K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 10 · गणित

त्रिकोण 6.4 : त्रिकोणांच्या समरूपतेच्या कसोट्या

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

AA, SSS आणि SAS ओळखणे

रोजच्या जीवनातून

दोन फोटो-चौकटींचा आकार सारखा आहे का पाहायला सर्व मोजावे लागत नाही : काही जुळणारे कोन किंवा गुणोत्तरे पुरेशी.

सोपी व्याख्या

त्रिकोण समरूप असतात जर : AA दोन कोन समान (तिसरा आपोआप जुळतो), SSS तीनही संगत बाजूंची गुणोत्तरे समान, किंवा SAS एक कोन समान आणि त्याला लगतच्या दोन बाजूंची गुणोत्तरे समान.

50°60°70°50°60°70°AA

आकृतीत : दोन्ही त्रिकोणांत ५०° व ६०° जुळतात, म्हणून तिसरे कोन (७०°) जुळतात आणि त्रिकोण समरूप.

Live आकृती

AA, SSS आणि SAS ओळखणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : कोणती कसोटी लागू? — काय दिले आहे ते पाहा : कोन, तीन बाजू, किंवा दोन बाजू व कोन.

  • सोपे : कोन ५०°, ६०° व ६०°, ७०° : दोन्ही संच ५०°, ६०°, ७०° : AA.
  • मध्यम : बाजू ३, ४, ५ व ६, ८, १० : SSS.
  • परीक्षेसाठी : बाजू २, ३ व लगतचा कोन ४०° आणि ४, ६ व ४०° : SAS.

नियम 2 : काय चालत नाही — कसोटीपेक्षा कमी जुळणी किंवा चुकीचा कोन काहीच सिद्ध करत नाही.

  • सोपे : फक्त एक कोनजोडी समान : पुरेसे नाही.
  • मध्यम : दोन बाजू समप्रमाण पण कोन त्यांच्यामध्ये नाही : कसोटी नाही.
  • परीक्षेसाठी : फक्त दोन बाजूंची गुणोत्तरे समान, कोन नाही : पुरेसे नाही.
लक्षात ठेवा

AA ला २ कोन, SSS ला ३ बाजू-गुणोत्तरे, SAS ला २ बाजूंमधील कोन.

सामान्य चूक

समान कोन दोन समप्रमाण बाजूंमध्ये नसताना SAS वापरणे.

आठवणीची युक्ती

"AA : कोन. SSS : बाजू. SAS : मधला कोन."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△DRG आणि △AYB मध्ये : DR = 7 cm, RG = 9 cm, GD = 12 cm, AY = 14 cm, YB = 18 cm आणि BA = 24 cm. △DRG ~ △AYB हे कोणत्या कसोटीने सिद्ध होते?
  2. 2△UYG आणि △VNR मध्ये : ∠U = 70°, ∠Y = 55°, ∠V = 70° आणि ∠N = 55°. △UYG ~ △VNR हे कोणत्या कसोटीने सिद्ध होते?
  3. 3△RLF आणि △VQC मध्ये : RL = 7 cm, LF = 8 cm, FR = 9 cm, VQ = 14 cm, QC = 16 cm आणि CV = 18 cm. △RLF ~ △VQC हे कोणत्या कसोटीने सिद्ध होते?
मध्यम
  1. 4△QZD आणि △SKF मध्ये : ∠Q = 45°, ∠Z = 110°, ∠S = 45° आणि ∠K = 110°. △QZD ~ △SKF हे कोणत्या कसोटीने सिद्ध होते?
  2. 5△DFA आणि △HVR मध्ये : DF = 5 cm, FA = 12 cm, AD = 13 cm, HV = 10 cm, VR = 24 cm आणि RH = 26 cm. △DFA ~ △HVR हे कोणत्या कसोटीने सिद्ध होते?
  3. 6△CEY आणि △UXV मध्ये : CE = 2 cm, CY = 6 cm, ∠E = 110°, UX = 6 cm, UV = 18 cm आणि ∠X = 110°. △CEY ~ △UXV हे कोणत्या कसोटीने सिद्ध होते?
आव्हानात्मक
  1. 7△XEB ~ △YDA सिद्ध करण्यासाठी कोणती एक अट पुरेशी आहे?
  2. 8△WCZ ~ △SHT सिद्ध करण्यासाठी कोणती एक अट पुरेशी आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1SSS
  2. 2AA
  3. 3SSS
  4. 4AA
  5. 5SSS
  6. 6AA, SSS, SAS पैकी एकही लागू होत नाही
  7. 7∠X = ∠Y and ∠E = ∠D
  8. 8WC/SH = CZ/HT = ZW/TS

SSS समरूपता : तपासणी आणि बाजू शोधणे

रोजच्या जीवनातून

४, ६, ८ cm आणि ६, ९, १२ cm बाजूंचे दोन त्रिकोणी झेंडे एकाच रचनेच्या वेगळ्या मापाच्या प्रती.

सोपी व्याख्या

AB/PQ = BC/QR = CA/RP असेल तर ΔABC ~ ΔPQR (SSS). सर्वात लहान सर्वात लहानाशी, मधली मधलीशी आणि सर्वात लांब सर्वात लांबाशी जोडा.

सूत्र : AB/PQ = BC/QR = CA/RP

84612692 : 3

आकृतीत : ४ : ६, ६ : ९ व ८ : १२ सर्व २ : ३, म्हणून त्रिकोण समरूप.

नियम 1 : SSS तपासा — बाजू क्रमाने लावा, संगत जोड्या भागा आणि तुलना करा.

  • सोपे : ४, ६, ८ व ६, ९, १२ : सर्व २/३ : समरूप.
  • मध्यम : ३, ५, ७ व ६, १०, १५ : १/२, १/२, ७/१५ : समरूप नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : ५, १२, १३ व १०, २४, २६ : सर्व १/२ : समरूप.

नियम 2 : न माहीत बाजू काढा — दोन ज्ञात बाजूंवरून k काढून लावा.

  • सोपे : ५, १२, १३ ~ १०, २४, x : x = २६.
  • मध्यम : ६, ८, १० ~ ९, १२, x : k = ३/२, x = १५.
  • परीक्षेसाठी : ४, ५, ६ ~ १२, १५, x : k = ३, x = १८.
लक्षात ठेवा

तुलना करण्यापूर्वी दोन्ही त्रिकोणांच्या बाजू लहानापासून मोठ्यापर्यंत लावा.

सामान्य चूक

एकाची सर्वात लहान बाजू दुसऱ्याच्या सर्वात लांब बाजूने भागणे.

आठवणीची युक्ती

"लहान लहानाशी, लांब लांबाशी."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△QZF च्या बाजू QZ = 6 cm, ZF = 8 cm, FQ = 11 cm आणि △XBH च्या बाजू XB = 24 cm, BH = 32 cm, HX = 44 cm आहेत. हे त्रिकोण समरूप आहेत का?
  2. 2△NEY च्या बाजू NE = 5 cm, EY = 6 cm, YN = 7 cm आणि △QGT च्या बाजू QG = 10 cm, GT = 12 cm, TQ = 14 cm आहेत. हे त्रिकोण समरूप आहेत का?
  3. 3△SEM च्या बाजू SE = 5 cm, EM = 6 cm, MS = 7 cm आणि △XLT च्या बाजू XL = 15 cm, LT = 18 cm, TX = 21 cm आहेत. हे त्रिकोण समरूप आहेत का?
मध्यम
  1. 4△ADW च्या बाजू AD = 5 cm, DW = 7 cm, WA = 9 cm आणि △FYM च्या बाजू FY = 14 cm, YM = 21 cm, MF = 27 cm आहेत. हे त्रिकोण समरूप आहेत का?
  2. 5△SUG च्या बाजू SU = 8 cm, UG = 9 cm, GS = 10 cm आणि △XZB च्या बाजू XZ = 16 cm, ZB = 18 cm, BX = 20 cm आहेत. हे त्रिकोण समरूप आहेत का?
  3. 6△FAP मध्ये FA = 6 cm, AP = 8 cm, PF = 11 cm. △SWQ हा △FAP शी समरूप आहे (संगत क्रमाने) आणि SW = 24 cm, WQ = 32 cm. QS (cm मध्ये) शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7△TDQ मध्ये TD = 16 cm, DQ = 18 cm, QT = 20 cm. △EYP हा △TDQ शी समरूप आहे (संगत क्रमाने) आणि YP = 36 cm, PE = 40 cm. EY (cm मध्ये) शोधा.
  2. 8△YEF मध्ये YE = 16 cm, EF = 20 cm, FY = 24 cm. △GWZ हा △YEF शी समरूप आहे (संगत क्रमाने) आणि WZ = 15 cm, ZG = 18 cm. GW (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1होय
  2. 2होय
  3. 3होय
  4. 4नाही
  5. 5होय
  6. 644
  7. 732
  8. 812

संगत कोन, बाजू आणि परिमिती

रोजच्या जीवनातून

दोन त्रिकोण समरूप असल्याचे समजले की एकाचा एक तथ्य दुसऱ्याचे संगत तथ्य सांगतो.

सोपी व्याख्या

ΔABC ~ ΔPQR असेल तर संगत कोन समान, संगत बाजूंचे गुणोत्तर k समान आणि ABC ची परिमिती / PQR ची परिमिती = k सुद्धा.

equalanglessameratio kperimeterratio k

आकृतीत : AB = ६, PQ = ९, ABC ची परिमिती = २० : PQR ची परिमिती = २० × ९/६ = ३०.

नियम 1 : गुणोत्तरे आणि परिमिती — परिमितीचे गुणोत्तर बाजूंच्या गुणोत्तराइतके.

  • सोपे : AB = ६, PQ = ९, ABC परिमिती २० : PQR = ३०.
  • मध्यम : k = ३/५, पहिलीची परिमिती २४ : दुसरी ४०.
  • परीक्षेसाठी : परिमिती २० व ३०, बाजू ८ : संगत बाजू १२.

नियम 2 : जुळणारे कोन — समान कोनांच्या जोड्या अक्षरांच्या क्रमाने.

  • सोपे : ΔABC ~ ΔPQR, ∠B = ७०°, ∠C = ५०° : ∠P = ∠A = ६०°.
  • मध्यम : ∠A = ∠P = ८०°, ∠Q = ४५° : ∠C = ∠R = ५५°.
  • परीक्षेसाठी : ∠B समोरची बाजू (AC) ही ∠Q समोरच्या बाजूची (PR) संगत.
लक्षात ठेवा

समरूप म्हणजे सर्व समानता एकत्र : कोन, बाजू-गुणोत्तरे व परिमिती-गुणोत्तर.

सामान्य चूक

गुणोत्तर कोनांना लावणे; कोन समान असतात, मोठे होत नाहीत.

आठवणीची युक्ती

"कोन तसेच, लांबी प्रमाणात."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△NYR ~ △TSX. ∠T = 50° आणि ∠X = 95° असेल तर ∠Y (अंशांत) शोधा.
  2. 2△KRV ~ △XGN. ∠V = 75° आणि ∠K = 55° असेल तर ∠G (अंशांत) शोधा.
  3. 3△ELK ~ △ZHF. ∠E = 80° आणि ∠L = 40° असेल तर ∠F (अंशांत) शोधा.
मध्यम
  1. 4△MDY ~ △BPL आणि MD : BP = 3 : 4. △MDY ची परिमिती 24 cm असेल तर △BPL ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
  2. 5△BKF ~ △GHV. BK = 30 cm, KF = 20 cm, HV = 12 cm असेल तर GH (cm मध्ये) शोधा.
  3. 6△GHS ~ △UEX आणि GH : UE = 7 : 4. △GHS ची परिमिती 126 cm असेल तर △UEX ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7△DWY ~ △RNS. DW = (x + 5) cm, RN = (x + 8) cm, WY = 8 cm आणि NS = 11 cm असेल तर x शोधा.
  2. 8△CTX ~ △UKN. CT = (x + 4) cm, UK = (x + 6) cm, TX = 3 cm आणि KN = 4 cm असेल तर x शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 135
  2. 250
  3. 360
  4. 432
  5. 518
  6. 672
  7. 73
  8. 82

SAS, AA आणि समांतर रेषांचे उपयोग

रोजच्या जीवनातून

एका बाजूला समांतर रेषा एक लहान त्रिकोण कापते, जो पूर्ण त्रिकोणाची लहान प्रत असतो.

सोपी व्याख्या

DE ∥ BC असेल तर ∠A सामायिक आणि ∠ADE = ∠ABC, म्हणून ΔADE ~ ΔABC (AA) आणि AD/AB = AE/AC = DE/BC. SAS साठी एक समान कोन व त्याला लगतच्या बाजू समप्रमाण असतात.

सूत्र : AD/AB = AE/AC = DE/BC

ABCDE46ΔADE ~ ΔABC

आकृतीत : AD = ४, AB = १०, BC = १५ : DE = ४/१० × १५ = ६.

नियम 1 : समांतर रेषांवरून लांबी — पूर्ण बाजूंसह AD/AB = AE/AC = DE/BC वापरा.

  • सोपे : AD = ४, AB = १०, BC = १५ : DE = ६.
  • मध्यम : AD = ३, AB = ९, DE = ४ : BC = १२.
  • परीक्षेसाठी : AE = ६, AC = १५, BC = २० : DE = ८.

नियम 2 : SAS कसोटी — कोन दोन समप्रमाण बाजूंमध्ये असायला हवा.

  • सोपे : AB = ३, AC = ६, PQ = ६, PR = १२, ∠A = ∠P : गुणोत्तरे १/२, १/२ : समरूप.
  • मध्यम : AB = ४, AC = ६, PQ = ६, PR = ८ : २/३ ≠ ३/४ : समरूप नाहीत.
  • परीक्षेसाठी : ∠A ≠ ∠P असेल तर कसोटी अपयशी.
लक्षात ठेवा

प्रत्येक समांतर रेषेच्या त्रिकोणात A वरील सामायिक कोन फुकट मिळतो.

सामान्य चूक

DE/BC ऐवजी DE/DB किंवा AD/DB वापरणे; योग्य जोड्या पूर्ण बाजूंच्या.

आठवणीची युक्ती

"समांतर म्हणजे AA; पूर्ण बाजू AB, AC, BC वापरा."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△DFK आणि △RCP मध्ये DF = 3 cm, DK = 4 cm, RC = 6 cm, RP = 8 cm आणि ∠D = ∠R = 40° आहे. हे त्रिकोण समरूप आहेत का?
  2. 2△BPD आणि △RNV मध्ये BP = 9 cm, BD = 6 cm, RN = 18 cm, RV = 14 cm आणि ∠B = ∠R = 100° आहे. हे त्रिकोण समरूप आहेत का?
  3. 3△WFR आणि △MUK मध्ये WF = 10 cm, WR = 9 cm, MU = 40 cm, MK = 36 cm आणि ∠W = ∠M = 55° आहे. हे त्रिकोण समरूप आहेत का?
मध्यम
  1. 4△WNX मध्ये A हा WN वर, L हा WX वर आणि AL ∥ NX आहे. WA = 4 cm, WN = 18 cm, NX = 36 cm असेल तर AL (cm मध्ये) शोधा.
  2. 5△NDU मध्ये G हा ND वर, Z हा NU वर आणि GZ ∥ DU आहे. ND = 45 cm, GZ = 12 cm, DU = 54 cm असेल तर NG (cm मध्ये) शोधा.
  3. 6△RLS मध्ये A हा RL वर, G हा RS वर आणि AG ∥ LS आहे. RA = 4 cm, AG = 8 cm, LS = 20 cm असेल तर RL (cm मध्ये) शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7रेषा KL आणि YH एकमेकींना B मध्ये छेदतात (B हा K व L च्या आणि Y व H च्या मध्ये आहे) आणि KY ∥ LH. BK = 8 cm, KY = 20 cm, LH = 35 cm असेल तर BL (cm मध्ये) शोधा.
  2. 8रेषा FW आणि SY एकमेकींना V मध्ये छेदतात (V हा F व W च्या आणि S व Y च्या मध्ये आहे) आणि FS ∥ WY. VF = 35 cm, VW = 20 cm, WY = 8 cm असेल तर FS (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1होय
  2. 2नाही
  3. 3होय
  4. 48
  5. 510
  6. 610
  7. 714
  8. 814

सावल्या आणि उंची

रोजच्या जीवनातून

दिवसाच्या एकाच वेळी उंच झाड व लहान खांब सारख्या उताराच्या सावल्या टाकतात, म्हणून सावलीवरून उंची काढता येते.

सोपी व्याख्या

एकाच वेळी वस्तू, तिची सावली आणि सूर्यकिरण त्रिकोण बनवतात, आणि असे दोन त्रिकोण समरूप (AA) असतात. म्हणून दोघांसाठी उंची/सावली समान : h₁/s₁ = h₂/s₂.

सूत्र : h₁/s₁ = h₂/s₂

6 m4 m15 m10 msame sunsame angle

आकृतीत : खांब ६ m, सावली ४ m; झाडाची सावली १० m : झाडाची उंची = ६/४ × १० = १५ m.

नियम 1 : उंची काढा — उंची/सावली गुणोत्तरे समान; अज्ञात उंची सोडवा.

  • सोपे : खांब ६ m, सावली ४ m; झाडाची सावली १० m : १५ m.
  • मध्यम : माणूस १.५ m, सावली २ m; मनोऱ्याची सावली ४० m : ३० m.
  • परीक्षेसाठी : काठी २ m, सावली ३ m; इमारतीची सावली ३० m : २० m.

नियम 2 : सावली काढा — अज्ञात सावली गुणोत्तरात घाला.

  • सोपे : खांब ८ m, सावली ६ m; झाड १२ m : सावली ९ m.
  • मध्यम : माणूस १.८ m, सावली १.२ m; झाड ९ m : सावली ६ m.
  • परीक्षेसाठी : दोन्ही मापे दिवसाच्या एकाच वेळी घ्यायला हवीत.
लक्षात ठेवा

दिवसाची एकच वेळ हेच त्रिकोण समरूप करते.

सामान्य चूक

एका गुणोत्तरात उंची व सावली मिसळणे, उदा. h₁/s₂.

आठवणीची युक्ती

"उंची भागिले सावली, दोघांसाठी सारखी."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दिवसाच्या एकाच वेळी खांबाची उंची 6 मी आणि सावलीची लांबी 42 मी आहे. इमारतीची उंची 1 मी असेल तर तिच्या सावलीची लांबी (मी मध्ये) शोधा.
  2. 2दिवसाच्या एकाच वेळी काठीची उंची 45 मी आणि सावलीची लांबी 10 मी आहे. मनोऱ्याची सावली 16 मी आहे. मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
  3. 3दिवसाच्या एकाच वेळी काठीची उंची 15 मी आणि सावलीची लांबी 35 मी आहे. झाडाची उंची 9 मी असेल तर तिच्या सावलीची लांबी (मी मध्ये) शोधा.
मध्यम
  1. 4दिवसाच्या एकाच वेळी मनोऱ्याची उंची 2 मी आणि सावलीची लांबी 5 मी आहे. खांबाची उंची 10 मी असेल तर तिच्या सावलीची लांबी (मी मध्ये) शोधा.
  2. 5माणसाची उंची 160 cm आणि सावलीची लांबी 120 cm आहे. त्याच वेळी ध्वजस्तंभाची सावली 6 मी आहे. ध्वजस्तंभाची उंची (मी मध्ये) शोधा.
  3. 6माणसाची उंची 180 cm आणि सावलीची लांबी 150 cm आहे. त्याच वेळी मनोऱ्याची सावली 25 मी आहे. मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7मुलीची उंची 180 cm आणि सावलीची लांबी 100 cm आहे. त्याच वेळी मनोऱ्याची सावली 50 मी आहे. मनोऱ्याची उंची (मी मध्ये) शोधा.
  2. 8मुलाची उंची 120 cm आणि सावलीची लांबी 90 cm आहे. त्याच वेळी इमारतीची सावली 27 मी आहे. इमारतीची उंची (मी मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 17
  2. 272
  3. 321
  4. 425
  5. 58
  6. 630
  7. 790
  8. 836