Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] से योग
1 + 2 + … + 100 एक-एक जोड़ना धीमा है। पहला-अंतिम, दूसरा-उपांत्य जोड़ें : हर जोड़ी 101।
प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली श्रेणी के पहले n पदों का योग Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]।
सूत्र : Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
आकृति में : 2, 5, 8, … : S₁₀ = 10/2 [4 + 9 × 3] = 5 × 31 = 155।
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] से योग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : योग निकालें — a, d, n पहचानें, फिर रखें।
- आसान : a = 2, d = 3, n = 10 : S = 5 × 31 = 155।
- मध्यम : 1 + 2 + … + 100 : S = 50 × 101 = 5050।
- परीक्षा-प्रकार : a = 10, d = −2, n = 6 : S = 3 [20 − 10] = 30।
नियम 2 : सूची का योग — पहले देखें श्रेणी है, फिर अंतिम पद से n निकालें।
- आसान : 7 + 10 + … + 40 : n = 12, S = 6 (14 + 33) = 282।
- मध्यम : −5 + (−2) + 1 + … (8 पद) : S = 4 (−10 + 21) = 44।
- परीक्षा-प्रकार : हर पद में वही d, इसलिए सूत्र चलता है।
पहले 2a + (n − 1)d लिखें, फिर n/2 से गुणा करें।
कोष्ठक में 2a की जगह a लेना।
"आधा n गुणा दुगुना a जोड़ कदम-d।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद −1/2 और सार्व अंतर −7 है। उसके प्रथम 34 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 2एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 24 और सार्व अंतर −3 है। उसके प्रथम 8 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 3एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 15/2 और सार्व अंतर 3 है। उसके प्रथम 8 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 4एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद −3 और सार्व अंतर −7 है। उसके प्रथम 39 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 5एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद −2 और सार्व अंतर −3 है। उसके प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 6एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 16 और सार्व अंतर −8 है। उसके प्रथम 9 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 7समांतर श्रेणी 20, 24, 28, …, 96 का योग ज्ञात कीजिए।
- 8समांतर श्रेणी 14, 17, 20, …, 38 का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−3944
- 2108
- 3144
- 4−5304
- 5−392
- 6−144
- 71160
- 8234
प्रथम व अंतिम पद से योग; विशेष योग
पंक्ति की पहली और अंतिम सीट पता हो तो d नहीं चाहिए : औसत सीट गुणा संख्या = कुल।
अंतिम पद l पता हो तो Sₙ = n/2 (a + l)। विशेष योग : पहली n प्राकृत संख्याएँ n(n + 1)/2; पहली n विषम n²; पहली n सम n(n + 1)।
सूत्र : Sₙ = n/2 (a + l)
आकृति में : 8 + 11 + … + 50 (15 पद) : S = 15/2 (8 + 50) = 435।
प्रथम व अंतिम पद से योग; विशेष योग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : a और l से — पहले n गिनें, फिर a और l का औसत।
- आसान : 8 + 11 + … + 50 : n = 15, S = 435।
- मध्यम : 4 से 100 तक 4 के गुणज : n = 25, S = 25/2 × 104 = 1300।
- परीक्षा-प्रकार : 3 + 6 + … + 99 : n = 33, S = 33/2 × 102 = 1683।
नियम 2 : विशेष योग — प्राकृत, विषम और सम संख्याओं के लिए तैयार सूत्र लें।
- आसान : 1 + 2 + … + 50 = 50 × 51/2 = 1275।
- मध्यम : पहली 15 विषम संख्याएँ : 15² = 225।
- परीक्षा-प्रकार : पहली 20 सम संख्याएँ : 20 × 21 = 420।
Sₙ = n × (प्रथम व अंतिम पद का औसत)।
पद गिने बिना n की जगह अंतिम पद ले लेना।
"गिनें, सिरों का औसत, गुणा करें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक समांतर श्रेणी में 7 पद हैं, प्रथम पद −15 और अंतिम पद −21 है। सभी पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 2प्रथम 15 धन सम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
- 3प्रथम 106 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
- 4प्रथम 42 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
- 5प्रथम 10 धन सम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
- 6प्रथम 12 धन सम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
- 7एक समांतर श्रेणी में 7 पद हैं, प्रथम पद −12 और अंतिम पद 0 है। सभी पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 8100 से 999 तक की उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 12 से विभाज्य हैं।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−126
- 2240
- 35671
- 4903
- 5110
- 6156
- 7−42
- 841400
दिए योग से n, a या d ज्ञात करना
पंक्ति की कुल सीटें पता हों तो पीछे की ओर हल करके सीटों की संख्या निकाल सकते हैं।
ज्ञात मान Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] में रखकर अज्ञात हल करें। n के लिए प्रायः द्विघात समीकरण आता है; ऋण या भिन्न n छोड़ दें।
आकृति में : 3 + 5 + 7 + … = 120 से n² + 2n − 120 = 0, अतः n = 10 (−12 अस्वीकार)।
नियम 1 : n निकालें — द्विघात बनाएँ, गुणनखंड करें, धन मूल रखें।
- आसान : 3 + 5 + 7 + … = 120 : n = 10।
- मध्यम : 1 + 2 + 3 + … = 210 : n(n + 1) = 420, n = 20।
- परीक्षा-प्रकार : 2 + 4 + 6 + … = 72 : n(n + 1) = 72, n = 8।
नियम 2 : a या d निकालें — n और S रखकर रैखिक समीकरण हल करें।
- आसान : n = 10, S = 155, a = 2 : 31 = 4 + 9d, d = 3।
- मध्यम : n = 8, S = 100, d = 3 : 25 = 2a + 21, a = 2।
- परीक्षा-प्रकार : कुछ पद जोड़कर जाँचें।
n ऋण का कोई अर्थ नहीं, क्योंकि n पद गिनता है।
द्विघात के दोनों मूल रखना, ऋण को न छोड़ना।
"हल करें, फिर ऋण n फेंकें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1समांतर श्रेणी 20, 27, 34, 41, … के कितने पद जोड़ने पर योग 432 होगा?
- 2एक समांतर श्रेणी में 6 पद हैं, प्रथम पद 1 और योग −69 है। अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
- 3समांतर श्रेणी 20, 23, 26, 29, … के कितने पद जोड़ने पर योग 203 होगा?
- 4एक समांतर श्रेणी में 10 पद हैं, प्रथम पद −1 और योग −415 है। अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
- 5समांतर श्रेणी 10, 17, 24, 31, … के कितने पद जोड़ने पर योग 165 होगा?
- 6समांतर श्रेणी 10, 16, 22, 28, … के कितने पद जोड़ने पर योग 440 होगा?
- 7एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 13 है और प्रथम 12 पदों का योग 750 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 8एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 15 है और प्रथम 20 पदों का योग −270 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 19
- 2−24
- 37
- 4−82
- 56
- 611
- 79
- 8−3
Sₙ और aₙ का संबंध
10 मैचों के बाद के अंक घटा 9 मैचों के बाद के अंक = ठीक 10वें मैच के अंक।
n वां पद दो योगों का अंतर है : aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁। साथ ही a₁ = S₁। Sₙ को n के व्यंजक के रूप में दिया हो तब भी यह चलता है।
सूत्र : aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
आकृति में : यदि Sₙ = 3n² + 2n तो S₁ = 5, S₂ = 16, अतः a₂ = 11 और d = 6।
नियम 1 : n वाँ पद निकालें — Sₙ में से Sₙ₋₁ घटाकर सरल करें।
- आसान : Sₙ = 3n² + 2n : aₙ = 6n − 1 (a₁ = 5, a₂ = 11)।
- मध्यम : Sₙ = n² : aₙ = 2n − 1 (विषम संख्याएँ)।
- परीक्षा-प्रकार : Sₙ = 2n² + n : a₃ = S₃ − S₂ = 21 − 10 = 11।
नियम 2 : श्रेणी बनाएँ — a₁ और a₂ निकालें, फिर d = a₂ − a₁।
- आसान : Sₙ = 3n² + 2n : श्रेणी 5, 11, 17, … d = 6।
- मध्यम : Sₙ = n² से 1, 3, 5, … d = 2।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : पहले दो पदों का योग S₂ के बराबर।
n तक का योग घटा n − 1 तक का योग बचता है केवल n वाँ पद।
S(n − 1) को Sₙ − 1 लिखना; n की जगह n − 1 रखना है।
"आज का योग घटा कल का योग = आज का पद।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग Sₙ = 4n² − 3n है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 2एक समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग Sₙ = 5n² − 4n है। द्वितीय पद ज्ञात कीजिए।
- 3एक समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग Sₙ = −2n² + 8n है। द्वितीय पद ज्ञात कीजिए।
- 4एक समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग Sₙ = 4n² − 7n है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
- 5एक समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग Sₙ = 4n² − 6n है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
- 6एक समांतर श्रेणी के लिए S8 = 232 और S7 = 189 है। a8 ज्ञात कीजिए।
- 7एक समांतर श्रेणी का 3वाँ पद 26 है। उसके प्रथम 5 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 8एक समांतर श्रेणी के लिए S17 = −408 और S16 = −352 है। a17 ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18
- 211
- 32
- 4−3
- 5−2
- 643
- 7130
- 8−56
श्रेणी के योग पर शाब्दिक प्रश्न
जमाए गए लट्ठे, सीटों की पंक्तियाँ और वार्षिक बचत श्रेणी की तरह जुड़ती हैं। योग कुल बताता है।
a, d, n पहचानें, n/2 [2a + (n − 1)d] और n/2 (a + l) में से चुनें, गणना करें और इकाई लिखें।
आकृति में : लट्ठे : नीचे 20, फिर 19, … अंत में 1 : S = 20/2 (20 + 1) = 210 लट्ठे।
नियम 1 : कुल राशि — दिए a, d, n से n/2 [2a + (n − 1)d] लें।
- आसान : बचत ₹100, मासिक +₹50, 12 माह : S = 6 (200 + 550) = ₹4500।
- मध्यम : सीटें : 15 पंक्तियाँ, पहली 20, हर बार +2 : S = 15/2 (40 + 28) = 510।
- परीक्षा-प्रकार : लट्ठे : 20, 19, …, 1 = 210।
नियम 2 : पदों की संख्या निकालें — योग को कुल के बराबर रखकर n हल करें।
- आसान : पुरस्कार ₹500, ₹450, … कुल ₹2250 : n = 6।
- मध्यम : साप्ताहिक ₹10, +₹5, कुल ₹135 : n = 6।
- परीक्षा-प्रकार : ऋण या भिन्न n छोड़ दें।
हमेशा इकाई जोड़ें, जैसे ₹ या लट्ठे।
कुल पूछा हो तब n वें पद का सूत्र लगाना।
"कुल पूछा? S लें। एक मान? aₙ लें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक लड़की पहले सप्ताह में ₹58 बचाती है और हर सप्ताह पिछले सप्ताह से ₹15 अधिक बचाती है। 29 सप्ताह में वह कुल कितना (₹ में) बचाती है?
- 2एक लड़की पहले सप्ताह में ₹66 बचाती है और हर सप्ताह पिछले सप्ताह से ₹5 अधिक बचाती है। 28 सप्ताह में वह कुल कितना (₹ में) बचाती है?
- 3एक लड़की पहले सप्ताह में ₹37 बचाती है और हर सप्ताह पिछले सप्ताह से ₹25 अधिक बचाती है। 19 सप्ताह में वह कुल कितना (₹ में) बचाती है?
- 4एक लड़की पहले सप्ताह में ₹23 बचाती है और हर सप्ताह पिछले सप्ताह से ₹20 अधिक बचाती है। 30 सप्ताह में वह कुल कितना (₹ में) बचाती है?
- 5एक लड़की पहले सप्ताह में ₹37 बचाती है और हर सप्ताह पिछले सप्ताह से ₹20 अधिक बचाती है। 23 सप्ताह में वह कुल कितना (₹ में) बचाती है?
- 6लट्ठे पंक्तियों में रखे हैं : सबसे नीचे की पंक्ति में 21, उसके ऊपर 20, इसी तरह सबसे ऊपर की पंक्ति में 5। कुल कितने लट्ठे हैं?
- 7कुआँ खोदने का पहले m का खर्च ₹150 है और प्रत्येक अतिरिक्त m पर ₹40 बढ़ता है। 8 m खोदने का खर्च (₹ में) कितना है?
- 8लट्ठे पंक्तियों में रखे हैं : सबसे नीचे की पंक्ति में 22, उसके ऊपर 21, इसी तरह सबसे ऊपर की पंक्ति में 11। कुल कितने लट्ठे हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17772
- 23738
- 34978
- 49390
- 55911
- 6221
- 72320
- 8198