दो बिंदुओं के बीच की दूरी
ग्रिड मानचित्र पर पुस्तकालय और स्टेशन के बीच की सीधी दूरी निकालने के लिए समकोण त्रिभुज बनाकर पायथागोरस लगाते हैं।
दूरी सूत्र A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के बीच की दूरी देता है : d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतर समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं।
सूत्र : d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
आकृति में : A(2, 1) और B(6, 4) : अंतर 4 और 3, अतः d = √(16 + 9) = 5।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : सूत्र लगाएँ — x में से x और y में से y घटाएँ, वर्ग करें, जोड़ें, वर्गमूल लें।
- आसान : A(2, 1), B(6, 4) : d = √(16 + 9) = 5।
- मध्यम : (−1, 2) और (4, 14) : d = √(25 + 144) = 13।
- परीक्षा-प्रकार : (3, −2) और (−1, 1) : d = √(16 + 9) = 5।
नियम 2 : समान x या समान y — एक निर्देशांक समान हो तो दूसरा बस घटाएँ।
- आसान : (2, 5) और (2, 9) : d = 9 − 5 = 4।
- मध्यम : (−3, 1) और (4, 1) : d = 4 − (−3) = 7।
- परीक्षा-प्रकार : दूरी कभी ऋण नहीं होती।
बिंदुओं का क्रम मायने नहीं रखता, क्योंकि अंतरों का वर्ग होता है।
वर्गमूल भूल जाना या कोष्ठक में घटाने की जगह जोड़ना।
"x का अंतर, y का अंतर, वर्ग, योग, वर्गमूल।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बिंदुओं (−1, 2) और (−1, 13) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- 2बिंदुओं (−9, 1) और (−5, −9) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- 3बिंदुओं (−2, 2) और (4, 2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- 4बिंदुओं (6, 4) और (18, 4) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- 5बिंदुओं (9, 6) और (−9, 7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- 6ग्रिड पर बने मानचित्र में (1 इकाई = 1 km) मंदिर (4, 4) पर और बाज़ार (10, 12) पर है। उनके बीच की सीधी दूरी (km में) ज्ञात कीजिए।
- 7बिंदुओं (−2, 5) और (10, 10) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- 8बिंदुओं (−2, 1) और (−8, −7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 111
- 22√29
- 36
- 412
- 55√13
- 610
- 713
- 810
मूल बिंदु से दूरी
(3, 4) पर घर का (0, 0) पर केंद्र से दूरी सीधी 5 ब्लॉक है, 3 + 4 = 7 नहीं।
P(x, y) की मूल बिंदु O(0, 0) से दूरी d = √(x² + y²)। अक्ष पर स्थित बिंदु के लिए दूरी चिह्न रहित संख्या है : (0, y) के लिए |y| और (x, 0) के लिए |x|।
सूत्र : d = √(x² + y²)
आकृति में : P(3, 4) : d = √(9 + 16) = 5, 3-4-5 त्रिभुज का कर्ण।
नियम 1 : कोई भी बिंदु — दोनों निर्देशांकों का वर्ग करें, जोड़ें, वर्गमूल लें; चिह्न हट जाते हैं।
- आसान : (3, 4) : d = 5।
- मध्यम : (−5, 12) : d = √(25 + 144) = 13।
- परीक्षा-प्रकार : (8, −15) : d = √(64 + 225) = 17।
नियम 2 : अक्षों पर बिंदु — एक निर्देशांक 0 होता है, इसलिए वर्ग का वर्गमूल बिना चिह्न वही संख्या।
- आसान : (0, −7) : d = 7।
- मध्यम : (9, 0) : d = 9।
- परीक्षा-प्रकार : (0, 0) की स्वयं से दूरी 0।
मूल बिंदु दूरी सूत्र का दूसरा बिंदु (0, 0) ही है।
वर्गों के योग का वर्गमूल लेने की जगह निर्देशांक जोड़ना (3 + 4)।
"वर्ग, योग, वर्गमूल : O से पायथागोरस।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बिंदु (7, −6) की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
- 2बिंदु (7, −1) की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
- 3बिंदु (−6, −8) की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
- 4बिंदु (7, 5) की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
- 5बिंदु (5, 2) की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
- 6बिंदु (−4, −3) की मूल बिंदु से दूरी कितनी है?
- 7बिंदु (−15, 8) की मूल बिंदु से दूरी कितनी है?
- 8बिंदु (−12, y), जहाँ y > 0 है, मूल बिंदु से 15 इकाई दूर है। y ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1√85
- 25√2
- 310
- 4√74
- 5√29
- 65
- 717
- 89
त्रिभुज, संरेखता और अक्ष पर बिंदु
तीन बस स्टॉप एक ही सीधी सड़क पर तभी होते हैं जब दो छोटे अंतरों का योग पूरे अंतर के बराबर हो।
दूरी सूत्र से तीनों भुजाओं की लंबाई निकालें। दो छोटी लंबाइयों का योग सबसे बड़ी के बराबर हो तो बिंदु संरेख हैं। नहीं तो भुजाओं की तुलना करें : दो समान यानी समद्विबाहु, और a² + b² = c² यानी समकोण। अक्ष पर स्थित बिंदु का एक निर्देशांक 0 होता है।
आकृति में : A(1, 1), B(3, 3), C(5, 5) : AB + BC = 2√2 + 2√2 = 4√2 = AC, अतः संरेख।
नियम 1 : त्रिभुज का प्रकार — AB, BC, CA निकालकर तुलना करें; फिर पायथागोरस जाँचें।
- आसान : A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4) : AC = BC = 5 : समद्विबाहु।
- मध्यम : A(1, 1), B(4, 1), C(1, 5) : 3² + 4² = 5² : समकोण।
- परीक्षा-प्रकार : A(1, 1), B(3, 3), C(5, 5) : संरेख, त्रिभुज नहीं।
नियम 2 : अक्ष पर बिंदु — (x, 0) या (0, y) लें और दोनों दूरियाँ बराबर रखें।
- आसान : x-अक्ष पर (2, −5) और (−2, 9) से समान दूरी पर : (−7, 0)।
- मध्यम : y-अक्ष पर (6, 5) और (−4, 3) से समान दूरी पर : (0, 9)।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : (−7, 0) के लिए दोनों दूरियाँ √106।
अंत तक वर्गमूल से बचने के लिए दूरियों के वर्ग की तुलना करें।
मूलों को दशमलव में गोल करके जोड़ना; संरेखता जाँचते समय मूल सटीक (जैसे 2√2) रखें।
"छोटी जोड़ छोटी = बड़ी : एक ही सीधी रेखा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक त्रिभुज के शीर्ष H(0, 4), V(3, 9) और S(−2, 10) हैं। क्या HV = HS है?
- 2एक त्रिभुज के शीर्ष Y(−5, 4), P(0, 8) और G(0, 0) हैं। क्या YP = YG है?
- 3एक त्रिभुज के शीर्ष X(1, −6), Q(3, −4) और A(2, −7) हैं। क्या XQ = XA है?
- 4क्या बिंदु (0, −2), (1, 0) और (3, 2) संरेख हैं?
- 5क्या बिंदु (0, −6), (5, 3) और (2, −1) संरेख हैं?
- 6x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, 2) और (7, 7) से समान दूरी पर है।
- 7y-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (−5, −6) और (1, 6) से समान दूरी पर है।
- 8x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (−3, 3) और (−5, 5) से समान दूरी पर है।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1नहीं
- 2हाँ
- 3नहीं
- 4नहीं
- 5नहीं
- 6(9, 0)
- 7(0, −1)
- 8(−8, 0)
अज्ञात निर्देशांक ज्ञात करना
खंभे का एक निर्देशांक अज्ञात हो पर दूसरे खंभे से दूरी ज्ञात हो तो सूत्र समीकरण बन जाता है।
दी गई दूरी सूत्र में रखें, मूल हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग करें और अज्ञात हल करें। समान दूरी वाले बिंदु के लिए दोनों दूरियों के वर्ग बराबर रखें। हर उत्तर जाँचें।
आकृति में : (2, −3) और (10, y) की दूरी 10 : 64 + (y + 3)² = 100, अतः y = 3 या −9।
नियम 1 : दी गई दूरी — दोनों ओर वर्ग करें, हल करें, दोनों मूल मान्य हों तो दोनों रखें।
- आसान : (2, −3) और (10, y), दूरी 10 : y = 3 या −9।
- मध्यम : P(x, 2) और Q(9, 8), दूरी 10 : x = 1 या 17।
- परीक्षा-प्रकार : दोनों मान सही बिंदु देते हैं, इसलिए दो उत्तर।
नियम 2 : समदूरस्थ बिंदु — PA² = PB² रखें; अज्ञात के वर्ग कट जाते हैं।
- आसान : (7, 1) और (3, 5) से समान दूरी पर (x, y) : x − y = 2।
- मध्यम : जाँच : (4, 2) दोनों बिंदुओं से √10।
- परीक्षा-प्रकार : यह शर्त एक रेखा, यानी लंब-समद्विभाजक है।
दोनों ओर अऋण होने से वर्ग करना यहाँ सुरक्षित है।
(y + 3)² को y² + 9 लिखकर बीच का पद खो देना।
"वर्ग, पूरा विस्तार, द्विघात हल करें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बिंदुओं (k, −8) और (8, −8) के बीच की दूरी 9 है। यदि k < 8 हो तो k ज्ञात कीजिए।
- 2बिंदुओं (k, −6) और (−3, −6) के बीच की दूरी 9 है। यदि k > −3 हो तो k ज्ञात कीजिए।
- 3बिंदुओं (−4, y) और (−16, 6) के बीच की दूरी 20 है। y का मान/मान ज्ञात कीजिए।
- 4बिंदुओं (−7, y) और (5, 5) के बीच की दूरी 15 है। y का मान/मान ज्ञात कीजिए।
- 5बिंदुओं (0, y) और (12, 2) के बीच की दूरी 13 है। y का मान/मान ज्ञात कीजिए।
- 6बिंदु P(x, −5), A(2, 6) और B(1, −5) से समान दूरी पर है। x ज्ञात कीजिए।
- 7बिंदु P(x, −3), A(5, −2) और B(1, 0) से समान दूरी पर है। x ज्ञात कीजिए।
- 8बिंदु P(x, 1), A(4, 2) और B(0, −4) से समान दूरी पर है। x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−1
- 26
- 3−10 या 22
- 4−4 या 14
- 5−3 या 7
- 662
- 72
- 8−1
चतुर्भुज और वृत्त
सर्वेक्षक कोनों के बीच की दूरियाँ नापकर ही तय करते हैं कि भूखंड वर्ग, समचतुर्भुज या वृत्त है।
चारों भुजाएँ और दोनों विकर्ण निकालें : भुजाएँ समान + विकर्ण समान = वर्ग; भुजाएँ समान, विकर्ण असमान = समचतुर्भुज; सम्मुख भुजाएँ समान = समांतर चतुर्भुज। बिंदु वृत्त पर होता है यदि केंद्र से दूरी त्रिज्या के बराबर हो, भीतर यदि कम, बाहर यदि अधिक।
आकृति में : A(0, 0), B(4, 3), C(8, 0), D(4, −3) : सभी भुजाएँ 5, विकर्ण 8 और 6, अतः समचतुर्भुज।
नियम 1 : चतुर्भुज पहचानें — पहले भुजाओं की, फिर विकर्णों की तुलना करें।
- आसान : A(0, 0), B(4, 0), C(4, 4), D(0, 4) : भुजाएँ 4, विकर्ण 4√2 : वर्ग।
- मध्यम : A(0, 0), B(4, 3), C(8, 0), D(4, −3) : समचतुर्भुज।
- परीक्षा-प्रकार : A(0, 0), B(5, 1), C(7, 4), D(2, 3) : सम्मुख भुजाएँ √26 और √13 : समांतर चतुर्भुज।
नियम 2 : बिंदु और वृत्त — केंद्र से दूरी की त्रिज्या से तुलना करें।
- आसान : केंद्र (0, 0), त्रिज्या 5 : (3, 4) वृत्त पर।
- मध्यम : वही वृत्त : (4, 4) बाहर (√32 > 5); (2, 1) भीतर (√5 < 5)।
- परीक्षा-प्रकार : केंद्र (2, −3), त्रिज्या 5 : (5, 1) और (6, −6) वृत्त पर।
वर्ग को समान भुजाएँ और समान विकर्ण दोनों चाहिए; केवल समान भुजाएँ समचतुर्भुज देती हैं।
विकर्ण जाँचे बिना केवल चारों भुजाएँ समान होने से वर्ग कहना।
"पहले भुजाएँ, फिर विकर्ण, फिर नाम।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक वृत्त का केंद्र (8, −6) है और वह बिंदु (16, −6) से होकर जाता है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
- 2एक वृत्त का केंद्र (−8, −1) है और वह बिंदु (−22, −1) से होकर जाता है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
- 3एक वृत्त का केंद्र (7, 1) है और वह बिंदु (−7, 1) से होकर जाता है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
- 4एक वृत्त का केंद्र (6, 3) है और वह बिंदु (6, −4) से होकर जाता है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
- 5केंद्र (−5, −2) वाला एक वृत्त बिंदु (5, 0) से होकर जाता है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
- 6केंद्र (−4, −7) वाला एक वृत्त बिंदु (−7, 5) से होकर जाता है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
- 7एक वृत्त का केंद्र O(5, −2) और त्रिज्या 9 इकाई है। बिंदु P(11, 6) कहाँ स्थित है?
- 8A(−4, −2), B(−8, 2), C(−12, −2) और D(−8, −6) चतुर्भुज ABCD के क्रम से लिए गए शीर्ष हैं। ABCD क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18
- 214
- 314
- 47
- 52√26
- 63√17
- 7वृत्त के बाहर
- 8वर्ग