आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग
त्रिकोणाकार छत में फर्श के समांतर पट्टी दोनों तिरछी भुजाओं को समान अनुपात में काटती है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स) : त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा खींचें तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो AD/DB = AE/EC।
सूत्र : AD/DB = AE/EC
आकृति में : DE ∥ BC : 4/6 = 2/x, अतः x = 3।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : अज्ञात भाग निकालें — दोनों भुजाओं पर ऊपरी भाग / निचला भाग लें।
- आसान : AD = 4, DB = 6, AE = 2 : EC = 3।
- मध्यम : AD = 3, DB = 5, AE = 6 : EC = 10।
- परीक्षा-प्रकार : AD = 2, DB = 3, EC = 6 : AE = 4।
नियम 2 : अन्य त्रिभुज — नाम बदलते हैं, नियम नहीं : समांतर रेखा, समान अनुपात।
- आसान : ΔPQR, ST ∥ QR : PS = 3, SQ = 2, PT = 6 से TR = 4।
- मध्यम : ΔXYZ, MN ∥ YZ : XM = 5, MY = 10, XN = 4 से NZ = 8।
- परीक्षा-प्रकार : ΔABC, DE ∥ BC : AD = 2, AB = 8, AE = 3 से EC = 9।
हमेशा एक भुजा के भागों की दूसरी भुजा के भागों से तुलना करें।
AD/DB की तुलना EC/AE से करना, जो उल्टा है।
"समांतर रेखा दोनों भुजाओं को समान अनुपात में काटती है।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△MLC में WT ∥ LC, W भुजा ML पर और T भुजा MC पर है। यदि WL = 6 cm, MT = 8 cm, TC = 4 cm हो तो MW (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2△EZT में PB ∥ ZT, P भुजा EZ पर और B भुजा ET पर है। यदि EP = 5 cm, PZ = 10 cm, BT = 10 cm हो तो EB (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3△AHF में TD ∥ HF, T भुजा AH पर और D भुजा AF पर है। यदि AT = 8 cm, TH = 6 cm, DF = 9 cm हो तो AD (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4△PQX में TF ∥ QX, T भुजा PQ पर और F भुजा PX पर है। यदि PT = 3 cm, TQ = 5 cm, PF = 15 cm हो तो FX (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 5△CWT में PG ∥ WT, P भुजा CW पर और G भुजा CT पर है। यदि CP = 18 cm, PW = 15 cm, GT = 15 cm हो तो CG (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 6△ZCD में YG ∥ CD। यदि ZG = 3 cm, GD = 4 cm, ZY = 6 cm हो तो पूरी लंबाई ZC (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7△SZQ में PA ∥ ZQ। यदि SA = 6 cm, AQ = 7 cm, SP = 24 cm हो तो पूरी लंबाई SZ (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8△KDE में TB ∥ DE। यदि KT = 15 cm, TD = 30 cm, KB = 3 cm हो तो पूरी लंबाई KE (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 25
- 312
- 425
- 518
- 614
- 752
- 89
विलोम : क्या रेखा समांतर है?
पट्टी सीधी है या नहीं जाँचने के लिए दोनों ओर के भाग नापें; अनुपात समान हों तो वह समांतर।
विलोम कथन : रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटे तो वह तीसरी भुजा के समांतर है। AD/DB = AE/EC हो तो DE ∥ BC।
सूत्र : AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC
आकृति में : 3/6 = 2/4 = 1/2, अतः DE ∥ BC।
नियम 1 : अनुपातों की तुलना करें — दोनों अनुपात सरल करके देखें कि मेल खाते हैं या नहीं।
- आसान : AD = 3, DB = 6, AE = 2, EC = 4 : 1/2 = 1/2, समांतर।
- मध्यम : AD = 2, DB = 3, AE = 3, EC = 5 : 2/3 ≠ 3/5, समांतर नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : AD = 6, DB = 9, AE = 4, EC = 6 : 2/3 = 2/3, समांतर।
नियम 2 : पूरी भुजा से — AD/AB = AE/AC भी वही निष्कर्ष देता है।
- आसान : AD = 2, AB = 6, AE = 3, AC = 9 : 1/3 = 1/3, समांतर।
- मध्यम : AD = 3, AB = 8, AE = 2, AC = 6 : 3/8 ≠ 1/3, समांतर नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : असमान अनुपात का अर्थ रेखा समांतर नहीं।
विलोम के लिए दोनों भुजाओं पर अनुपात समान चाहिए।
केवल एक अनुपात जाँचकर "समांतर" कह देना।
"दोनों ओर समान अनुपात : रेखा समांतर।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△UQK में F भुजा UQ पर और X भुजा UK पर है। UF = 20 cm, FQ = 15 cm, UX = 4 cm और XK = 5 cm। क्या FX ∥ QK है?
- 2△QHN में W भुजा QH पर और C भुजा QN पर है। QW = 12 cm, WH = 2 cm, QC = 36 cm और CN = 9 cm। क्या WC ∥ HN है?
- 3△YNC में D भुजा YN पर और L भुजा YC पर है। YD = 6 cm, DN = 36 cm, YL = 3 cm और LC = 18 cm। क्या DL ∥ NC है?
- 4△AHD में W भुजा AH पर और G भुजा AD पर है। AW = 6 cm, WH = 2 cm, AG = 6 cm और GD = 4 cm। क्या WG ∥ HD है?
- 5△VUP में D भुजा VU पर और T भुजा VP पर है; VU = 32 cm, VD = 20 cm, VP = 32 cm और VT = 20 cm। क्या DT ∥ UP है?
- 6△HEX में Z भुजा HE पर और G भुजा HX पर है; HE = 28 cm, HZ = 8 cm, HX = 35 cm और HG = 10 cm। क्या ZG ∥ EX है?
- 7△BVZ में R भुजा BV पर और H भुजा BZ पर है; BV = 30 cm, BR = 25 cm, BZ = 19 cm और BH = 16 cm। क्या RH ∥ VZ है?
- 8△VAF में M भुजा VA पर और B भुजा VF पर है; VA = 10 cm, VM = 2 cm, VF = 30 cm और VB = 6 cm। क्या MB ∥ AF है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1नहीं
- 2नहीं
- 3हाँ
- 4नहीं
- 5हाँ
- 6हाँ
- 7नहीं
- 8हाँ
अनुपातों के समतुल्य रूप
10 m का खंभा 4 m और 6 m में काटें तो भाग/पूर्ण अनुपात 4/10 और 6/10 वही बताते हैं जो 4/6 बताता है।
AD/DB = AE/EC से AD/AB = AE/AC, DB/AB = EC/AC और उल्टे रूप जैसे AB/AD = AC/AE लिखे जा सकते हैं। सब वही कहते हैं।
सूत्र : AD/AB = AE/AC
आकृति में : दोनों ओर 1 जोड़ें : (AD + DB)/DB = (AE + EC)/EC, यानी AB/DB = AC/EC।
नियम 1 : भाग से पूर्ण — AB = AD + DB और AC = AE + EC लें।
- आसान : AD = 2, DB = 4, AE = 3 : AD/AB = 2/6, अतः AC = 9, EC = 6।
- मध्यम : AD = 3, DB = 3, AE = 4 : AD/AB = 1/2, अतः AC = 8।
- परीक्षा-प्रकार : DB = 4, AB = 10, EC = 6 : DB/AB = EC/AC से AC = 15।
नियम 2 : उल्टे रूप — दोनों अनुपात उल्टे करने पर भी समीकरण सही रहता है।
- आसान : AB = 12, AD = 4, AC = 15 : AB/AD = AC/AE से AE = 5।
- मध्यम : AB = 15, DB = 5, AC = 12 : AB/DB = AC/EC से EC = 4।
- परीक्षा-प्रकार : सभी रूप एक ही समीकरण की अलग लिखावट हैं।
जिस रूप में दो ज्ञात लंबाइयाँ एक ओर आएँ वही चुनें।
एक ही समीकरण में भाग/भाग और भाग/पूर्ण अनुपात मिला देना।
"बाएँ और दाएँ एक ही प्रकार के।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△UGQ में SR ∥ GQ और US : SG = 8 : 6। RQ : UQ ज्ञात कीजिए।
- 2△CHD में SV ∥ HD और CS : SH = 1 : 2। CH : CS ज्ञात कीजिए।
- 3△ZBS में MF ∥ BS और ZM : MB = 4 : 8। ZF : ZS ज्ञात कीजिए।
- 4△ZHD में TV ∥ HD और ZT : TH = 2 : 7। ZH : TH ज्ञात कीजिए।
- 5△TWY में NL ∥ WY और TN : NW = 4 : 1। LY : TY ज्ञात कीजिए।
- 6△YGD में UQ ∥ GD और YU : UG = 8 : 2। YQ : YD ज्ञात कीजिए।
- 7△LKN में VT ∥ KN और LV : VK = 4 : 8। LK : VK ज्ञात कीजिए।
- 8△FNQ में AB ∥ NQ और FA : AN = 5 : 2। BQ : FQ ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13 : 7
- 23 : 1
- 31 : 3
- 49 : 7
- 51 : 5
- 64 : 5
- 73 : 2
- 82 : 7
प्रमेय से बीजगणितीय प्रश्न
लंबाइयाँ x के व्यंजक के रूप में दी हों तो प्रमेय चित्र को हल करने योग्य समीकरण में बदलता है।
लंबाइयाँ AD/DB = AE/EC में रखें, तिरछा गुणा करें, सरल करें (x² प्रायः कट जाता है), हल करें और जाँचें कि हर लंबाई धन है।
आकृति में : x/(x − 2) = (x + 2)/(x − 1) से x² − x = x² − 4, अतः x = 4।
नियम 1 : समीकरण बनाकर हल करें — दोनों ओर फैलाएँ और x के पद एकत्र करें।
- आसान : AD = x, DB = x − 2, AE = x + 2, EC = x − 1 : x = 4।
- मध्यम : AD = x, DB = 6, AE = x + 2, EC = 9 : 9x = 6x + 12, x = 4।
- परीक्षा-प्रकार : AD = 2x − 1, DB = 3, AE = x, EC = 2 : 4x − 2 = 3x, x = 2।
नियम 2 : उत्तर जाँचें — x वापस रखकर देखें कि दोनों अनुपात मेल खाते हैं और कोई लंबाई ऋण नहीं।
- आसान : x = 4 : लंबाइयाँ 4, 2, 6, 3 : 4/2 = 6/3 = 2।
- मध्यम : x = 2 : लंबाइयाँ 3, 3, 2, 2 : 3/3 = 2/2 = 1।
- परीक्षा-प्रकार : जिस मूल से लंबाई शून्य या ऋण आए उसे छोड़ दें।
लंबाई धन होती है, इसलिए ऋण लंबाई देने वाला उत्तर छोड़ दें।
(x − 2)(x + 2) गलत फैलाना; यह x² − 4 होता है।
"तिरछा गुणा, x वर्ग हटाएँ, हल करें, जाँचें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△WXQ में EM ∥ XQ, WE = 6 cm, WM = 3 cm और MQ = 9 cm। EX (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2△BMP में NH ∥ MP, BN = 4 cm, BH = 8 cm और HP = 6 cm। NM (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3△ZGD में XA ∥ GD, ZX = 20 cm, ZA = 20 cm और AD = 30 cm। XG (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4△ZVE में YS ∥ VE; ZY = x + 8, YV = x − 1, ZS = x और SE = x − 3 (सभी cm में)। x ज्ञात कीजिए।
- 5△TSK में RP ∥ SK; TR = x + 12, RS = x + 8, TP = x + 4 और PK = x + 2 (सभी cm में)। x ज्ञात कीजिए।
- 6△RWY में US ∥ WY; RU = x + 1, UW = x + 10, RS = x और SY = x + 8 (सभी cm में)। x ज्ञात कीजिए।
- 7△PVC में TU ∥ VC; PT = x + 5, TV = x + 7, PU = x और UC = x + 1 (सभी cm में)। x ज्ञात कीजिए।
- 8△FND में KC ∥ ND; FK = x, KN = x − 2, FC = x + 11 और CD = x + 7 (सभी cm में)। x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 118
- 23
- 330
- 44
- 54
- 68
- 75
- 811
मध्य-बिंदु, समलंब चतुर्भुज व अन्य उपयोग
त्रिकोणाकार छत की आधी ऊँचाई पर लगी पट्टी आधार के ठीक समांतर होती है, यही विचार समलंब चतुर्भुज में चलता है।
D और E, AB और AC के मध्य-बिंदु हों तो AD/DB = AE/EC = 1, अतः DE ∥ BC। AB ∥ DC वाले समलंब चतुर्भुज ABCD में AB के समांतर रेखा पैरों को समान अनुपात में काटती है और विकर्ण AO/OC = BO/OD पूरा करते हैं।
सूत्र : AO/OC = BO/OD
आकृति में : समान चिह्न दिखाते हैं कि D और E मध्य-बिंदु हैं, अतः DE ∥ BC।
नियम 1 : मध्य-बिंदु — दो भुजाओं पर समान भाग का अर्थ जोड़ने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर।
- आसान : AB = 12, D मध्य-बिंदु : AD = 6, DB = 6।
- मध्यम : AD = DB और AE = EC : DE ∥ BC।
- परीक्षा-प्रकार : BC = 14 : मध्य-बिंदु रेखा DE = 7।
नियम 2 : समलंब चतुर्भुज और विकर्ण — समांतर रेखा को त्रिभुज प्रमेय की रेखा मानें।
- आसान : AB ∥ DC, EF ∥ AB : AE = 3, ED = 6, BF = 4 से FC = 8।
- मध्यम : विकर्ण O पर मिलते हैं : AO = 6, OC = 3, BO = 4 से OD = 2।
- परीक्षा-प्रकार : AO = 10, OC = 5, OD = 3 से BO = 6।
हर समलंब प्रश्न में पहले दो समांतर भुजाएँ पहचानें।
रेखा किसी भुजा के समांतर न हो तब प्रमेय लगाना।
"पहले समांतर भुजाएँ, फिर अनुपात।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△LMV में E, LM का मध्य-बिंदु है और EU ∥ MV, U भुजा LV पर है। यदि LV = 24 cm हो तो LU (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2△KGS में F, KG का मध्य-बिंदु है और FU ∥ GS, U भुजा KS पर है। यदि KS = 52 cm हो तो KU (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3△BHK में L, BH का मध्य-बिंदु है और LN ∥ HK, N भुजा BK पर है। यदि BK = 12 cm हो तो BN (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4△EUZ में HW ∥ UZ, EH = 11 cm और HU = 2 cm। W भुजा EZ को किस अनुपात में बाँटता है (EW : WZ)?
- 5△HDV में FG ∥ DV, HF = 6 cm और FD = 12 cm। G भुजा HV को किस अनुपात में बाँटता है (HG : GV)?
- 6समलंब चतुर्भुज MZAU में MZ ∥ UA और विकर्ण F पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि FM = 12 cm, FA = 10 cm, FU = 25 cm हो तो FZ (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7समलंब चतुर्भुज NFUQ में NF ∥ QU और विकर्ण G पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि GU = 24 cm, GF = 18 cm, GQ = 36 cm हो तो GN (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8समलंब चतुर्भुज SPZU में SP ∥ UZ और विकर्ण E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ES = 16 cm, EP = 16 cm, EU = 8 cm हो तो EZ (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 226
- 36
- 411 : 2
- 51 : 2
- 630
- 712
- 88