १३.०५ m.
- परीक्षेसाठी : १.५ m न मिळवल्यास उंची कमी येते.
कोणतेही गुणोत्तर लिहिण्याआधी काटकोन त्रिकोण काढा व d, h, θ दाखवा.
येथे sin किंवा cos वापरणे; उंची व जमिनीवरील अंतर या दोन्ही लंब बाजू आहेत, म्हणून tan दुवा.
"उंची = अंतर × कोनाचा tan."
सरावासाठी प्रश्न
- 1जमिनीवरील एका बिंदूपासून, जो दीपगृहाच्या पायापासून 23√3 मी अंतरावर आहे, दीपगृहाच्या टोकाचा उन्नत कोन 30° आहे. दीपगृहाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 2जमिनीवरील एका बिंदूपासून, जो ध्वजस्तंभाच्या पायापासून 17√3 मी अंतरावर आहे, ध्वजस्तंभाच्या टोकाचा उन्नत कोन 45° आहे. ध्वजस्तंभाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 3जमिनीवरील एका बिंदूपासून, जो दीपगृहाच्या पायापासून 16 मी अंतरावर आहे, दीपगृहाच्या टोकाचा उन्नत कोन 45° आहे. दीपगृहाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 4जमिनीवरील एका बिंदूपासून, जो इमारतीच्या पायापासून 12√3 मी अंतरावर आहे, इमारतीच्या टोकाचा उन्नत कोन 60° आहे. इमारतीची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 5एका इमारतीच्या माथ्यावर मनोरा उभा आहे. इमारतीच्या पायापासून 57 मी अंतरावरील जमिनीवरील बिंदूपासून इमारतीच्या माथ्याचा आणि मनोऱ्याच्या टोकाचा उन्नत कोन अनुक्रमे 30° आणि 45° आहे. मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 6एका इमारतीच्या माथ्यावर मनोरा उभा आहे. इमारतीच्या पायापासून 13 मी अंतरावरील जमिनीवरील बिंदूपासून इमारतीच्या माथ्याचा आणि मनोऱ्याच्या टोकाचा उन्नत कोन अनुक्रमे 45° आणि 60° आहे. मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 7डोळे जमिनीपासून 2 मी उंचीवर असलेला निरीक्षक दीपगृहापासून 47 मी अंतरावर उभा आहे आणि तो दीपगृहाच्या टोकाचा उन्नत कोन 60° मोजतो. दीपगृहाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 8डोळे जमिनीपासून 2 मी उंचीवर असलेला निरीक्षक झाडापासून 21 मी अंतरावर उभा आहे आणि तो झाडाच्या टोकाचा उन्नत कोन 30° मोजतो. झाडाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 123
- 217√3
- 316
- 436
- 557 − 19√3
- 613√3 − 13
- 72 + 47√3
- 82 + 7√3
अंतर, सावली किंवा शिडीची लांबी शोधणे
सूर्य वर चढतो तसे खांबाची सावली लहान होते. सूर्याचा कोन खांबाची उंची व सावलीची लांबी यांना जोडतो.
उंची h माहीत असेल तर जमिनीवरील अंतर d = h ÷ tan θ. तिरकी शिडी किंवा दोरी यांची लांबी l असेल तर sin θ = h ÷ l किंवा cos θ = d ÷ l, म्हणजे l = h ÷ sin θ.
सूत्र : d = h ÷ tan θ ; l = h ÷ sin θ
आकृतीत : खांब १५ m, सूर्य ३०° वर : सावली = १५ ÷ tan ३०° = १५√३ ≈ २५.९८ m.
अंतर, सावली किंवा शिडीची लांबी शोधणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : अंतर किंवा सावली — उंचीला tan θ ने भागा.
- सोपे : खांब १० m, सूर्य ४५° वर : सावली = १० ÷ १ = १० m.
- मध्यम : खांब १५ m, सूर्य ३०° वर : सावली = १५√३ ≈ २५.९८ m.
- परीक्षेसाठी : मनोरा ५०√३ m, उन्नत कोन ६०° : अंतर = ५०√३ ÷ √३ = ५० m.
नियम 2 : शिडी किंवा दोरीची लांबी — तिरकी लांबी म्हणजे कर्ण, म्हणून sin किंवा cos वापरा.
- सोपे : १२ m गाठणारी शिडी ६०° वर : l = १२ ÷ (√३/२) = ८√३ ≈ १३.८६ m.
- मध्यम : त्या शिडीचा पाया : l cos ६०° = ८√३ × १/२ = ४√३ ≈ ६.९३ m भिंतीपासून.
- परीक्षेसाठी : पडताळा : १२² + (४√३)² = १४४ + ४८ = १९२ = (८√३)².
सावली, अंतर व पाया हे आडवे; शिडी, दोरी किंवा दृष्टिरेषा तिरकी.
शिडीच्या लांबीसाठी tan वापरणे; शिडी कर्ण असल्याने sin किंवा cos हवे.
"तिरकी लांबीला sin किंवा cos; आडव्या अंतराला tan."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एक धुराडे 4√3 मी उंच आहे. जमिनीवरील एका बिंदूपासून त्याच्या टोकाचा उन्नत कोन 30° आहे. तो बिंदू धुराड्याच्या पायापासून किती अंतरावर आहे (मी मध्ये)?
- 2एक इमारत 16√3 मी उंच आहे. जमिनीवरील एका बिंदूपासून त्याच्या टोकाचा उन्नत कोन 30° आहे. तो बिंदू इमारतीच्या पायापासून किती अंतरावर आहे (मी मध्ये)?
- 3एक धुराडे 16√3 मी उंच आहे. जमिनीवरील एका बिंदूपासून त्याच्या टोकाचा उन्नत कोन 60° आहे. तो बिंदू धुराड्याच्या पायापासून किती अंतरावर आहे (मी मध्ये)?
- 4एक इमारत 29√3 मी उंच आहे. जमिनीवरील एका बिंदूपासून त्याच्या टोकाचा उन्नत कोन 30° आहे. तो बिंदू इमारतीच्या पायापासून किती अंतरावर आहे (मी मध्ये)?
- 5जेव्हा सूर्याचा उन्नत कोन 60° असतो तेव्हा सपाट जमिनीवर ध्वजस्तंभाची सावली 18√3 मी लांब पडते. ध्वजस्तंभाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 6एक ध्वजस्तंभ 27 मी उंच आहे. सूर्याचा उन्नत कोन 60° असताना सपाट जमिनीवर त्याच्या सावलीची लांबी (मी मध्ये) शोधा.
- 7एक धुराडे 28 मी उंच आहे. सूर्याचा उन्नत कोन 30° असताना सपाट जमिनीवर त्याच्या सावलीची लांबी (मी मध्ये) शोधा.
- 8एक मनोरा 19√3 मी उंच आहे. सूर्याचा उन्नत कोन 60° असताना सपाट जमिनीवर त्याच्या सावलीची लांबी (मी मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112
- 248
- 316
- 487
- 554
- 69√3
- 728√3
- 819
अवनत कोन
दीपगृहावर उभा रक्षक पातळी रेषेखाली नाव पाहतो; नाव जितकी दूर तितका खालचा झुकाव कमी.
अवनत कोनाच्या प्रश्नात निरीक्षकापासून क्षितिजसमांतर रेषा काढा, तिच्या खाली कोन दाखवा आणि समान व्युत्क्रम कोनांमुळे तो जमिनीवरील त्रिकोणात न्या. उभी उंची त्या कोनासमोरची बाजू.
आकृतीत : ६० m इमारतीवरून मनोऱ्याच्या पायथ्याला ६०° व शिखराला ३०° अवनत कोन. मनोरा = ६० − २० = ४० m.
अवनत कोन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : एक वस्तू — शिखरावरील अवनत कोन θ = वस्तूजवळील उन्नत कोन θ.
- सोपे : ५० m मनोऱ्यावरून गाडीला अवनत कोन ३०° : अंतर = ५० ÷ tan ३०° = ५०√३ ≈ ८६.६ m.
- मध्यम : ७५ m दीपगृहावरून जहाजाला अवनत कोन ४५° : अंतर = ७५ m.
- परीक्षेसाठी : ४५° ला उंची व अंतर समान असतात.
नियम 2 : एका जागेवरून दोन कोन — प्रत्येक बिंदूपर्यंतची खोली काढून वजा करा.
- सोपे : इमारत ६० m : मनोऱ्याचा पायथा ६०° अवनत, म्हणून अंतर = ६० ÷ √३ = २०√३ m.
- मध्यम : ३०° वरील शिखरापर्यंतची खोली : २०√३ × (१/√३) = २० m, म्हणून मनोरा ६० − २० = ४० m.
- परीक्षेसाठी : पडताळा : मोठा अवनत कोन जवळच्या, खालच्या बिंदूशी जोडलेला.
जास्त अवनत कोन म्हणजे निरीक्षकाच्या इमारतीच्या पायथ्याजवळचा बिंदू.
अवनत कोन त्रिकोणाच्या चुकीच्या कोपऱ्यात वापरणे; आधी व्युत्क्रम कोनांनी तो जमिनीवर आणा.
"वरचा अवनत = खालचा उन्नत."
सरावासाठी प्रश्न
- 138 मी उंच मनोऱ्याच्या माथ्यावरून जमिनीवरील मोटारीचा अवनत कोन 45° आहे. मोटार मनोऱ्याच्या पायापासून किती अंतरावर आहे (मी मध्ये)?
- 2ध्वजस्तंभाच्या माथ्यावरून त्याच्या पायापासून 42 मी अंतरावर उभ्या असलेल्या मोटारीचा अवनत कोन 30° आहे. ध्वजस्तंभाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 3खांबाच्या माथ्यावरून त्याच्या पायापासून 45 मी अंतरावर उभ्या असलेल्या मोटारीचा अवनत कोन 30° आहे. खांबाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 43√3 मी उंच दीपगृहाच्या माथ्यावरून त्याच्या एकाच बाजूला (पायाच्या रेषेत) असलेल्या दोन जहाजांचे अवनत कोन 30° आणि 60° आहेत. जहाजांमधील अंतर (मी मध्ये) शोधा.
- 518√3 मी उंच दीपगृहाच्या माथ्यावरून त्याच्या दोन्ही बाजूंना (पायाच्या रेषेत) असलेल्या दोन जहाजांचे अवनत कोन 45° आणि 60° आहेत. जहाजांमधील अंतर (मी मध्ये) शोधा.
- 624√3 मी उंच दीपगृहाच्या माथ्यावरून त्याच्या एकाच बाजूला (पायाच्या रेषेत) असलेल्या दोन जहाजांचे अवनत कोन 30° आणि 60° आहेत. जहाजांमधील अंतर (मी मध्ये) शोधा.
- 760 मी उंच इमारतीच्या माथ्यावरून एका मनोऱ्याच्या टोकाचा उन्नत कोन 30° आणि त्याच्या पायाचा अवनत कोन 45° आहे. मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 824 मी उंच इमारतीच्या माथ्यावरून एका मनोऱ्याच्या टोकाचा उन्नत कोन 60° आणि त्याच्या पायाचा अवनत कोन 60° आहे. मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 138
- 214√3
- 315√3
- 46
- 518 + 18√3
- 648
- 760 + 20√3
- 848
दोन निरीक्षणे व दोन वस्तू
मनोऱ्याकडे चालत गेल्यावर त्याचे शिखर आकाशात अधिक वर दिसते. असे दोन कोन उंची व चाललेले अंतर दोन्ही देतात.
मनोऱ्याची उंची h मानू. प्रत्येक जागेवरून अंतर d = h ÷ tan θ. दोन्ही जागा एकाच बाजूला असतील तर अंतरे वजा होतात; विरुद्ध बाजूंना असतील तर मिळवतात. यातून h चे एक समीकरण मिळते.
आकृतीत : उन्नत कोन ३०° व ६०°, अंतर २० m : h√३ − h/√३ = २०, म्हणून h = १०√३ ≈ १७.३ m.
नियम 1 : एका मनोऱ्याची दोन निरीक्षणे — दोन्ही अंतरे h च्या रूपात लिहा व वजा करा.
- सोपे : उन्नत कोन ३०° व ६०°, २० m जवळ गेल्यावर : २h/√३ = २०, म्हणून h = १०√३ ≈ १७.३ m.
- मध्यम : पडताळा : अंतरे ३० m व १० m, आणि ३० − १० = २० m.
- परीक्षेसाठी : जवळच्या बिंदूचा कोन नेहमी मोठा.
नियम 2 : दोन वस्तू व एक मनोरा — विरुद्ध बाजूंना अंतरे मिळवा; एकाच बाजूला वजा करा.
- सोपे : मनोरा ३० m, विरुद्ध बाजूंना ३०° व ६०° : ३०√३ + १०√३ = ४०√३ ≈ ६९.३ m अंतर.
- मध्यम : मनोरा २० m, एकाच बाजूला ४५° व ३०° : २०√३ − २० = २०(√३ − १) ≈ १४.६ m अंतर.
- परीक्षेसाठी : दोन्ही जागा मनोऱ्याच्या पायथ्यातून जाणाऱ्या एका सरळ रेषेवर काढा.
दोन जागा म्हणजे दोन समीकरणे; h व अतिरिक्त अंतर एकत्र मिळतात.
दोन्ही जागा एकाच बाजूला असताना अंतरे मिळवणे; ती वजा करायला हवीत.
"एकाच बाजूला वजा, विरुद्ध बाजूंना मिळवा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1झाडाच्या दोन्ही बाजूंना त्याच्या पायाच्या रेषेत असलेल्या A आणि B या बिंदूंपासून त्याच्या टोकाचे उन्नत कोन अनुक्रमे 45° आणि 45° आहेत. AB = 10 मी असेल तर झाडाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 26 मी उंच मनोऱ्याच्या दोन्ही बाजूंना पायाच्या रेषेत असलेल्या A आणि B या बिंदूंपासून त्याच्या टोकाचे उन्नत कोन अनुक्रमे 45° आणि 45° आहेत. AB (मी मध्ये) शोधा.
- 326 मी उंच दीपगृहाच्या दोन्ही बाजूंना पायाच्या रेषेत असलेल्या A आणि B या बिंदूंपासून त्याच्या टोकाचे उन्नत कोन अनुक्रमे 45° आणि 45° आहेत. AB (मी मध्ये) शोधा.
- 49 मी आणि 9 + 11√3 मी उंचीचे दोन उभे खांब सपाट जमिनीवर उभे आहेत. लहान खांबाच्या टोकावरून उंच खांबाच्या टोकाचा उन्नत कोन 45° आहे. खांबांमधील अंतर (मी मध्ये) शोधा.
- 5मनोऱ्याच्या दोन्ही बाजूंना त्याच्या पायाच्या रेषेत असलेल्या A आणि B या बिंदूंपासून त्याच्या टोकाचे उन्नत कोन अनुक्रमे 60° आणि 30° आहेत. AB = 8 मी असेल तर मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 618 मी आणि 30 मी उंचीचे दोन उभे खांब सपाट जमिनीवर उभे आहेत. लहान खांबाच्या टोकावरून उंच खांबाच्या टोकाचा उन्नत कोन 30° आहे. खांबांमधील अंतर (मी मध्ये) शोधा.
- 7मनोऱ्याच्या दोन्ही बाजूंना त्याच्या पायाच्या रेषेत असलेल्या A आणि B या बिंदूंपासून त्याच्या टोकाचे उन्नत कोन अनुक्रमे 45° आणि 60° आहेत. AB = 24√3 मी असेल तर मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
- 8मनोऱ्याच्या एकाच बाजूला पायाच्या रेषेत असलेले दोन बिंदू पायापासून 4 मी आणि 144 मी अंतरावर आहेत. या दोन बिंदूंपासून मनोऱ्याच्या टोकाचे उन्नत कोन परस्परांचे पूरक आहेत. मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 15
- 212
- 352
- 411√3
- 52√3
- 612√3
- 736√3 − 36
- 824