समरूप और सर्वांगसम आकृतियाँ
फोटो और उसकी बड़ी प्रति एक जैसी दिखती हैं पर माप अलग होते हैं। उसी माप की फोटोकॉपी हू-बहू होती है।
समरूप आकृतियों का आकार समान होता है, माप हमेशा समान नहीं : संगत कोण समान और संगत भुजाएँ अनुपाती। माप भी समान हो तो आकृतियाँ सर्वांगसम (k = 1 वाला समरूपता का विशेष रूप)।
आकृति में : आकार समान, माप भिन्न : बड़ा त्रिभुज छोटे का दुगुना है।
नियम 1 : समरूप हैं या नहीं? — आकार देखें : कोण समान और भुजाएँ समान अनुपात में।
- आसान : सभी वृत्त समरूप; सभी वर्ग समरूप।
- मध्यम : आयत 2 × 3 और 4 × 6 : 2/4 = 3/6, अतः समरूप।
- परीक्षा-प्रकार : आयत 2 × 3 और 4 × 5 : 2/4 ≠ 3/5, अतः समरूप नहीं।
नियम 2 : सर्वांगसमता विशेष रूप — सर्वांगसम आकृतियाँ अनुपात 1 वाली समरूप आकृतियाँ हैं।
- आसान : दो एक जैसे सिक्के : समरूप व सर्वांगसम।
- मध्यम : 6 cm और 9 cm के वर्ग : समरूप, सर्वांगसम नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : हर सर्वांगसम जोड़ी समरूप, पर हर समरूप जोड़ी सर्वांगसम नहीं।
समरूप = समान आकार; सर्वांगसम = आकार और माप दोनों समान।
सभी कोण 90° होने से आयतों को समरूप मानना; भुजाएँ भी अनुपाती चाहिए।
"समरूप : आकार समान। सर्वांगसम : आकार और माप समान।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दो आयतों की भुजाएँ 10 cm × 5 cm और 20 cm × 10 cm हैं। क्या वे समरूप हैं?
- 2दो आयतों की भुजाएँ 12 cm × 8 cm और 24 cm × 16 cm हैं। क्या वे समरूप हैं?
- 3यदि △BAE ~ △PQR हो तो ∠E के बराबर कौन-सा कोण है?
- 4दो आयतों की भुजाएँ 3 cm × 2 cm और 3 cm × 2 cm हैं। क्या वे समरूप हैं?
- 5यदि △WTB ~ △ZKA हो तो ∠W के बराबर कौन-सा कोण है?
- 6दो आयतों की भुजाएँ 3 cm × 2 cm और 9 cm × 8 cm हैं। क्या वे समरूप हैं?
- 7यदि △PAK ~ △WLU हो तो PA/WL = AK/LU = ?
- 8यदि △NSU ~ △EZM हो तो NS/EZ = SU/ZM = ?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 2हाँ
- 3∠R
- 4हाँ
- 5∠Z
- 6नहीं
- 7KP/UW
- 8UN/ME
संगत भुजाओं का अनुपात
4 cm के चित्र को 8 cm करना हो तो हर लंबाई दुगुनी : नई/पुरानी का अनुपात हर भुजा के लिए 2।
समरूप आकृतियों में सभी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है, यही पैमाना गुणक k = (नई भुजा)/(पुरानी भुजा)। परिमापों का अनुपात भी वही।
सूत्र : k = नई भुजा / पुरानी भुजा
आकृति में : भुजाएँ 3, 4, 5 से 6, 8, 10 : हर अनुपात 2।
संगत भुजाओं का अनुपात
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : अनुपात k निकालें — नई आकृति की भुजा को पुरानी की संगत भुजा से भाग दें।
- आसान : 3 cm → 6 cm : k = 2।
- मध्यम : 6 cm → 9 cm : k = 9/6 = 3/2।
- परीक्षा-प्रकार : 4 cm → 10 cm : k = 5/2।
नियम 2 : सभी भुजाएँ और परिमाप जाँचें — हर जोड़ी का अनुपात समान होना चाहिए; परिमाप भी वही मानता है।
- आसान : 3, 4, 5 और 6, 8, 10 : अनुपात 2, 2, 2 : समरूप।
- मध्यम : 2, 3, 4 और 4, 6, 9 : अनुपात 2, 2, 9/4 : समरूप नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : भुजाएँ 5, 6, 7 (परिमाप 18), k = 3 : नया परिमाप 54।
हर संगत भुजा-जोड़ी और परिमाप के लिए वही k चलता है।
एक जोड़ी में पुरानी/नई और दूसरी में नई/पुरानी भाग देना।
"हमेशा नई/पुरानी, हर भुजा के लिए वही क्रम।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 3 cm और 12 cm हैं। पहले का दूसरे से अनुपात क्या है?
- 2दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 16 cm और 24 cm हैं। पहले का दूसरे से अनुपात क्या है?
- 3दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 12 cm और 10 cm हैं। उनकी परिधियों का अनुपात क्या है?
- 4दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 4 cm और 11 cm हैं। उनकी परिधियों का अनुपात क्या है?
- 5दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 7 cm और 14 cm हैं। पहले का दूसरे से अनुपात क्या है?
- 6दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 4 : 3 है। दूसरे का परिमाप 33 cm है। पहले का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 1 : 4 है। दूसरे का परिमाप 148 cm है। पहले का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 3 : 5 है। दूसरे का परिमाप 60 cm है। पहले का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11 : 4
- 22 : 3
- 36 : 5
- 44 : 11
- 51 : 2
- 644
- 737
- 836
समरूप आकृतियों में अज्ञात भुजा ज्ञात करना
12 cm की खिलौना कार असली कार का निश्चित पैमाने का नमूना हो तो एक ज्ञात लंबाई बाकी सब बता देती है।
संगत भुजाओं के समान अनुपात लिखें, अज्ञात x रखें और तिरछा गुणा करें; या पहले k निकालकर गुणा करें।
आकृति में : 3, 4, 5 ~ 6, 8, x : 5/x = 3/6, अतः x = 10।
नियम 1 : अनुपात-समीकरण बनाएँ — हर अनुपात में संगत भुजाएँ एक ही स्थान पर रखें।
- आसान : 3, 4, 5 ~ 6, 8, x : x = 10।
- मध्यम : 2 : 8 = 3 : y से y = 12।
- परीक्षा-प्रकार : आयत : 4/10 = 6/x से x = 15।
नियम 2 : k सीधे लगाएँ — k एक बार निकालें, फिर हर भुजा गुणा या भाग करें।
- आसान : k = 3 (4 → 12) : भुजा 5 बनती है 15।
- मध्यम : k = 2/5 : भुजा 10 बनती है 4।
- परीक्षा-प्रकार : k = 3/2 : भुजा 14 बनती है 21।
देखकर जाँचें कि अब सभी अनुपात मेल खाते हैं।
असंगत भुजाओं की जोड़ी बनाना, जैसे सबसे लंबी भुजा को छोटी से।
"दोनों अनुपातों में एक ही स्थान, फिर तिरछा गुणा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△ZCT ~ △RUF. यदि TZ = 4 cm, FR = 20 cm और ZC = 3 cm हो तो RU (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2△DFS ~ △KVZ. यदि DF = 2 cm, KV = 10 cm और FS = 8 cm हो तो VZ (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3△VWZ ~ △QRU. यदि VW = 8 cm, QR = 24 cm और ZV = 4 cm हो तो UQ (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4△QFH ~ △YXC. यदि FH = 6 cm, XC = 9 cm और QF = 10 cm हो तो YX (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 5△UMP ~ △FVH. यदि UM = 2 cm, FV = 4 cm और MP = 4 cm हो तो VH (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 6दो आयत समरूप हैं। पहला 2 cm × 5 cm का है और दूसरे में 2 cm की संगत भुजा 6 cm है। 5 cm की संगत भुजा (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7दो आयत समरूप हैं। पहला 10 cm × 8 cm का है और दूसरे में 10 cm की संगत भुजा 20 cm है। 8 cm की संगत भुजा (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8दो आयत समरूप हैं। पहला 9 cm × 7 cm का है और दूसरे में 9 cm की संगत भुजा 27 cm है। 7 cm की संगत भुजा (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 115
- 240
- 312
- 415
- 58
- 615
- 716
- 821
संगत कोण और शीर्ष
एक ही पोज़ के दो मित्र मेल खाते हैं : सिर से सिर, बायाँ हाथ बाएँ हाथ से। त्रिभुज शीर्ष-दर-शीर्ष मेल खाते हैं।
ΔABC ~ ΔPQR में अक्षरों का क्रम जोड़ियाँ बताता है : A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R। अतः ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R और AB/PQ = BC/QR = CA/RP।
आकृति में : मेल खाते अक्षर मेल खाते कोण बताते हैं; मेल खाते अक्षरों के बीच की भुजाएँ संगत होती हैं।
नियम 1 : शीर्षों का क्रम जोड़ियाँ बताता है — दोनों त्रिभुजों के अक्षर एक ही क्रम में पढ़ें।
- आसान : ΔABC ~ ΔPQR : ∠B = ∠Q।
- मध्यम : ΔABC ~ ΔXYZ : भुजा AB की संगत XY।
- परीक्षा-प्रकार : ΔABC ~ ΔPQR में AC की संगत PR।
नियम 2 : अज्ञात कोण निकालें — समान कोणों की जोड़ियाँ; तीनों कोणों का योग 180°।
- आसान : ΔABC में ∠A = 50°, ∠B = 60° : ∠R = ∠C = 70°।
- मध्यम : ΔABC ~ ΔDEF, ∠D = 40°, ∠E = 65° : ∠F = 75°।
- परीक्षा-प्रकार : समान कोण संगत भुजाओं के सामने होते हैं।
समरूपता कथन में अक्षरों का क्रम ही मिलान का नक्शा है।
A की जोड़ी P होने पर ΔABC ~ ΔQPR लिखना; अक्षर मेल नहीं खाते।
"अक्षर का स्थान समान, कोण समान।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△STM ~ △WFN, ∠S = 46° और ∠T = 42°। ∠N ज्ञात कीजिए।
- 2△LTA ~ △ZNV, ∠L = 47° और ∠A = 58°। ∠N ज्ञात कीजिए।
- 3△HDK ~ △QLR, ∠D = 42° और ∠K = 79°। ∠Q ज्ञात कीजिए।
- 4△QRL ~ △XKM, ∠Q = 46° और ∠L = 104°। ∠K ज्ञात कीजिए।
- 5△PMT ~ △DNF, ∠P = 31° और ∠M = 60°। ∠F ज्ञात कीजिए।
- 6△HKD ~ △CEB. दूसरे त्रिभुज में ∠C = 34° और ∠B = 80° है। ∠K ज्ञात कीजिए।
- 7△LWT ~ △VMA. दूसरे त्रिभुज में ∠M = 44° और ∠A = 104° है। ∠L ज्ञात कीजिए।
- 8△VPH ~ △RSX. दूसरे त्रिभुज में ∠R = 56° और ∠S = 65° है। ∠H ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 192
- 275
- 359
- 430
- 589
- 666
- 732
- 859
पैमाना और आवर्धन के उपयोग
मानचित्र, नमूने और फोटो प्रतियाँ सब समरूप आकृतियाँ हैं : निश्चित पैमाना हर लंबाई छोटी या बड़ी करता है।
पैमाना 1 : n का अर्थ चित्र की हर लंबाई असली लंबाई की 1/n। उपयोग से पहले दोनों लंबाइयाँ एक ही इकाई में लाएँ। k गुना आवर्धन यानी हर लंबाई को k से गुणा।
सूत्र : वास्तविक = चित्र × n
आकृति में : 20 m की इमारत 1 : 50 पैमाने पर : 2000 cm / 50 = 40 cm नमूना।
नियम 1 : नमूने और मानचित्र — एक इकाई करें, फिर n से गुणा या भाग करें।
- आसान : 1 : 50, इमारत 20 m : नमूना 40 cm।
- मध्यम : 1 : 50, नमूना 6 cm : असली 300 cm = 3 m।
- परीक्षा-प्रकार : मानचित्र 1 : 100000 : 3 cm यानी 3 km; 8 km यानी 8 cm।
नियम 2 : k गुना आवर्धन — हर लंबाई को k से गुणा करें; कोण वही रहते हैं।
- आसान : फोटो 4 cm × 6 cm तिगुना बड़ा : 12 cm × 18 cm।
- मध्यम : k = 3/2, 10 cm पर : 15 cm।
- परीक्षा-प्रकार : k = 1/4, 8 cm पर : 2 cm (छोटा करना)।
पैमाने में भाग देने से पहले इकाइयाँ मिलाएँ।
1 : 50 में एक ओर मीटर और दूसरी ओर cm लेना।
"पहले इकाइयाँ समान, फिर पैमाना।"
अभ्यास के प्रश्न
- 16 cm × 8 cm के चित्र को आकार वही रखते हुए बड़ा किया गया और उसकी चौड़ाई 24 cm हो गई। नई ऊँचाई (cm में) कितनी है?
- 29 cm × 3 cm के चित्र को आकार वही रखते हुए बड़ा किया गया और उसकी चौड़ाई 45 cm हो गई। नई ऊँचाई (cm में) कितनी है?
- 37 cm × 4 cm के चित्र को आकार वही रखते हुए बड़ा किया गया और उसकी चौड़ाई 14 cm हो गई। नई ऊँचाई (cm में) कितनी है?
- 4एक भवन का मॉडल 1 : 100 के पैमाने पर बनाया गया है। वास्तविक भवन 400 m ऊँचा है। मॉडल की ऊँचाई (cm में) कितनी है?
- 5एक भवन का मॉडल 1 : 50 के पैमाने पर बनाया गया है। वास्तविक भवन 135 m ऊँचा है। मॉडल की ऊँचाई (cm में) कितनी है?
- 6मानचित्र पर 4 cm का अर्थ 10 km है। दो नगरों के बीच वास्तविक दूरी 80 km है। मानचित्र पर वे कितने cm दूर दिखेंगे?
- 7मानचित्र पर 3 cm का अर्थ 25 km है। दो नगरों के बीच वास्तविक दूरी 375 km है। मानचित्र पर वे कितने cm दूर दिखेंगे?
- 8एक भवन का मॉडल 1 : 500 के पैमाने पर बनाया गया है। वास्तविक भवन 1400 m ऊँचा है। मॉडल की ऊँचाई (cm में) कितनी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 132
- 215
- 38
- 4400
- 5270
- 632
- 745
- 8280