K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 10 · गणित

त्रिकोणमितीचा परिचय 8.2 : त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

काटकोन त्रिकोणातील सहा गुणोत्तरे

रोजच्या जीवनातून

उताराची तीव्रता म्हणजे “चढ ÷ अंतर”. त्रिकोणमिती प्रत्येक कोनासाठी अशा बाजूंच्या गुणोत्तरांना नाव देते.

सोपी व्याख्या

लघुकोन A असलेल्या काटकोन त्रिकोणात A समोरची बाजू म्हणजे समोरची बाजू, A ला लागून असलेली लगतची बाजू आणि काटकोनासमोरची कर्ण. मुख्य गुणोत्तरे : sin A, cos A, tan A; त्यांचे व्युत्क्रम : cosec A, sec A, cot A. A ठरलेला असेल तर त्रिकोण लहान-मोठा झाला तरी ही गुणोत्तरे बदलत नाहीत.

सूत्र : sin A = समोरची ÷ कर्ण ; cos A = लगतची ÷ कर्ण ; tan A = समोरची ÷ लगतची

ABCadjacent 4opposite 3hypotenuse 5

आकृतीत : ३-४-५ त्रिकोणात कोन A साठी : समोरची ३, लगतची ४, कर्ण ५.

Live आकृती

काटकोन त्रिकोणातील सहा गुणोत्तरे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : कोन A वरून बाजूंची नावे — नावे तुम्ही कोणत्या लघुकोनावर उभे आहात त्यावर अवलंबून.

  • सोपे : कर्ण काटकोनासमोर असतो व नेहमी सर्वात लांब.
  • मध्यम : समोरची बाजू कोन A समोर (आकृतीत BC).
  • परीक्षेसाठी : लगतची बाजू A ला लागून पण कर्ण नव्हे (येथे AB).

नियम 2 : सहा गुणोत्तरे लिहिणे — तीन गुणोत्तरांत कर्ण; tan व cot मध्ये फक्त दोन लंब बाजू.

  • सोपे : sin A = ३/५, cos A = ४/५, tan A = ३/४.
  • मध्यम : cosec A = ५/३, sec A = ५/४, cot A = ४/३.
  • परीक्षेसाठी : दुसऱ्या कोन C वर भूमिका बदलतात : sin C = ४/५, cos C = ३/५.
लक्षात ठेवा

गुणोत्तर फक्त कोनावर अवलंबून; त्रिकोण किती मोठा आहे त्यावर नाही.

सामान्य चूक

समोरची व लगतची बाजू यांची अदलाबदल; प्रत्येक वेळी ती दिलेल्या कोनावरून ठरवा.

आठवणीची युक्ती

"SOH-CAH-TOA" : Sin = समोरची/कर्ण, Cos = लगतची/कर्ण, Tan = समोरची/लगतची.

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△XFC मध्ये F वर काटकोन आहे, XF = 9 cm, FC = 40 cm आणि XC = 41 cm. cosec X शोधा.
  2. 2△GLC मध्ये L वर काटकोन आहे, GL = 6 cm, LC = 8 cm आणि GC = 10 cm. cot G शोधा.
  3. 3△DSX मध्ये S वर काटकोन आहे, DS = 10 cm, SX = 24 cm आणि DX = 26 cm. cosec D शोधा.
मध्यम
  1. 4△XZY मध्ये Z वर काटकोन आहे, XZ = 9 cm आणि XY = 41 cm. cosec X शोधा.
  2. 5△KGL मध्ये G वर काटकोन आहे, KG = 7 cm आणि KL = 25 cm. cosec K शोधा.
  3. 6△BHY मध्ये H वर काटकोन आहे, BH = 4 cm आणि HY = 3 cm. sin Y शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7△XWZ मध्ये W वर काटकोन आहे, XW = 20 cm आणि XZ = 29 cm. sin X शोधा.
  2. 8△EUQ मध्ये U वर काटकोन आहे, sin E = 40/41. tan Q शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 141/40
  2. 23/4
  3. 313/12
  4. 441/40
  5. 525/24
  6. 64/5
  7. 721/29
  8. 89/40

दिलेल्या गुणोत्तरावरून इतर गुणोत्तरे

रोजच्या जीवनातून

उताराची ५ लांबीमागे ३ उंची माहीत असेल तर मोजमाप न करता तो किती पुढे जातो ते काढता येते.

सोपी व्याख्या

एक ज्ञात गुणोत्तर त्रिकोणाचा आकार ठरवते. काटकोन त्रिकोण काढा, दोन बाजू समान k च्या पटीत लिहा, तिसरी बाजू पायथागोरसने काढा आणि बाकी सर्व गुणोत्तरे वाचा. k नाहीसा होतो.

ABC4k3k5ksin A = 3/5cos A = 4/5tan A = 3/4

आकृतीत : sin A = ३/५ दिले : बाजू ३k व ५k, तिसरी ४k, म्हणून cos A = ४/५ व tan A = ३/४.

नियम 1 : त्रिकोण उभारा — अंशाची संख्या त्या बाजूवर लिहा जिच्याशी गुणोत्तर जोडलेले आहे.

  • सोपे : sin A = ३/५ : समोरची ३k, कर्ण ५k, लगतची ४k.
  • मध्यम : tan A = ५/१२ : समोरची ५k, लगतची १२k, कर्ण √(२५ + १४४)k = १३k.
  • परीक्षेसाठी : मग sin A = ५/१३, cos A = १२/१३.

नियम 2 : उरलेली वाचा — समोरची, लगतची व कर्ण योग्य जागी वापरा.

  • सोपे : cos A = ८/१७ : समोरची = √(२८९ − ६४) = १५, म्हणून sin A = १५/१७, tan A = १५/८.
  • मध्यम : पडताळा : ८² + १५² = ६४ + २२५ = २८९ = १७².
  • परीक्षेसाठी : सामाईक k नेहमी नाहीसा होतो.
लक्षात ठेवा

गुणोत्तरे वाचण्याआधी तीन बाजू पायथागोरस पाळतात का ते तपासा.

सामान्य चूक

संख्या चुकीच्या बाजूंवर लिहिणे, उदा. sin A = ३/५ मध्ये ३ ही समोरची बाजू असताना ती लगतची मानणे.

आठवणीची युक्ती

"काढा, k, पायथागोरस, वाचा."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1sin A = 12/13 असून A हा लघुकोन असेल तर cos A शोधा.
  2. 2cos A = 24/25 असून A हा लघुकोन असेल तर sin A शोधा.
  3. 3cos A = 21/29 असून A हा लघुकोन असेल तर sin A शोधा.
मध्यम
  1. 4cos A = 21/29 असून A हा लघुकोन असेल तर sec A शोधा.
  2. 5cosec A = 25/24 असून A हा लघुकोन असेल तर tan A शोधा.
  3. 6cos A = 7/25 असून A हा लघुकोन असेल तर cosec A शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7sin A = 4/5 असून A हा लघुकोन असेल तर cot A + 3 tan A ची किंमत शोधा.
  2. 8cos A = 15/17 असून A हा लघुकोन असेल तर 4 cos A − 2 cot A ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15/13
  2. 27/25
  3. 320/29
  4. 429/21
  5. 524/7
  6. 625/24
  7. 719/4
  8. 8−15/68

व्युत्क्रम गुणोत्तरे व परस्परसंबंध

रोजच्या जीवनातून

वेग = अंतर ÷ वेळ आणि “अंतरामागे वेळ” या एकाच कल्पनेच्या दोन बाजू. तशीच ही गुणोत्तरांची जोडी एकमेकींचे उलटे रूप.

सोपी व्याख्या

व्युत्क्रम जोड्या : sin A व cosec A, cos A व sec A, tan A व cot A; प्रत्येक जोडीचा गुणाकार १. तसेच tan A = sin A ÷ cos A व cot A = cos A ÷ sin A.

सूत्र : cosec A = १/sin A ; sec A = १/cos A ; cot A = १/tan A ; tan A = sin A/cos A

sin A × cosec A = 1cos A × sec A = 1tan A × cot A = 1tan A = sin A ÷ cos A

आकृतीत : प्रत्येक व्युत्क्रम जोडीचा गुणाकार १; tan म्हणजे sin भागिले cos.

नियम 1 : अपूर्णांक उलटा करा — व्युत्क्रमात अंश व छेद अदलाबदल.

  • सोपे : sin A = ३/५ वरून cosec A = ५/३.
  • मध्यम : cos A = ४/५ वरून sec A = ५/४.
  • परीक्षेसाठी : tan A = ३/४ वरून cot A = ४/३.

नियम 2 : भागाकाराचा संबंध वापरा — tan A = sin A ÷ cos A, म्हणून कर्ण नाहीसा.

  • सोपे : sin A = ३/५, cos A = ४/५ : tan A = (३/५) ÷ (४/५) = ३/४.
  • मध्यम : sin A = ५/१३ व cos A = १२/१३ तर cot A = १२/५.
  • परीक्षेसाठी : पडताळा : tan A × cot A = (५/१२) × (१२/५) = १.
लक्षात ठेवा

cos, cot, cosec हे sin, tan, sec चे व्युत्क्रम नव्हेत; जोड्या sin–cosec, cos–sec, tan–cot.

सामान्य चूक

sec A ला sin A चा व्युत्क्रम मानणे; sec हा cos चा जोडीदार.

आठवणीची युक्ती

"जोडीदार उलट्या नावाने : sin–cosec, cos–sec, tan–cot."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1sec A बरोबर कोणती राशी आहे?
  2. 2cosec A बरोबर कोणती राशी आहे?
  3. 3लघुकोन A साठी sin A = 9/41 आणि cos A = 40/41 आहे. sec A शोधा.
मध्यम
  1. 4लघुकोन A साठी sin A = 5/13 आणि cos A = 12/13 आहे. cosec A शोधा.
  2. 5लघुकोन A साठी sin A = 12/13 आणि cos A = 5/13 आहे. tan A शोधा.
  3. 6लघुकोन A साठी sin A = 21/29 आणि cos A = 20/29 आहे. tan A शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7cot A = 20/21 असून A हा लघुकोन असेल तर tan A + sec A ची किंमत शोधा.
  2. 8sec A = 25/24 असून A हा लघुकोन असेल तर sin A × cos A ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 11 / cos A
  2. 21 / sin A
  3. 341/40
  4. 413/5
  5. 512/5
  6. 621/20
  7. 75/2
  8. 8168/625

गुणोत्तर वापरून बाजू शोधणे

रोजच्या जीवनातून

ठराविक उंची गाठायला तिरकी दोरी किती लांब हवी हे मोजण्याऐवजी ज्ञात गुणोत्तराने काढता येते.

सोपी व्याख्या

एक बाजू व एक गुणोत्तर माहीत असेल तर गुणोत्तर बाजूंच्या अपूर्णांकात लिहा आणि अज्ञात काढा. ज्ञात व अज्ञात बाजूंना जोडणारे गुणोत्तर निवडा. तिसरी बाजू पायथागोरसने.

ABCBC = xAC = 20sin A = 3/5x = 20 × 3/5 = 12

आकृतीत : sin A = ३/५ व AC = २० : BC = २० × ३/५ = १२.

नियम 1 : योग्य गुणोत्तर निवडा — ज्ञात व अज्ञात बाजू ठरवतात की sin, cos की tan वापरायचे.

  • सोपे : sin A = ३/५, AC = २० : BC = २० × ३/५ = १२.
  • मध्यम : cos A = ४/५, AC = १५ : AB = १५ × ४/५ = १२.
  • परीक्षेसाठी : tan A = ५/१२, AB = २४ : BC = २४ × ५/१२ = १०.

नियम 2 : तिसरी बाजू काढा — एक नवी बाजू मिळाल्यावर शेवटची पायथागोरसने.

  • सोपे : शेवटच्या उदाहरणात AC = √(२४² + १०²) = √६७६ = २६.
  • मध्यम : sin A = ३/५, AC = २०, BC = १२ : AB = √(४०० − १४४) = १६.
  • परीक्षेसाठी : पडताळा : cos A = १६/२० = ४/५.
लक्षात ठेवा

अज्ञात अपूर्णांकाच्या अंशात असेल तर गुणा, छेदात असेल तर भागा.

सामान्य चूक

गुणायच्या जागी भागणे, उदा. BC = २० × ३/५ ऐवजी २० ÷ (३/५).

आठवणीची युक्ती

"गुणोत्तर = भाग ÷ भाग; भाग काढायला गुणा."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△UNV मध्ये N वर काटकोन आहे, cos U = 3/5 आणि UN = 6 cm. UV (cm मध्ये) शोधा.
  2. 2△NVP मध्ये V वर काटकोन आहे, sin N = 20/29 आणि NP = 58 cm. VP (cm मध्ये) शोधा.
  3. 3△TCW मध्ये C वर काटकोन आहे, sin T = 20/29 आणि CW = 60 cm. TW (cm मध्ये) शोधा.
मध्यम
  1. 4△MUY मध्ये U वर काटकोन आहे, tan M = 20/21 आणि UY = 80 cm. MU (cm मध्ये) शोधा.
  2. 5△UAM मध्ये A वर काटकोन आहे, sin U = 7/25 आणि AM = 63 cm. UM (cm मध्ये) शोधा.
  3. 6△WBS मध्ये B वर काटकोन आहे, tan W = 9/40 आणि BS = 45 cm. WB (cm मध्ये) शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7△RBM मध्ये B वर काटकोन आहे, cos R = 8/17 आणि RM = 51 cm. RB (cm मध्ये) शोधा.
  2. 8△FPD मध्ये P वर काटकोन आहे, tan F = 3/4 आणि FP = 16 cm. △FPD ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 110
  2. 240
  3. 387
  4. 484
  5. 5225
  6. 6200
  7. 724
  8. 848

शक्य किमती व विधाने तपासणे

रोजच्या जीवनातून

शिडी ती गाठत असलेल्या उंचीपेक्षा लहान असू शकत नाही. म्हणूनच काही गुणोत्तरांच्या किमती अशक्य असतात.

सोपी व्याख्या

कर्ण सर्वात लांब असल्याने लघुकोनासाठी sin A व cos A हे ० ते १ यांच्या दरम्यान, sec A व cosec A किमान १, आणि tan A व cot A कोणतीही धन संख्या असू शकतात. या मर्यादेबाहेरचे विधान अशक्य.

012sin, cossec, cosec: 1 or moretan, cot: any positive number

आकृतीत : sin व cos १ पर्यंत; sec व cosec १ पासून सुरू; tan व cot मोठे असू शकतात.

नियम 1 : किंमत शक्य आहे का? — त्या गुणोत्तराच्या मर्यादेशी तुलना करा.

  • सोपे : sin A = ४/३ अशक्य, कारण ४/३ हे १ पेक्षा मोठे.
  • मध्यम : tan A = १२ शक्य; sec A = ३/४ अशक्य, कारण १ पेक्षा लहान.
  • परीक्षेसाठी : cosec A = ५/४ शक्य, कारण ते किमान १ आहे.

नियम 2 : दोन किमती एका कोनाला जुळतात का? — एका किमतीवरून त्रिकोण करा व दुसरी तपासा.

  • सोपे : sin A = ३/५ व cos A = ४/५ हे ३-४-५ त्रिकोणाला जुळतात : शक्य.
  • मध्यम : sin A = ३/५ व tan A = १ जुळत नाहीत : ३-४-५ त्रिकोणात tan A = ३/४.
  • परीक्षेसाठी : लघुकोनाचे गुणोत्तर कधीही ऋण नसते : cot A = −२ अशक्य.
लक्षात ठेवा

इतर काही करण्याआधी sin व cos यांची आणि sec व cosec यांची १ शी तुलना करा.

सामान्य चूक

tan A १ पेक्षा मोठा असू शकत नाही असे मानणे; तीव्र कोनासाठी तो १२ किंवा १०० असू शकतो.

आठवणीची युक्ती

"sin, cos एकाखाली; sec, cosec एकावर."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1लघुकोन A साठी cos A = 14/13 असणे शक्य आहे का?
  2. 2लघुकोन A साठी cos A = 10 असणे शक्य आहे का?
  3. 3लघुकोन A साठी sin A = 7/8 असणे शक्य आहे का?
मध्यम
  1. 4लघुकोन A साठी tan A = 11/12 असणे शक्य आहे का?
  2. 5△FPZ मध्ये P वर काटकोन आहे; FP = 15 cm, PZ = 8 cm, FZ = 17 cm. △HKQ मध्ये K वर काटकोन आहे, ∠H = ∠F आणि HK = 30 cm. sec H शोधा.
  3. 6△WYT मध्ये Y वर काटकोन आहे; WY = 7 cm, YT = 24 cm, WT = 25 cm. △NUZ मध्ये U वर काटकोन आहे, ∠N = ∠W आणि NU = 21 cm. tan N शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7△VQK मध्ये Q वर काटकोन आहे; VQ = 5 cm, QK = 12 cm, VK = 13 cm. tan V × tan K ची किंमत शोधा.
  2. 8△ZBT मध्ये B वर काटकोन आहे; ZB = 8 cm, BT = 15 cm, ZT = 17 cm. sin Z × sin T ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1नाही
  2. 2नाही
  3. 3होय
  4. 4होय
  5. 517/15
  6. 624/7
  7. 71
  8. 8120/289