K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 10 · गणित

त्रिकोण 6.3 : त्रिकोणांची समरूपता (मूलभूत प्रमाणता प्रमेय)

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

मूलभूत प्रमाणता प्रमेय वापरणे

रोजच्या जीवनातून

त्रिकोणी छप्परात जमिनीला समांतर फळी दोन्ही तिरकस बाजू समान प्रमाणात कापते.

सोपी व्याख्या

मूलभूत प्रमाणता प्रमेय (थेल्स) : त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर रेषा काढली तर ती इतर दोन बाजूंना समान गुणोत्तरात विभागते. ΔABC मध्ये DE ∥ BC असेल तर AD/DB = AE/EC.

सूत्र : AD/DB = AE/EC

ABCDE462x

आकृतीत : DE ∥ BC : ४/६ = २/x, म्हणून x = ३.

Live आकृती

मूलभूत प्रमाणता प्रमेय वापरणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : न माहीत भाग काढा — दोन्ही बाजूंवर वरचा भाग / खालचा भाग घ्या.

  • सोपे : AD = ४, DB = ६, AE = २ : EC = ३.
  • मध्यम : AD = ३, DB = ५, AE = ६ : EC = १०.
  • परीक्षेसाठी : AD = २, DB = ३, EC = ६ : AE = ४.

नियम 2 : इतर त्रिकोण — नावे बदलतात, नियम नाही : समांतर रेषा, समान गुणोत्तर.

  • सोपे : ΔPQR, ST ∥ QR : PS = ३, SQ = २, PT = ६ वरून TR = ४.
  • मध्यम : ΔXYZ, MN ∥ YZ : XM = ५, MY = १०, XN = ४ वरून NZ = ८.
  • परीक्षेसाठी : ΔABC, DE ∥ BC : AD = २, AB = ८, AE = ३ वरून EC = ९.
लक्षात ठेवा

नेहमी एका बाजूचे भाग दुसऱ्या बाजूच्या भागांशी तुलना करा.

सामान्य चूक

AD/DB ची तुलना EC/AE शी करणे, जे उलटे आहे.

आठवणीची युक्ती

"समांतर रेषा दोन्ही बाजू समान गुणोत्तरात कापते."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△MLC मध्ये WT ∥ LC, W हा ML वर आणि T हा MC वर आहे. WL = 6 cm, MT = 8 cm, TC = 4 cm असेल तर MW (cm मध्ये) शोधा.
  2. 2△EZT मध्ये PB ∥ ZT, P हा EZ वर आणि B हा ET वर आहे. EP = 5 cm, PZ = 10 cm, BT = 10 cm असेल तर EB (cm मध्ये) शोधा.
  3. 3△AHF मध्ये TD ∥ HF, T हा AH वर आणि D हा AF वर आहे. AT = 8 cm, TH = 6 cm, DF = 9 cm असेल तर AD (cm मध्ये) शोधा.
मध्यम
  1. 4△PQX मध्ये TF ∥ QX, T हा PQ वर आणि F हा PX वर आहे. PT = 3 cm, TQ = 5 cm, PF = 15 cm असेल तर FX (cm मध्ये) शोधा.
  2. 5△CWT मध्ये PG ∥ WT, P हा CW वर आणि G हा CT वर आहे. CP = 18 cm, PW = 15 cm, GT = 15 cm असेल तर CG (cm मध्ये) शोधा.
  3. 6△ZCD मध्ये YG ∥ CD. ZG = 3 cm, GD = 4 cm, ZY = 6 cm असेल तर पूर्ण लांबी ZC (cm मध्ये) शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7△SZQ मध्ये PA ∥ ZQ. SA = 6 cm, AQ = 7 cm, SP = 24 cm असेल तर पूर्ण लांबी SZ (cm मध्ये) शोधा.
  2. 8△KDE मध्ये TB ∥ DE. KT = 15 cm, TD = 30 cm, KB = 3 cm असेल तर पूर्ण लांबी KE (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 112
  2. 25
  3. 312
  4. 425
  5. 518
  6. 614
  7. 752
  8. 89

विधान उलट : रेषा समांतर आहे का?

रोजच्या जीवनातून

फळी सरळ आहे का पाहायला दोन्ही बाजूंचे भाग मोजा; गुणोत्तरे समान असतील तर ती समांतर.

सोपी व्याख्या

उलट विधान : रेषा त्रिकोणाच्या दोन बाजूंना समान गुणोत्तरात विभागत असेल तर ती तिसऱ्या बाजूला समांतर. AD/DB = AE/EC असेल तर DE ∥ BC.

सूत्र : AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC

ABCDE3624DE ∥ BC ?

आकृतीत : ३/६ = २/४ = १/२, म्हणून DE ∥ BC.

नियम 1 : गुणोत्तरे तुलना करा — दोन्ही गुणोत्तरे सोपी करून जुळतात का पाहा.

  • सोपे : AD = ३, DB = ६, AE = २, EC = ४ : १/२ = १/२, समांतर.
  • मध्यम : AD = २, DB = ३, AE = ३, EC = ५ : २/३ ≠ ३/५, समांतर नाही.
  • परीक्षेसाठी : AD = ६, DB = ९, AE = ४, EC = ६ : २/३ = २/३, समांतर.

नियम 2 : पूर्ण बाजू वापरून — AD/AB = AE/AC सुद्धा तोच निष्कर्ष देते.

  • सोपे : AD = २, AB = ६, AE = ३, AC = ९ : १/३ = १/३, समांतर.
  • मध्यम : AD = ३, AB = ८, AE = २, AC = ६ : ३/८ ≠ १/३, समांतर नाही.
  • परीक्षेसाठी : असमान गुणोत्तरे म्हणजे रेषा समांतर नाही.
लक्षात ठेवा

उलट विधानासाठी दोन्ही बाजूंवर गुणोत्तरे समान हवीत.

सामान्य चूक

फक्त एकच गुणोत्तर तपासून "समांतर" म्हणणे.

आठवणीची युक्ती

"दोन्ही बाजूंवर समान गुणोत्तरे : रेषा समांतर."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△UQK मध्ये F हा UQ वर आणि X हा UK वर आहे. UF = 20 cm, FQ = 15 cm, UX = 4 cm आणि XK = 5 cm. FX ∥ QK आहे का?
  2. 2△QHN मध्ये W हा QH वर आणि C हा QN वर आहे. QW = 12 cm, WH = 2 cm, QC = 36 cm आणि CN = 9 cm. WC ∥ HN आहे का?
  3. 3△YNC मध्ये D हा YN वर आणि L हा YC वर आहे. YD = 6 cm, DN = 36 cm, YL = 3 cm आणि LC = 18 cm. DL ∥ NC आहे का?
मध्यम
  1. 4△AHD मध्ये W हा AH वर आणि G हा AD वर आहे. AW = 6 cm, WH = 2 cm, AG = 6 cm आणि GD = 4 cm. WG ∥ HD आहे का?
  2. 5△VUP मध्ये D हा VU वर आणि T हा VP वर आहे; VU = 32 cm, VD = 20 cm, VP = 32 cm आणि VT = 20 cm. DT ∥ UP आहे का?
  3. 6△HEX मध्ये Z हा HE वर आणि G हा HX वर आहे; HE = 28 cm, HZ = 8 cm, HX = 35 cm आणि HG = 10 cm. ZG ∥ EX आहे का?
आव्हानात्मक
  1. 7△BVZ मध्ये R हा BV वर आणि H हा BZ वर आहे; BV = 30 cm, BR = 25 cm, BZ = 19 cm आणि BH = 16 cm. RH ∥ VZ आहे का?
  2. 8△VAF मध्ये M हा VA वर आणि B हा VF वर आहे; VA = 10 cm, VM = 2 cm, VF = 30 cm आणि VB = 6 cm. MB ∥ AF आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1नाही
  2. 2नाही
  3. 3होय
  4. 4नाही
  5. 5होय
  6. 6होय
  7. 7नाही
  8. 8होय

गुणोत्तरांची समतुल्य रूपे

रोजच्या जीवनातून

१० m चा खांब ४ m व ६ m मध्ये कापला तर भाग/पूर्ण गुणोत्तरे ४/१० व ६/१० तीच गोष्ट सांगतात जी ४/६ सांगते.

सोपी व्याख्या

AD/DB = AE/EC वरून AD/AB = AE/AC, DB/AB = EC/AC आणि उलटी रूपे जसे AB/AD = AC/AE लिहिता येतात. सर्व तेच सांगतात.

सूत्र : AD/AB = AE/AC

AD/DB = AE/EC+ 1 both sidesAB/DB = AC/EC

आकृतीत : दोन्ही बाजूंना १ मिळवा : (AD + DB)/DB = (AE + EC)/EC, म्हणजे AB/DB = AC/EC.

नियम 1 : भाग ते पूर्ण — AB = AD + DB आणि AC = AE + EC वापरा.

  • सोपे : AD = २, DB = ४, AE = ३ : AD/AB = २/६, म्हणून AC = ९, EC = ६.
  • मध्यम : AD = ३, DB = ३, AE = ४ : AD/AB = १/२, म्हणून AC = ८.
  • परीक्षेसाठी : DB = ४, AB = १०, EC = ६ : DB/AB = EC/AC वरून AC = १५.

नियम 2 : उलटी रूपे — दोन्ही गुणोत्तरे उलटली तरी समीकरण खरे राहते.

  • सोपे : AB = १२, AD = ४, AC = १५ : AB/AD = AC/AE वरून AE = ५.
  • मध्यम : AB = १५, DB = ५, AC = १२ : AB/DB = AC/EC वरून EC = ४.
  • परीक्षेसाठी : सर्व रूपे एकाच समीकरणाची वेगळी मांडणी.
लक्षात ठेवा

ज्यात दोन ज्ञात लांबी एका बाजूला येतात ते रूप वापरा.

सामान्य चूक

एकाच समीकरणात भाग/भाग आणि भाग/पूर्ण गुणोत्तरे मिसळणे.

आठवणीची युक्ती

"डावीकडे आणि उजवीकडे एकाच प्रकारचे."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△UGQ मध्ये SR ∥ GQ आणि US : SG = 8 : 6. RQ : UQ शोधा.
  2. 2△CHD मध्ये SV ∥ HD आणि CS : SH = 1 : 2. CH : CS शोधा.
  3. 3△ZBS मध्ये MF ∥ BS आणि ZM : MB = 4 : 8. ZF : ZS शोधा.
मध्यम
  1. 4△ZHD मध्ये TV ∥ HD आणि ZT : TH = 2 : 7. ZH : TH शोधा.
  2. 5△TWY मध्ये NL ∥ WY आणि TN : NW = 4 : 1. LY : TY शोधा.
  3. 6△YGD मध्ये UQ ∥ GD आणि YU : UG = 8 : 2. YQ : YD शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7△LKN मध्ये VT ∥ KN आणि LV : VK = 4 : 8. LK : VK शोधा.
  2. 8△FNQ मध्ये AB ∥ NQ आणि FA : AN = 5 : 2. BQ : FQ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13 : 7
  2. 23 : 1
  3. 31 : 3
  4. 49 : 7
  5. 51 : 5
  6. 64 : 5
  7. 73 : 2
  8. 82 : 7

प्रमेय वापरून बीजगणिती उदाहरणे

रोजच्या जीवनातून

लांबी x मधील राशी म्हणून दिल्या तर प्रमेय आकृतीचे सोडवायचे समीकरण बनवते.

सोपी व्याख्या

लांबी AD/DB = AE/EC मध्ये घाला, आडवे गुणा, सोपे करा (x² बहुधा जातो), सोडवा आणि प्रत्येक लांबी धन आहे का तपासा.

ratioequationcrossmultiplysolve xchecklengths > 0

आकृतीत : x/(x − २) = (x + २)/(x − १) वरून x² − x = x² − ४, म्हणून x = ४.

नियम 1 : समीकरण करून सोडवा — दोन्ही बाजू सोडवून x ची पदे एकत्र करा.

  • सोपे : AD = x, DB = x − २, AE = x + २, EC = x − १ : x = ४.
  • मध्यम : AD = x, DB = ६, AE = x + २, EC = ९ : ९x = ६x + १२, x = ४.
  • परीक्षेसाठी : AD = २x − १, DB = ३, AE = x, EC = २ : ४x − २ = ३x, x = २.

नियम 2 : उत्तर तपासा — x परत घालून दोन्ही गुणोत्तरे जुळतात व कोणतीही लांबी ऋण नाही हे पाहा.

  • सोपे : x = ४ : लांबी ४, २, ६, ३ : ४/२ = ६/३ = २.
  • मध्यम : x = २ : लांबी ३, ३, २, २ : ३/३ = २/२ = १.
  • परीक्षेसाठी : ज्या मुळामुळे लांबी शून्य किंवा ऋण येते ते मूळ वगळा.
लक्षात ठेवा

लांबी धन असते, म्हणून ऋण लांबी देणारे उत्तर वगळा.

सामान्य चूक

(x − २)(x + २) चुकीचे सोडवणे; ते x² − ४ येते.

आठवणीची युक्ती

"आडवे गुणा, x वर्ग घालवा, सोडवा, तपासा."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△WXQ मध्ये EM ∥ XQ, WE = 6 cm, WM = 3 cm आणि MQ = 9 cm. EX (cm मध्ये) शोधा.
  2. 2△BMP मध्ये NH ∥ MP, BN = 4 cm, BH = 8 cm आणि HP = 6 cm. NM (cm मध्ये) शोधा.
  3. 3△ZGD मध्ये XA ∥ GD, ZX = 20 cm, ZA = 20 cm आणि AD = 30 cm. XG (cm मध्ये) शोधा.
मध्यम
  1. 4△ZVE मध्ये YS ∥ VE; ZY = x + 8, YV = x − 1, ZS = x आणि SE = x − 3 (सर्व cm मध्ये). x शोधा.
  2. 5△TSK मध्ये RP ∥ SK; TR = x + 12, RS = x + 8, TP = x + 4 आणि PK = x + 2 (सर्व cm मध्ये). x शोधा.
  3. 6△RWY मध्ये US ∥ WY; RU = x + 1, UW = x + 10, RS = x आणि SY = x + 8 (सर्व cm मध्ये). x शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7△PVC मध्ये TU ∥ VC; PT = x + 5, TV = x + 7, PU = x आणि UC = x + 1 (सर्व cm मध्ये). x शोधा.
  2. 8△FND मध्ये KC ∥ ND; FK = x, KN = x − 2, FC = x + 11 आणि CD = x + 7 (सर्व cm मध्ये). x शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 118
  2. 23
  3. 330
  4. 44
  5. 54
  6. 68
  7. 75
  8. 811

मध्यबिंदू, समलंब चौकोन व इतर उपयोग

रोजच्या जीवनातून

त्रिकोणी छपराच्या अर्ध्या उंचीवरील फळी पायाशी अगदी समांतर असते, आणि हीच कल्पना समलंब चौकोनात चालते.

सोपी व्याख्या

D व E हे AB व AC चे मध्यबिंदू असतील तर AD/DB = AE/EC = १, म्हणून DE ∥ BC. AB ∥ DC असलेल्या समलंब चौकोन ABCD मध्ये AB ला समांतर रेषा पायांना समान गुणोत्तरात कापते आणि कर्ण AO/OC = BO/OD पाळतात.

सूत्र : AO/OC = BO/OD

ABCDEmid-points: DE ∥ BC

आकृतीत : समान खुणा दाखवतात की D व E मध्यबिंदू आहेत, म्हणून DE ∥ BC.

नियम 1 : मध्यबिंदू — दोन बाजूंवर समान भाग म्हणजे जोडणारी रेषा तिसऱ्या बाजूला समांतर.

  • सोपे : AB = १२, D मध्यबिंदू : AD = ६, DB = ६.
  • मध्यम : AD = DB आणि AE = EC : DE ∥ BC.
  • परीक्षेसाठी : BC = १४ : मध्यबिंदू रेषा DE = ७.

नियम 2 : समलंब चौकोन व कर्ण — समांतर रेषा ही त्रिकोण प्रमेयातील रेषा समजा.

  • सोपे : AB ∥ DC, EF ∥ AB : AE = ३, ED = ६, BF = ४ वरून FC = ८.
  • मध्यम : कर्ण O मध्ये छेदतात : AO = ६, OC = ३, BO = ४ वरून OD = २.
  • परीक्षेसाठी : AO = १०, OC = ५, OD = ३ वरून BO = ६.
लक्षात ठेवा

प्रत्येक समलंब चौकोन उदाहरणात आधी दोन समांतर बाजू ओळखा.

सामान्य चूक

रेषा कोणत्याही बाजूला समांतर नसताना प्रमेय वापरणे.

आठवणीची युक्ती

"आधी समांतर बाजू, मग गुणोत्तरे."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△LMV मध्ये E हा LM चा मध्यबिंदू आहे आणि EU ∥ MV, U हा LV वर आहे. LV = 24 cm असेल तर LU (cm मध्ये) शोधा.
  2. 2△KGS मध्ये F हा KG चा मध्यबिंदू आहे आणि FU ∥ GS, U हा KS वर आहे. KS = 52 cm असेल तर KU (cm मध्ये) शोधा.
  3. 3△BHK मध्ये L हा BH चा मध्यबिंदू आहे आणि LN ∥ HK, N हा BK वर आहे. BK = 12 cm असेल तर BN (cm मध्ये) शोधा.
मध्यम
  1. 4△EUZ मध्ये HW ∥ UZ, EH = 11 cm आणि HU = 2 cm. W हा EZ ला कोणत्या गुणोत्तरात विभागतो (EW : WZ)?
  2. 5△HDV मध्ये FG ∥ DV, HF = 6 cm आणि FD = 12 cm. G हा HV ला कोणत्या गुणोत्तरात विभागतो (HG : GV)?
  3. 6समलंब चौकोन MZAU मध्ये MZ ∥ UA आणि कर्ण F मध्ये छेदतात. FM = 12 cm, FA = 10 cm, FU = 25 cm असेल तर FZ (cm मध्ये) शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7समलंब चौकोन NFUQ मध्ये NF ∥ QU आणि कर्ण G मध्ये छेदतात. GU = 24 cm, GF = 18 cm, GQ = 36 cm असेल तर GN (cm मध्ये) शोधा.
  2. 8समलंब चौकोन SPZU मध्ये SP ∥ UZ आणि कर्ण E मध्ये छेदतात. ES = 16 cm, EP = 16 cm, EU = 8 cm असेल तर EZ (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 112
  2. 226
  3. 36
  4. 411 : 2
  5. 51 : 2
  6. 630
  7. 712
  8. 88