K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 10 · गणित

निर्देशक भूमिती 7.2 : अंतर सूत्र

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

दोन बिंदूंमधील अंतर

रोजच्या जीवनातून

ग्रिड नकाशावरील ग्रंथालय व स्थानक यांमधील सरळ अंतर काढायला काटकोन त्रिकोण करून पायथागोरस वापरतात.

सोपी व्याख्या

अंतर सूत्र A(x₁, y₁) व B(x₂, y₂) यांमधील अंतर देते : d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. आडवा व उभा फरक हे काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजू.

सूत्र : d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

1234567891012345xyA(2, 1)B(6, 4)43d = 5

आकृतीत : A(२, १) व B(६, ४) : फरक ४ व ३, म्हणून d = √(१६ + ९) = ५.

Live आकृती

दोन बिंदूंमधील अंतर

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : सूत्र वापरा — x मधून x व y मधून y वजा करा, वर्ग करा, बेरीज करा, वर्गमूळ घ्या.

  • सोपे : A(२, १), B(६, ४) : d = √(१६ + ९) = ५.
  • मध्यम : (−१, २) व (४, १४) : d = √(२५ + १४४) = १३.
  • परीक्षेसाठी : (३, −२) व (−१, १) : d = √(१६ + ९) = ५.

नियम 2 : समान x किंवा समान y — एक निर्देशक सारखा असेल तर दुसरा फक्त वजा करा.

  • सोपे : (२, ५) व (२, ९) : d = ९ − ५ = ४.
  • मध्यम : (−३, १) व (४, १) : d = ४ − (−३) = ७.
  • परीक्षेसाठी : अंतर कधीही ऋण नसते.
लक्षात ठेवा

बिंदूंचा क्रम महत्त्वाचा नाही, कारण फरकांचे वर्ग होतात.

सामान्य चूक

वर्गमूळ विसरणे किंवा कंसात वजाबाकीऐवजी बेरीज करणे.

आठवणीची युक्ती

"x चा फरक, y चा फरक, वर्ग, बेरीज, वर्गमूळ."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(−1, 2) आणि (−1, 13) या बिंदूंमधील अंतर शोधा.
  2. 2(−9, 1) आणि (−5, −9) या बिंदूंमधील अंतर शोधा.
  3. 3(−2, 2) आणि (4, 2) या बिंदूंमधील अंतर शोधा.
मध्यम
  1. 4(6, 4) आणि (18, 4) या बिंदूंमधील अंतर शोधा.
  2. 5(9, 6) आणि (−9, 7) या बिंदूंमधील अंतर शोधा.
  3. 6ग्रिडवर काढलेल्या नकाशावर (1 एकक = 1 km) मंदिर (4, 4) वर आणि बाजार (10, 12) वर आहे. त्यांमधील सरळ अंतर (km मध्ये) शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7(−2, 5) आणि (10, 10) या बिंदूंमधील अंतर शोधा.
  2. 8(−2, 1) आणि (−8, −7) या बिंदूंमधील अंतर शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 111
  2. 22√29
  3. 36
  4. 412
  5. 55√13
  6. 610
  7. 713
  8. 810

मूलबिंदूपासूनचे अंतर

रोजच्या जीवनातून

(३, ४) वरील घराचे (०, ०) वरील केंद्रापासूनचे अंतर सरळ ५ ठोकळे, ३ + ४ = ७ नव्हे.

सोपी व्याख्या

P(x, y) चे मूलबिंदू O(०, ०) पासूनचे अंतर d = √(x² + y²). अक्षावरील बिंदूसाठी अंतर म्हणजे चिन्हाशिवायची संख्या : (०, y) साठी |y| व (x, ०) साठी |x|.

सूत्र : d = √(x² + y²)

1234567891012345xyP(3, 4)O5d = √(x² + y²)

आकृतीत : P(३, ४) : d = √(९ + १६) = ५, ३-४-५ त्रिकोणाचा कर्ण.

नियम 1 : कोणताही बिंदू — दोन्ही निर्देशकांचे वर्ग करा, बेरीज करा, वर्गमूळ घ्या; चिन्हे जातात.

  • सोपे : (३, ४) : d = ५.
  • मध्यम : (−५, १२) : d = √(२५ + १४४) = १३.
  • परीक्षेसाठी : (८, −१५) : d = √(६४ + २२५) = १७.

नियम 2 : अक्षांवरील बिंदू — एक निर्देशक ० असतो, म्हणून वर्गाचे वर्गमूळ चिन्हाशिवाय तीच संख्या.

  • सोपे : (०, −७) : d = ७.
  • मध्यम : (९, ०) : d = ९.
  • परीक्षेसाठी : (०, ०) चे स्वतःपासूनचे अंतर ०.
लक्षात ठेवा

मूलबिंदू म्हणजे अंतर सूत्रातील दुसरा बिंदू (०, ०).

सामान्य चूक

वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ घेण्याऐवजी निर्देशक मिळवणे (३ + ४).

आठवणीची युक्ती

"वर्ग, बेरीज, वर्गमूळ : O पासून पायथागोरस."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(7, −6) या बिंदूचे मूलबिंदूपासूनचे अंतर शोधा.
  2. 2(7, −1) या बिंदूचे मूलबिंदूपासूनचे अंतर शोधा.
  3. 3(−6, −8) या बिंदूचे मूलबिंदूपासूनचे अंतर शोधा.
मध्यम
  1. 4(7, 5) या बिंदूचे मूलबिंदूपासूनचे अंतर शोधा.
  2. 5(5, 2) या बिंदूचे मूलबिंदूपासूनचे अंतर शोधा.
  3. 6(−4, −3) या बिंदूचे मूलबिंदूपासूनचे अंतर किती?
आव्हानात्मक
  1. 7(−15, 8) या बिंदूचे मूलबिंदूपासूनचे अंतर किती?
  2. 8(−12, y) हा बिंदू, ज्यात y > 0 आहे, मूलबिंदूपासून 15 एकक अंतरावर आहे. y शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1√85
  2. 25√2
  3. 310
  4. 4√74
  5. 5√29
  6. 65
  7. 717
  8. 89

त्रिकोण, एकरेषीयता व अक्षावरील बिंदू

रोजच्या जीवनातून

तीन बस थांबे एकाच सरळ रस्त्यावर तेव्हाच असतात जेव्हा दोन लहान अंतरांची बेरीज पूर्ण अंतराइतकी असते.

सोपी व्याख्या

अंतर सूत्राने तीन बाजूंच्या लांबी काढा. दोन लहान लांबींची बेरीज सर्वात मोठीइतकी असेल तर बिंदू एकरेषीय. नाहीतर बाजूंची तुलना करा : दोन समान म्हणजे समद्विभुज, आणि a² + b² = c² म्हणजे काटकोन. अक्षावरील बिंदूचा एक निर्देशक ० असतो.

find3 sidesadd2 shorter= longestcollineara²+b²=c²right angle

आकृतीत : A(१, १), B(३, ३), C(५, ५) : AB + BC = २√२ + २√२ = ४√२ = AC, म्हणून एकरेषीय.

नियम 1 : त्रिकोणाचा प्रकार — AB, BC, CA काढून तुलना करा; मग पायथागोरस तपासा.

  • सोपे : A(०, ०), B(६, ०), C(३, ४) : AC = BC = ५ : समद्विभुज.
  • मध्यम : A(१, १), B(४, १), C(१, ५) : ३² + ४² = ५² : काटकोन.
  • परीक्षेसाठी : A(१, १), B(३, ३), C(५, ५) : एकरेषीय, त्रिकोण नाही.

नियम 2 : अक्षावरील बिंदू — (x, ०) किंवा (०, y) घ्या आणि दोन्ही अंतरे समान मांडा.

  • सोपे : x-अक्षावर (२, −५) व (−२, ९) पासून समान अंतरावर : (−७, ०).
  • मध्यम : y-अक्षावर (६, ५) व (−४, ३) पासून समान अंतरावर : (०, ९).
  • परीक्षेसाठी : पडताळा : (−७, ०) साठी दोन्ही अंतरे √१०६.
लक्षात ठेवा

शेवटपर्यंत वर्गमूळ टाळायला अंतरांचे वर्ग तुलना करा.

सामान्य चूक

वर्गमूळे दशांशात गोल करून मग मिळवणे; एकरेषीयता तपासताना वर्गमूळे अचूक (उदा. २√२) ठेवा.

आठवणीची युक्ती

"लहान अधिक लहान = मोठी : एकच सरळ रेषा."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1त्रिकोणाचे शिरोबिंदू H(0, 4), V(3, 9) आणि S(−2, 10) आहेत. HV = HS आहे का?
  2. 2त्रिकोणाचे शिरोबिंदू Y(−5, 4), P(0, 8) आणि G(0, 0) आहेत. YP = YG आहे का?
  3. 3त्रिकोणाचे शिरोबिंदू X(1, −6), Q(3, −4) आणि A(2, −7) आहेत. XQ = XA आहे का?
मध्यम
  1. 4(0, −2), (1, 0) आणि (3, 2) हे बिंदू एकरेषीय आहेत का?
  2. 5(0, −6), (5, 3) आणि (2, −1) हे बिंदू एकरेषीय आहेत का?
  3. 6x-अक्षावर असा बिंदू शोधा जो (2, 2) आणि (7, 7) पासून समान अंतरावर आहे.
आव्हानात्मक
  1. 7y-अक्षावर असा बिंदू शोधा जो (−5, −6) आणि (1, 6) पासून समान अंतरावर आहे.
  2. 8x-अक्षावर असा बिंदू शोधा जो (−3, 3) आणि (−5, 5) पासून समान अंतरावर आहे.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1नाही
  2. 2होय
  3. 3नाही
  4. 4नाही
  5. 5नाही
  6. 6(9, 0)
  7. 7(0, −1)
  8. 8(−8, 0)

अज्ञात निर्देशक शोधणे

रोजच्या जीवनातून

खांबाचा एक निर्देशक माहीत नसेल पण दुसऱ्या खांबापासूनचे अंतर माहीत असेल तर सूत्राचे समीकरण होते.

सोपी व्याख्या

दिलेले अंतर सूत्रात घाला, वर्गमूळ घालवायला दोन्ही बाजूंचे वर्ग करा आणि अज्ञात सोडवा. समान अंतरावरील बिंदूसाठी दोन्ही अंतरांचे वर्ग समान मांडा. प्रत्येक उत्तर तपासा.

putdistancesquareboth sidessolvecheck

आकृतीत : (२, −३) व (१०, y) चे अंतर १० : ६४ + (y + ३)² = १००, म्हणून y = ३ किंवा −९.

नियम 1 : दिलेले अंतर — दोन्ही बाजूंचे वर्ग करा, सोडवा, दोन्ही मुळे चालत असतील तर दोन्ही ठेवा.

  • सोपे : (२, −३) व (१०, y), अंतर १० : y = ३ किंवा −९.
  • मध्यम : P(x, २) व Q(९, ८), अंतर १० : x = १ किंवा १७.
  • परीक्षेसाठी : दोन्ही किमती योग्य बिंदू देतात, म्हणून दोन उत्तरे.

नियम 2 : समान अंतरावरील बिंदू — PA² = PB² मांडा; अज्ञातांचे वर्ग जातात.

  • सोपे : (७, १) व (३, ५) पासून समान अंतरावरील (x, y) : x − y = २.
  • मध्यम : पडताळा : (४, २) दोन्ही बिंदूंपासून √१०.
  • परीक्षेसाठी : ही अट एक रेषा म्हणजे लंबदुभाजक आहे.
लक्षात ठेवा

दोन्ही बाजू अऋण असल्याने वर्ग करणे येथे सुरक्षित.

सामान्य चूक

(y + ३)² हे y² + ९ लिहून मधले पद गमावणे.

आठवणीची युक्ती

"वर्ग, पूर्ण विस्तार, वर्ग समीकरण सोडवा."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(k, −8) आणि (8, −8) या बिंदूंमधील अंतर 9 आहे. k < 8 असेल तर k शोधा.
  2. 2(k, −6) आणि (−3, −6) या बिंदूंमधील अंतर 9 आहे. k > −3 असेल तर k शोधा.
  3. 3(−4, y) आणि (−16, 6) या बिंदूंमधील अंतर 20 आहे. y ची किंमत/किमती शोधा.
मध्यम
  1. 4(−7, y) आणि (5, 5) या बिंदूंमधील अंतर 15 आहे. y ची किंमत/किमती शोधा.
  2. 5(0, y) आणि (12, 2) या बिंदूंमधील अंतर 13 आहे. y ची किंमत/किमती शोधा.
  3. 6P(x, −5) हा बिंदू A(2, 6) आणि B(1, −5) पासून समान अंतरावर आहे. x शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7P(x, −3) हा बिंदू A(5, −2) आणि B(1, 0) पासून समान अंतरावर आहे. x शोधा.
  2. 8P(x, 1) हा बिंदू A(4, 2) आणि B(0, −4) पासून समान अंतरावर आहे. x शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1−1
  2. 26
  3. 3−10 किंवा 22
  4. 4−4 किंवा 14
  5. 5−3 किंवा 7
  6. 662
  7. 72
  8. 8−1

चौकोन व वर्तुळे

रोजच्या जीवनातून

भूमापक कोपऱ्यांतील अंतरे मोजूनच भूखंड चौरस, समभुज चौकोन की वर्तुळ ते ठरवतात.

सोपी व्याख्या

चारही बाजू व दोन्ही कर्ण काढा : बाजू समान + कर्ण समान = चौरस; बाजू समान, कर्ण असमान = समभुज चौकोन; समोरच्या बाजू समान = समांतरभुज चौकोन. बिंदू वर्तुळावर असतो जर केंद्रापासूनचे अंतर त्रिज्येइतके, आत असतो जर कमी, बाहेर जर जास्त.

4 sidesequal?diagonalsequal?oppositesides equal?type

आकृतीत : A(०, ०), B(४, ३), C(८, ०), D(४, −३) : सर्व बाजू ५, कर्ण ८ व ६, म्हणून समभुज चौकोन.

नियम 1 : चौकोन ओळखा — आधी बाजूंची, मग कर्णांची तुलना करा.

  • सोपे : A(०, ०), B(४, ०), C(४, ४), D(०, ४) : बाजू ४, कर्ण ४√२ : चौरस.
  • मध्यम : A(०, ०), B(४, ३), C(८, ०), D(४, −३) : समभुज चौकोन.
  • परीक्षेसाठी : A(०, ०), B(५, १), C(७, ४), D(२, ३) : समोरच्या बाजू √२६ व √१३ : समांतरभुज चौकोन.

नियम 2 : बिंदू आणि वर्तुळ — केंद्रापासूनच्या अंतराची त्रिज्येशी तुलना करा.

  • सोपे : केंद्र (०, ०), त्रिज्या ५ : (३, ४) वर्तुळावर.
  • मध्यम : तेच वर्तुळ : (४, ४) बाहेर (√३२ > ५); (२, १) आत (√५ < ५).
  • परीक्षेसाठी : केंद्र (२, −३), त्रिज्या ५ : (५, १) व (६, −६) वर्तुळावर.
लक्षात ठेवा

चौरसाला समान बाजू व समान कर्ण दोन्ही हवेत; फक्त समान बाजू म्हणजे समभुज चौकोन.

सामान्य चूक

विकर्ण न तपासता फक्त चारही बाजू समान म्हणून चौरस म्हणणे.

आठवणीची युक्ती

"आधी बाजू, मग कर्ण, मग नाव."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1वर्तुळाचे केंद्र (8, −6) असून ते (16, −6) या बिंदूतून जाते. त्याची त्रिज्या शोधा.
  2. 2वर्तुळाचे केंद्र (−8, −1) असून ते (−22, −1) या बिंदूतून जाते. त्याची त्रिज्या शोधा.
  3. 3वर्तुळाचे केंद्र (7, 1) असून ते (−7, 1) या बिंदूतून जाते. त्याची त्रिज्या शोधा.
मध्यम
  1. 4वर्तुळाचे केंद्र (6, 3) असून ते (6, −4) या बिंदूतून जाते. त्याची त्रिज्या शोधा.
  2. 5केंद्र (−5, −2) असलेले वर्तुळ (5, 0) या बिंदूतून जाते. त्याची त्रिज्या शोधा.
  3. 6केंद्र (−4, −7) असलेले वर्तुळ (−7, 5) या बिंदूतून जाते. त्याची त्रिज्या शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7एका वर्तुळाचे केंद्र O(5, −2) आणि त्रिज्या 9 एकक आहे. P(11, 6) हा बिंदू कुठे आहे?
  2. 8A(−4, −2), B(−8, 2), C(−12, −2) आणि D(−8, −6) हे चौकोन ABCD चे क्रमाने घेतलेले शिरोबिंदू आहेत. ABCD म्हणजे काय?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 18
  2. 214
  3. 314
  4. 47
  5. 52√26
  6. 63√17
  7. 7वर्तुळाच्या बाहेर
  8. 8चौरस