Sₙ = n/२ [२a + (n − १)d] वापरून बेरीज
१ + २ + … + १०० एकेक करून मिळवणे संथ. पहिले व शेवटचे, दुसरे व उपांत्य जोडा : प्रत्येक जोडी १०१.
पहिले पद a आणि सामाईक फरक d असलेल्या श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज Sₙ = n/२ [२a + (n − १)d].
सूत्र : Sₙ = n/२ [२a + (n − १)d]
आकृतीत : २, ५, ८, … : S₁₀ = १०/२ [४ + ९ × ३] = ५ × ३१ = १५५.
Sₙ = n/२ [२a + (n − १)d] वापरून बेरीज
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : बेरीज काढा — a, d, n ओळखा, मग घाला.
- सोपे : a = २, d = ३, n = १० : S = ५ × ३१ = १५५.
- मध्यम : १ + २ + … + १०० : S = ५० × १०१ = ५०५०.
- परीक्षेसाठी : a = १०, d = −२, n = ६ : S = ३ [२० − १०] = ३०.
नियम 2 : यादीची बेरीज — आधी श्रेढी आहे का पाहा, मग शेवटच्या पदावरून n काढा.
- सोपे : ७ + १० + … + ४० : n = १२, S = ६ (१४ + ३३) = २८२.
- मध्यम : −५ + (−२) + १ + … (८ पदे) : S = ४ (−१० + २१) = ४४.
- परीक्षेसाठी : प्रत्येक पदात तोच d, म्हणून सूत्र चालते.
आधी २a + (n − १)d लिहा, मग n/२ ने गुणा.
कंसात २a ऐवजी a वापरणे.
"अर्धा n गुणिले दुप्पट a अधिक पावले-d."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद −1/2 आणि सामाईक फरक −7 आहे. तिच्या पहिल्या 34 पदांची बेरीज शोधा.
- 2एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 24 आणि सामाईक फरक −3 आहे. तिच्या पहिल्या 8 पदांची बेरीज शोधा.
- 3एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 15/2 आणि सामाईक फरक 3 आहे. तिच्या पहिल्या 8 पदांची बेरीज शोधा.
- 4एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद −3 आणि सामाईक फरक −7 आहे. तिच्या पहिल्या 39 पदांची बेरीज शोधा.
- 5एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद −2 आणि सामाईक फरक −3 आहे. तिच्या पहिल्या 16 पदांची बेरीज शोधा.
- 6एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 16 आणि सामाईक फरक −8 आहे. तिच्या पहिल्या 9 पदांची बेरीज शोधा.
- 720, 24, 28, …, 96 या समांतर श्रेढीची बेरीज शोधा.
- 814, 17, 20, …, 38 या समांतर श्रेढीची बेरीज शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−3944
- 2108
- 3144
- 4−5304
- 5−392
- 6−144
- 71160
- 8234
पहिले व शेवटचे पद वापरून बेरीज; विशेष बेरजा
रांगेतील पहिल्या व शेवटच्या आसनाचा क्रमांक माहीत असेल तर d नको : सरासरी आसन गुणिले संख्या = एकूण.
शेवटचे पद l माहीत असेल तर Sₙ = n/२ (a + l). विशेष बेरजा : पहिल्या n नैसर्गिक संख्या n(n + १)/२; पहिल्या n विषम n²; पहिल्या n सम n(n + १).
सूत्र : Sₙ = n/२ (a + l)
आकृतीत : ८ + ११ + … + ५० (१५ पदे) : S = १५/२ (८ + ५०) = ४३५.
पहिले व शेवटचे पद वापरून बेरीज; विशेष बेरजा
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : a व l वापरून — आधी n मोजा, मग a व l ची सरासरी.
- सोपे : ८ + ११ + … + ५० : n = १५, S = ४३५.
- मध्यम : ४ ते १०० मधील ४ चे गुणक : n = २५, S = २५/२ × १०४ = १३००.
- परीक्षेसाठी : ३ + ६ + … + ९९ : n = ३३, S = ३३/२ × १०२ = १६८३.
नियम 2 : विशेष बेरजा — नैसर्गिक, विषम व सम संख्यांसाठी तयार सूत्रे वापरा.
- सोपे : १ + २ + … + ५० = ५० × ५१/२ = १२७५.
- मध्यम : पहिल्या १५ विषम संख्या : १५² = २२५.
- परीक्षेसाठी : पहिल्या २० सम संख्या : २० × २१ = ४२०.
Sₙ = n × (पहिले व शेवटचे पद यांची सरासरी).
n ऐवजी शेवटचे पद घेणे, पदे न मोजता.
"मोजा, टोकांची सरासरी, गुणा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका समांतर श्रेढीत 7 पदे असून पहिले पद −15 आणि शेवटचे पद −21 आहे. सर्व पदांची बेरीज शोधा.
- 2पहिल्या 15 धन सम संख्या यांची बेरीज शोधा.
- 3पहिल्या 106 नैसर्गिक संख्या यांची बेरीज शोधा.
- 4पहिल्या 42 नैसर्गिक संख्या यांची बेरीज शोधा.
- 5पहिल्या 10 धन सम संख्या यांची बेरीज शोधा.
- 6पहिल्या 12 धन सम संख्या यांची बेरीज शोधा.
- 7एका समांतर श्रेढीत 7 पदे असून पहिले पद −12 आणि शेवटचे पद 0 आहे. सर्व पदांची बेरीज शोधा.
- 8100 ते 999 मधील 12 ने भाग जाणाऱ्या सर्व संख्यांची बेरीज शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−126
- 2240
- 35671
- 4903
- 5110
- 6156
- 7−42
- 841400
दिलेल्या बेरजेवरून n, a किंवा d शोधणे
रांगेच्या आसनांची एकूण बेरीज माहीत असेल तर किती आसने ते उलट गणिताने काढता येते.
ज्ञात किमती Sₙ = n/२ [२a + (n − १)d] मध्ये घालून अज्ञात सोडवा. n साठी बहुधा वर्ग समीकरण येते; ऋण किंवा अपूर्णांक n वगळा.
आकृतीत : ३ + ५ + ७ + … = १२० वरून n² + २n − १२० = ० , म्हणून n = १० (−१२ वगळले).
नियम 1 : n शोधा — वर्ग समीकरण करा, अवयव पाडा, धन मूळ ठेवा.
- सोपे : ३ + ५ + ७ + … = १२० : n = १०.
- मध्यम : १ + २ + ३ + … = २१० : n(n + १) = ४२०, n = २०.
- परीक्षेसाठी : २ + ४ + ६ + … = ७२ : n(n + १) = ७२, n = ८.
नियम 2 : a किंवा d शोधा — n व S घालून रेषीय समीकरण सोडवा.
- सोपे : n = १०, S = १५५, a = २ : ३१ = ४ + ९d, d = ३.
- मध्यम : n = ८, S = १००, d = ३ : २५ = २a + २१, a = २.
- परीक्षेसाठी : काही पदे मिळवून तपासा.
n ऋण असणे अर्थहीन, कारण n पदे मोजतो.
वर्ग समीकरणाची दोन्ही मुळे ठेवणे, ऋण वगळण्याऐवजी.
"सोडवा, मग ऋण n फेका."
सरावासाठी प्रश्न
- 120, 27, 34, 41, … या समांतर श्रेढीची किती पदे मिळवली असता बेरीज 432 येते?
- 2एका समांतर श्रेढीत 6 पदे असून पहिले पद 1 आणि बेरीज −69 आहे. शेवटचे पद शोधा.
- 320, 23, 26, 29, … या समांतर श्रेढीची किती पदे मिळवली असता बेरीज 203 येते?
- 4एका समांतर श्रेढीत 10 पदे असून पहिले पद −1 आणि बेरीज −415 आहे. शेवटचे पद शोधा.
- 510, 17, 24, 31, … या समांतर श्रेढीची किती पदे मिळवली असता बेरीज 165 येते?
- 610, 16, 22, 28, … या समांतर श्रेढीची किती पदे मिळवली असता बेरीज 440 येते?
- 7एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 13 असून पहिल्या 12 पदांची बेरीज 750 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 8एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 15 असून पहिल्या 20 पदांची बेरीज −270 आहे. सामाईक फरक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 19
- 2−24
- 37
- 4−82
- 56
- 611
- 79
- 8−3
Sₙ आणि aₙ यांचा संबंध
१० सामन्यांनंतरचे गुण वजा ९ सामन्यांनंतरचे गुण = बरोबर १०व्या सामन्याचे गुण.
n वे पद म्हणजे दोन बेरजांचा फरक : aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁. तसेच a₁ = S₁. Sₙ हे n मधील राशी म्हणून दिले तरी हे चालते.
सूत्र : aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
आकृतीत : Sₙ = ३n² + २n असेल तर S₁ = ५, S₂ = १६, म्हणून a₂ = ११ व d = ६.
नियम 1 : n वे पद काढा — Sₙ मधून Sₙ₋₁ वजा करून सोपे करा.
- सोपे : Sₙ = ३n² + २n : aₙ = ६n − १ (a₁ = ५, a₂ = ११).
- मध्यम : Sₙ = n² : aₙ = २n − १ (विषम संख्या).
- परीक्षेसाठी : Sₙ = २n² + n : a₃ = S₃ − S₂ = २१ − १० = ११.
नियम 2 : श्रेढी तयार करा — a₁ व a₂ काढा, मग d = a₂ − a₁.
- सोपे : Sₙ = ३n² + २n : श्रेढी ५, ११, १७, … d = ६.
- मध्यम : Sₙ = n² वरून १, ३, ५, … d = २.
- परीक्षेसाठी : पडताळा : पहिल्या दोन पदांची बेरीज S₂ इतकी.
n पर्यंतची बेरीज वजा n − १ पर्यंतची बेरीज राहते फक्त n वे पद.
S(n − १) चुकीने Sₙ − १ लिहिणे; n च्या जागी n − १ घालायचे.
"आजची बेरीज वजा कालची बेरीज म्हणजे आजचे पद."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका समांतर श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज Sₙ = 4n² − 3n आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 2एका समांतर श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज Sₙ = 5n² − 4n आहे. दुसरे पद शोधा.
- 3एका समांतर श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज Sₙ = −2n² + 8n आहे. दुसरे पद शोधा.
- 4एका समांतर श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज Sₙ = 4n² − 7n आहे. पहिले पद शोधा.
- 5एका समांतर श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज Sₙ = 4n² − 6n आहे. पहिले पद शोधा.
- 6एका समांतर श्रेढीसाठी S8 = 232 आणि S7 = 189 आहे. a8 शोधा.
- 7एका समांतर श्रेढीचे 3 वे पद 26 आहे. तिच्या पहिल्या 5 पदांची बेरीज शोधा.
- 8एका समांतर श्रेढीसाठी S17 = −408 आणि S16 = −352 आहे. a17 शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 18
- 211
- 32
- 4−3
- 5−2
- 643
- 7130
- 8−56
श्रेढीच्या बेरजेवरील उदाहरणे
रचलेले ओंडके, आसन-रांगा आणि वार्षिक बचत श्रेढीप्रमाणे वाढतात. बेरीज एकूण सांगते.
a, d, n ओळखा, n/२ [२a + (n − १)d] व n/२ (a + l) पैकी निवडा, गणा आणि एकके लिहा.
आकृतीत : ओंडके : तळाशी २०, पुढे १९, … शेवटी १ : S = २०/२ (२० + १) = २१० ओंडके.
नियम 1 : एकूण रक्कम — दिलेले a, d, n घालून n/२ [२a + (n − १)d] वापरा.
- सोपे : बचत ₹१००, दरमहा +₹५०, १२ महिने : S = ६ (२०० + ५५०) = ₹४५००.
- मध्यम : आसने : १५ रांगा, पहिली २०, प्रत्येकी +२ : S = १५/२ (४० + २८) = ५१०.
- परीक्षेसाठी : ओंडके : २०, १९, …, १ = २१०.
नियम 2 : पदांची संख्या शोधा — बेरीज एकूण रकमेइतकी मांडून n सोडवा.
- सोपे : बक्षिसे ₹५००, ₹४५०, … एकूण ₹२२५० : n = ६.
- मध्यम : दर आठवडा ₹१०, +₹५, एकूण ₹१३५ : n = ६.
- परीक्षेसाठी : ऋण किंवा अपूर्णांक n वगळा.
नेहमी एकक जोडा, जसे ₹ किंवा ओंडके.
एकूण विचारलेले असताना n वे पद सूत्र वापरणे.
"एकूण विचारले? S वापरा. एक किंमत? aₙ वापरा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एक मुलगी पहिल्या आठवड्यात ₹58 वाचवते आणि प्रत्येक आठवड्यात आधीच्या आठवड्यापेक्षा ₹15 जास्त वाचवते. 29 आठवड्यांत ती एकूण किती (₹ मध्ये) वाचवते?
- 2एक मुलगी पहिल्या आठवड्यात ₹66 वाचवते आणि प्रत्येक आठवड्यात आधीच्या आठवड्यापेक्षा ₹5 जास्त वाचवते. 28 आठवड्यांत ती एकूण किती (₹ मध्ये) वाचवते?
- 3एक मुलगी पहिल्या आठवड्यात ₹37 वाचवते आणि प्रत्येक आठवड्यात आधीच्या आठवड्यापेक्षा ₹25 जास्त वाचवते. 19 आठवड्यांत ती एकूण किती (₹ मध्ये) वाचवते?
- 4एक मुलगी पहिल्या आठवड्यात ₹23 वाचवते आणि प्रत्येक आठवड्यात आधीच्या आठवड्यापेक्षा ₹20 जास्त वाचवते. 30 आठवड्यांत ती एकूण किती (₹ मध्ये) वाचवते?
- 5एक मुलगी पहिल्या आठवड्यात ₹37 वाचवते आणि प्रत्येक आठवड्यात आधीच्या आठवड्यापेक्षा ₹20 जास्त वाचवते. 23 आठवड्यांत ती एकूण किती (₹ मध्ये) वाचवते?
- 6ओंडके रांगांत रचले आहेत : खालच्या रांगेत 21, त्यावर 20, असे करत सर्वात वरच्या रांगेत 5. एकूण किती ओंडके आहेत?
- 7विहीर खोदण्याचा पहिल्या मीटरचा खर्च ₹150 असून प्रत्येक पुढच्या मीटरला ₹40 ने वाढतो. 8 मीटर खोदण्याचा खर्च (₹ मध्ये) किती?
- 8ओंडके रांगांत रचले आहेत : खालच्या रांगेत 22, त्यावर 21, असे करत सर्वात वरच्या रांगेत 11. एकूण किती ओंडके आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 17772
- 23738
- 34978
- 49390
- 55911
- 6221
- 72320
- 8198