aₙ = a + (n − १)d वापरून पद काढणे
जिन्याच्या १०व्या पायरीला पोहोचायला सगळ्या पायऱ्या मोजायची गरज नाही : a पासून d नऊ वेळा मिळवा.
पहिले पद a आणि सामाईक फरक d असलेल्या श्रेढीचे n वे पद aₙ = a + (n − १)d. (n − १) म्हणजे पहिल्या पदापासून घेतलेल्या पावलांची संख्या.
सूत्र : aₙ = a + (n − १)d
आकृतीत : ३, ७, ११, … : a = ३, d = ४, म्हणून a₈ = ३ + ७ × ४ = ३१.
aₙ = a + (n − १)d वापरून पद काढणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : पद काढा — a व d काढा, मग n घाला.
- सोपे : a = ५, d = ३ : a₁₀ = ५ + २७ = ३२.
- मध्यम : २०, १७, १४, … : a₁₂ = २० + ११(−३) = −१३.
- परीक्षेसाठी : −१०, −७, −४, … : a₉ = −१० + ८ × ३ = १४.
नियम 2 : शेवटचे पद काढा — n पदांच्या श्रेढीचे शेवटचे पद aₙ.
- सोपे : २० पदांची श्रेढी a = २, d = ३ : l = २ + १९ × ३ = ५९.
- मध्यम : दुसरे पद a₂ = a + d.
- परीक्षेसाठी : पहिले पद a₁ = a + ० × d = a.
n व्या पदासाठी (n − १) पावले, n नव्हे.
(n − १) × d ऐवजी n × d वापरणे.
"क्रमांकापेक्षा एक पाऊल कमी."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका समांतर श्रेढीचे n वे पद aₙ = 5n + 10 आहे. 25 वे पद शोधा.
- 2एका समांतर श्रेढीचे n वे पद aₙ = −7n − 2 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 3एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 12 व सामाईक फरक −5 आहे. तिचे 28 वे पद किती?
- 4एका समांतर श्रेढीचे n वे पद aₙ = −n + 11 आहे. पहिले पद शोधा.
- 5एका समांतर श्रेढीचे n वे पद aₙ = 6n + 13 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 6एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 21 व सामाईक फरक 8 आहे. तिचे 43 वे पद किती?
- 7एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 1 व सामाईक फरक −5 आहे. तिचे 34 वे पद किती?
- 8एका समांतर श्रेढीचे n वे पद aₙ = 5n + 13 आहे. सामाईक फरक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1135
- 2−7
- 3−123
- 410
- 56
- 6357
- 7−164
- 85
पदाचा क्रमांक शोधणे
यादीत ४७ दिसते आणि प्रश्न पडतो : ती कितवी पायरी? aₙ = ४७ मधून n सोडवा.
दिलेल्या पद T चा क्रमांक n काढण्यास a + (n − १)d = T मांडून सोडवा, n = (T − a)/d + १. n धन पूर्ण संख्या नसेल तर T हे पद नाही.
सूत्र : n = (T − a)/d + १
आकृतीत : ३, ७, ११, … मध्ये ४७ हे १२वे पद : ४७ = ३ + (n − १)४ वरून n = १२.
नियम 1 : ते कितवे पद? — n सोडवा आणि तो धन पूर्ण संख्या आहे का पाहा.
- सोपे : ३, ७, ११, … : ४७ हे १२वे पद.
- मध्यम : १००, ९५, ९०, … : ० हे २१वे पद (n = १००/५ + १).
- परीक्षेसाठी : २, ५, ८, … : ६२ कितवे? n = ६०/३ + १ = २१.
नियम 2 : ते पद आहे का? — n अपूर्णांक किंवा ऋण असेल तर ती संख्या यादीत नाही.
- सोपे : १०० हे २, ५, ८, … चे पद आहे का? n = ९८/३ + १ पूर्ण संख्या नाही : नाही.
- मध्यम : ७७ हे २, ५, ८, … चे पद आहे का? n = ७५/३ + १ = २६ : होय.
- परीक्षेसाठी : −५ हे ३, ७, ११, … चे पद नाही : n ऋण येईल.
n परत घालून तपासा : aₙ हे T इतके हवे.
शेवटी १ मिळवायला विसरणे : n = (T − a)/d + १.
"अंतराला d ने भागा, मग एक मिळवा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1134 हे 15, 22, 29, 36, … या समांतर श्रेढीचे पद आहे का?
- 23, −2, −7, −12, … या समांतर श्रेढीचे कितवे पद −77 आहे?
- 394 हे 3, 10, 17, 24, … या समांतर श्रेढीचे पद आहे का?
- 451 हे −6, −2, 2, 6, … या समांतर श्रेढीचे पद आहे का?
- 5157 हे 19, 27, 35, 43, … या समांतर श्रेढीचे पद आहे का?
- 65, 12, 19, 26, … या समांतर श्रेढीचे कितवे पद 117 आहे?
- 718, 15, 12, 9, … या समांतर श्रेढीचे कितवे पद −9 आहे?
- 820, 23, 26, 29, … या समांतर श्रेढीचे 330 पेक्षा मोठे पहिले पद कितवे आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 217
- 3होय
- 4नाही
- 5नाही
- 617
- 710
- 8105
दिलेल्या पदांवरून a आणि d शोधणे
३ऱ्या व ७व्या पायरीची उंची माहीत असेल तर त्यातील चढ एका पायरीचे माप सांगतो.
प्रत्येक दिलेले पद a + (n − १)d रूपात लिहून दोन समीकरणे मिळवा. वजा करून d काढा, मग घालून a काढा.
आकृतीत : a₃ = १२ आणि a₇ = २४ : ४d = १२, d = ३, a = १२ − ६ = ६.
नियम 1 : दोन पदे दिली — a घालवण्यास वजा करा.
- सोपे : a₃ = १२, a₇ = २४ : d = ३, a = ६ (पडताळा a₇ = ६ + १८ = २४ ✓).
- मध्यम : a₂ = १३, a₄ = ३ : २d = −१०, d = −५, a = १८.
- परीक्षेसाठी : a₅ = २२ आणि d = ४ : a = २२ − १६ = ६.
नियम 2 : मग कोणतेही पद काढा — a व d माहीत झाल्यावर aₙ = a + (n − १)d वापरा.
- सोपे : a = ६, d = ३ : a₁₅ = ६ + १४ × ३ = ४८.
- मध्यम : a = १८, d = −५ : a₁₀ = १८ − ४५ = −२७.
- परीक्षेसाठी : तुमच्या a व d ने दोन्ही दिलेली पदे तपासा.
aₚ आणि aq यांतील अंतर (q − p)d.
चुकीच्या पावलांनी भागणे (७ − ३ ऐवजी ७ − ३ + १ वापरणे).
"क्रमांक वजा करून पावले मोजा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 15 आणि 6 वे पद 35 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 2एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 14 आणि 6 वे पद 24 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 3एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद −6 आणि 4 वे पद 15 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 4एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 24 आणि 4 वे पद 21 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 5एका समांतर श्रेढीत a13 − a5 = −72 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 6एका समांतर श्रेढीचे 5 वे पद −26 आणि 4 वे पद −18 आहे. पहिले पद शोधा.
- 7एका समांतर श्रेढीत a2 + a2 = 0 आणि a3 + a8 = −28 आहे. पहिले पद शोधा.
- 8एका समांतर श्रेढीचे 4 वे पद 42 आणि 10 वे पद 90 आहे. पहिले पद शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14
- 22
- 37
- 4−1
- 5−9
- 66
- 74
- 818
समांतर श्रेढीतील पदांची संख्या
७ पासून सुरू होऊन २०५ ला संपणाऱ्या, ६ च्या पावलांच्या रांगेत किती आसने? २०५ हे कितवे पद हे विचारणेच.
पहिले पद a, शेवटचे पद l आणि फरक d असलेल्या मर्यादित श्रेढीतील पदांची संख्या n = (l − a)/d + १.
सूत्र : n = (l − a)/d + १
आकृतीत : ७, १३, १९, …, २०५ : n = (२०५ − ७)/६ + १ = ३४ पदे.
नियम 1 : पदे मोजा — आधी d काढा, मग सूत्र वापरा.
- सोपे : ७, १३, १९, …, २०५ : ३४ पदे.
- मध्यम : २, ४, ६, …, १०० : n = ९८/२ + १ = ५०.
- परीक्षेसाठी : ५०, ४५, …, ५ : n = (५ − ५०)/(−५) + १ = १०.
नियम 2 : मर्यादेतील संख्या मोजा — मर्यादेतील पहिला व शेवटचा गुणक शोधा.
- सोपे : दोन अंकी ३ चे गुणक : १२, १५, …, ९९ : n = ८७/३ + १ = ३०.
- मध्यम : १० ते ९५ मधील ५ चे गुणक : n = ८५/५ + १ = १८.
- परीक्षेसाठी : n पूर्ण संख्या हवी.
पदे मोजणे म्हणजे कुंपणाचे खांब मोजणे : अंतरे खांबांपेक्षा एकाने कमी.
+१ विसरणे, जो पहिल्या पदालाही मोजतो.
"अंतरे अधिक एक = पदे."
सरावासाठी प्रश्न
- 15, 11, 17, …, 53 या समांतर श्रेढीत किती पदे आहेत?
- 213, 16, 19, …, 31 या समांतर श्रेढीत किती पदे आहेत?
- 312, 19, 26, …, 54 या समांतर श्रेढीत किती पदे आहेत?
- 4−15, −10, −5, …, 205 या समांतर श्रेढीत किती पदे आहेत?
- 58 ते 364 (दोन्ही धरून) या संख्यांपैकी किती संख्या 13 ने भाग जातात?
- 617, 12, 7, …, −158 या समांतर श्रेढीत किती पदे आहेत?
- 78, 4, 0, …, −96 या समांतर श्रेढीत किती पदे आहेत?
- 811 ने भाग जाणाऱ्या किती तीन अंकी संख्या आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 19
- 27
- 37
- 445
- 528
- 636
- 727
- 881
n व्या पदावरील उदाहरणे
बचत, पगार आणि आसन-रांगा श्रेढीत असतात. n वे पद n व्या आठवड्याची, वर्षाची किंवा रांगेची रक्कम सांगते.
a (पहिली किंमत) व d (ठरावीक बदल) ओळखा, aₙ हवे की n ते ठरवा, सोडवा आणि एककांसह उत्तर लिहा.
आकृतीत : बचत ₹५० ने सुरू होऊन दर आठवड्याला ₹१० वाढते : १२वा आठवडा ५० + ११ × १० = ₹१६०.
नियम 1 : n वी किंमत काढा — aₙ = a + (n − १)d वापरा.
- सोपे : पगार ₹८०००, दरवर्षी ₹५०० वाढ : १०व्या वर्षी ₹८००० + ९ × ५०० = ₹१२५००.
- मध्यम : आसने : पहिली रांग २०, प्रत्येक रांगेत २ जास्त : १५व्या रांगेत २० + १४ × २ = ४८.
- परीक्षेसाठी : टॅक्सी : ₹१५ व जादा किमीला ₹८ : १० km चे १५ + ९ × ८ = ₹८७.
नियम 2 : n शोधा — n वी किंमत दिलेल्या रकमेशी समान मांडून n सोडवा.
- सोपे : पगार ₹१०००० होतो वर्ष n = २०००/५०० + १ = ५.
- मध्यम : बचत ₹५०, +१० : ₹२०० आठवडा १६ मध्ये.
- परीक्षेसाठी : उत्तर देण्यापूर्वी n पूर्ण संख्या आहे का पाहा.
aₙ ची एकके राशीची एकके, उदा. ₹ किंवा आसने.
पहिली किंमत शून्यावी पायरी मानणे : पहिली किंमत a₁ = a.
"a म्हणजे पहिला आठवडा; गेलेले आठवडे n वजा एक."
सरावासाठी प्रश्न
- 1विटांच्या ढिगाच्या सर्वात वरच्या थरात 9 विटा असून खालचा प्रत्येक थर वरच्या थरापेक्षा 2 विटांनी जास्त आहे. वरून 6 व्या थरात किती विटा?
- 2विटांच्या ढिगाच्या सर्वात वरच्या थरात 3 विटा असून खालचा प्रत्येक थर वरच्या थरापेक्षा 4 विटांनी जास्त आहे. वरून 8 व्या थरात किती विटा?
- 3विटांच्या ढिगाच्या सर्वात वरच्या थरात 10 विटा असून खालचा प्रत्येक थर वरच्या थरापेक्षा 2 विटांनी जास्त आहे. वरून 8 व्या थरात किती विटा?
- 4एका सभागृहाच्या पहिल्या रांगेत 15 आसने असून प्रत्येक पुढच्या रांगेत आधीच्या रांगेपेक्षा 5 आसने जास्त आहेत. 19 व्या रांगेत किती आसने?
- 5एका सभागृहाच्या पहिल्या रांगेत 17 आसने असून प्रत्येक पुढच्या रांगेत आधीच्या रांगेपेक्षा 4 आसने जास्त आहेत. 9 व्या रांगेत किती आसने?
- 6एका व्यक्तीचा सुरुवातीचा मासिक पगार ₹25000 असून दरवर्षी ₹750 वाढ मिळते. 17 व्या वर्षीचा मासिक पगार (₹ मध्ये) किती?
- 7एका समांतर श्रेढीत 21 पदे असून पहिले पद 7 व शेवटचे पद 67 आहे. मधले पद शोधा.
- 8एका शिडीची पहिली पायरी 6 cm रुंद असून प्रत्येक वरची पायरी खालच्या पायरीपेक्षा 2 cm जास्त रुंद आहे. 19 व्या पायरीची रुंदी (cm मध्ये) किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 119
- 231
- 324
- 4105
- 549
- 637000
- 737
- 842