समांतर श्रेढीचा सामाईक फरक
जिन्याची पायरी प्रत्येक वेळी तेवढीच उंची चढते. प्रत्येक पायरीला तेवढेच वाढणारी यादी म्हणजे समांतर श्रेढी.
समांतर श्रेढी म्हणजे अशी संख्यायादी ज्यात प्रत्येक पद मागील पदात तीच ठरावीक संख्या मिळवून मिळते. ती ठरावीक संख्या म्हणजे सामाईक फरक d = a₂ − a₁.
सूत्र : d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = …
आकृतीत : ३, ७, ११, १५, १९ प्रत्येक वेळी +४ ने वाढते, म्हणून d = ४.
नियम 1 : d काढा — कोणतेही पद पुढच्या पदातून वजा करा.
- सोपे : ३, ७, ११, १५ : d = ४.
- मध्यम : २०, १७, १४, ११ : d = −३ (कमी होणारी).
- परीक्षेसाठी : १/२, १, ३/२, २ : d = १/२.
नियम 2 : d चे चिन्ह — d > ० वाढते, d < ० कमी होते, d = ० स्थिर.
- सोपे : ५, ५, ५, ५ : d = ०.
- मध्यम : १०, ७, ४ : d = −३ (उतरती श्रेढी).
- परीक्षेसाठी : −५, −२, १, ४ : d = ३.
सामाईक फरक ऋण, शून्य, अपूर्णांक किंवा दशांश असू शकतो.
उलट वजाबाकी : a₂ − a₁ ऐवजी a₁ − a₂.
"पुढचे वजा मागचे."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका समांतर श्रेढीत 4 वे पद 4 आणि 6 वे पद 10 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 2एका समांतर श्रेढीत 2 वे पद 14 आणि 3 वे पद 19 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 3एका समांतर श्रेढीत 1 वे पद −5 आणि 3 वे पद 11 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 4एका समांतर श्रेढीत 2 वे पद 10 आणि 5 वे पद 16 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 5एका समांतर श्रेढीत 5 वे पद 30 आणि 7 वे पद 40 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 6एका समांतर श्रेढीत 1 वे पद 15 आणि 6 वे पद 55 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 7एका समांतर श्रेढीत 1 वे पद −2 आणि 6 वे पद 8 आहे. सामाईक फरक शोधा.
- 8एका समांतर श्रेढीत 5 वे पद −27 आणि 7 वे पद −45 आहे. सामाईक फरक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13
- 25
- 38
- 42
- 55
- 68
- 72
- 8−9
समांतर श्रेढीची पदे लिहिणे
सुरुवात आणि पावलाचे माप माहीत असेल तर संपूर्ण यादी लिहिता येते : d पुन्हा पुन्हा मिळवा.
पहिले पद a आणि सामाईक फरक d दिले असतील तर श्रेढी a, a + d, a + २d, a + ३d, ….
सूत्र : a, a + d, a + २d, a + ३d, …
आकृतीत : a = ५, d = ३ वरून ५, ८, ११, १४, १७.
समांतर श्रेढीची पदे लिहिणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : पहिली पदे लिहा — प्रत्येक पदात d मिळवून पुढचे मिळवा.
- सोपे : a = ५, d = ३ : ५, ८, ११, १४.
- मध्यम : a = १०, d = −२ : १०, ८, ६, ४.
- परीक्षेसाठी : a = −१, d = ०.५ : −१, −०.५, ०, ०.५.
नियम 2 : यादी पुढे चालवा — दिलेल्या पदांवरून d काढा, मग पुढे चालवा.
- सोपे : २, ९, १६, … : d = ७, पुढे २३, ३०.
- मध्यम : ५०, ४५, ४०, … : d = −५, पुढे ३५, ३०.
- परीक्षेसाठी : प्रत्येक नवीन पद म्हणजे शेवटचे पद अधिक d.
प्रत्येक वेळी तोच d मिळवला जातो : पावलाचे माप कधीच बदलत नाही.
d मिळवण्याऐवजी d ने गुणणे.
"a पासून सुरू करा, d मिळवत जा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1नेहमीच्या संकेतात a म्हणजे समांतर श्रेढीचे ___.
- 2एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद 13 आणि सामाईक फरक 2 आहे. तिचे दुसरे पद किती?
- 3एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद −5 आणि सामाईक फरक −5 आहे. तिचे पाचवे पद किती?
- 4एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद −9 आणि सामाईक फरक 3 आहे. तिचे तिसरे पद किती?
- 5एका समांतर श्रेढीचे पहिले पद −7 आणि सामाईक फरक −5 आहे. तिचे दुसरे पद किती?
- 6एका समांतर श्रेढीचा सामाईक फरक 3 असून तिचे 6 वे पद 6 आहे. पहिले पद शोधा.
- 7एका समांतर श्रेढीचा सामाईक फरक 5 असून तिचे 3 वे पद 34 आहे. पहिले पद शोधा.
- 8एका समांतर श्रेढीचा सामाईक फरक 3 असून तिचे 3 वे पद 15 आहे. पहिले पद शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1पहिले पद
- 215
- 3−25
- 4−3
- 5−12
- 6−9
- 724
- 89
यादी समांतर श्रेढी आहे का ते ठरवणे
जिना सारखा आहे का ते तपासायला प्रत्येक पायरी मोजा. प्रत्येक पायरी सारखीच असेल तरच यादी श्रेढी.
यादी श्रेढी असते जर लगतच्या पदांमधील सर्व फरक समान असतील. एकही फरक वेगळा असेल तर ती श्रेढी नाही.
सूत्र : a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃
आकृतीत : २, ५, ८, ११ चे फरक ३, ३, ३, म्हणून श्रेढी; १, ४, ९, १६ चे ३, ५, ७, म्हणून नाही.
नियम 1 : श्रेढी की नाही? — सर्व लगतचे फरक काढा.
- सोपे : १, −१, −३, −५ : फरक −२, −२, −२ : श्रेढी.
- मध्यम : १, २, ४, ८ : फरक १, २, ४ : श्रेढी नाही.
- परीक्षेसाठी : ७, ७, ७, ७ : फरक ० : d = ० ची श्रेढी.
नियम 2 : वर्ग व इतर नमुने — गुणाकार किंवा वर्ग करणारे नमुने श्रेढी नाहीत.
- सोपे : १, ४, ९, १६ (वर्ग) : श्रेढी नाही.
- मध्यम : ३, ६, १२, २४ (दुप्पट) : श्रेढी नाही.
- परीक्षेसाठी : १०, २०, ३०, ४० (१० मिळवणे) : श्रेढी.
एक असमान फरक पुरेसा आहे "श्रेढी नाही" म्हणण्यास.
फक्त पहिले दोन फरक तपासून श्रेढी म्हणणे.
"सर्व पावले समान, नाहीतर श्रेढी नाही."
सरावासाठी प्रश्न
- 14, 9, 16, 25, 36, … ही यादी समांतर श्रेढी आहे का?
- 213, 21, 13, 21, 13, … ही यादी समांतर श्रेढी आहे का?
- 31, 5, 1, 5, 1, … ही यादी समांतर श्रेढी आहे का?
- 413, 19, 13, 19, 13, … ही यादी समांतर श्रेढी आहे का?
- 59, 11, 14, 18, 24, … ही यादी समांतर श्रेढी आहे का?
- 6−14, −17, −20, −24 ही समांतर श्रेढी आहे का?
- 722, 28, 34, 38 ही समांतर श्रेढी आहे का?
- 8−10, −5, 0, 4 ही समांतर श्रेढी आहे का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नाही
- 2नाही
- 3नाही
- 4नाही
- 5नाही
- 6नाही
- 7नाही
- 8नाही
पदे समांतर श्रेढीत येण्यासाठी अज्ञात किंमत
तीन संख्या सारख्या अंतरावर असतील तर मधली संख्या बाकीच्या दोघींच्या बरोबर मध्यात असते.
a, b, c श्रेढीत असतील तर b − a = c − b, म्हणजे २b = a + c. याने k सारखा अज्ञात काढा.
सूत्र : २b = a + c
आकृतीत : k, २k + १, ४k − १ श्रेढीत : २(२k + १) = k + ४k − १, म्हणून ४k + २ = ५k − १, k = ३ : पदे ३, ७, ११.
नियम 1 : २b = a + c वापरा — समीकरण मांडा आणि अज्ञात सोडवा.
- सोपे : x, १०, १६ श्रेढीत : २० = x + १६, x = ४.
- मध्यम : k + २, ४k − ६, ३k − २ : ८k − १२ = ४k, k = ३ : पदे ५, ६, ७.
- परीक्षेसाठी : पडताळा : ७ − ३ = ४ आणि ११ − ७ = ४ ✓.
नियम 2 : समान फरक वापरणे — मधल्या पदाचे रूप अवघड असेल तर दोन फरक समान मांडा.
- सोपे : p, ७, १३ : ७ − p = १३ − ७ = ६, p = १.
- मध्यम : ५, m, १५ : m − ५ = १५ − m, m = १०.
- परीक्षेसाठी : m हा शेजाऱ्यांची सरासरी आहे.
श्रेढीतील तीन पदांचे मधले पद उरलेल्या दोन पदांची सरासरी असते.
२b = a − c लिहिणे किंवा २k + १ भोवती कंस विसरणे.
"मधल्याच्या दुप्पट = टोकांची बेरीज."
सरावासाठी प्रश्न
- 1−8, x, −20 ही समांतर श्रेढीत असतील तर x शोधा.
- 25, x, −13 ही समांतर श्रेढीत असतील तर x शोधा.
- 39, x, 11 ही समांतर श्रेढीत असतील तर x शोधा.
- 4−1, −5, y, x, −17 या संख्या समांतर श्रेढीत आहेत. x − y ची किंमत शोधा.
- 5k च्या कोणत्या किमतीला 5k − 4, −k − 1 आणि −2k + 7 ही समांतर श्रेढीची तीन क्रमागत पदे असतात?
- 6k च्या कोणत्या किमतीला −k + 9, −k आणि 2k ही समांतर श्रेढीची तीन क्रमागत पदे असतात?
- 7k च्या कोणत्या किमतीला −k − 11, 4k + 8 आणि −3k − 9 ही समांतर श्रेढीची तीन क्रमागत पदे असतात?
- 8k च्या कोणत्या किमतीला 2k − 7, −k + 8 आणि 4k − 25 ही समांतर श्रेढीची तीन क्रमागत पदे असतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−14
- 2−4
- 310
- 4−4
- 5−1
- 6−3
- 7−3
- 86
समांतर श्रेढी बनवणारे प्रसंग
टॅक्सी भाडे, बचत आणि आसन-रांगा ठरावीक रकमेने वाढतात, म्हणून श्रेढी बनतात. दुप्पट होणे व व्याज तसे नाही.
प्रसंग श्रेढी देतो जेव्हा प्रत्येक पायरीत तीच रक्कम मिळवली (किंवा वजा केली) जाते. काही किंमती लिहा, फरक काढा, समान आहेत का पाहा.
आकृतीत : टॅक्सी : पहिल्या किमीला ₹१५ व प्रत्येक जादा किमीला ₹८ : १५, २३, ३१, … d = ८ ची श्रेढी.
नियम 1 : श्रेढीचे प्रसंग — प्रत्येक वेळी मिळवलेली ठरावीक रक्कम म्हणजे d.
- सोपे : रांगांतील आसने १५, १८, २१, … : d = ३.
- मध्यम : बचत ₹१००, १५०, २००, … : d = ५०.
- परीक्षेसाठी : शिडीच्या पायऱ्या ४५, ४३, ४१, … cm : d = −२.
नियम 2 : श्रेढी नसलेले प्रसंग — प्रत्येक वेळी गुणणे किंवा टक्केवारी वाढ श्रेढी देत नाही.
- सोपे : पेशी १, २, ४, ८ (विभाजन) : श्रेढी नाही.
- मध्यम : चक्रवाढ व्याजाची रक्कम : श्रेढी नाही.
- परीक्षेसाठी : दरवर्षीची सरळ व्याजाची रक्कम : श्रेढी.
प्रत्येक वेळी तीच रक्कम मिळवली तर श्रेढी; तोच गुणक गुणला तर नाही.
प्रत्येक वाढत्या यादीला श्रेढी म्हणणे; वाढ प्रत्येक पायरीत सारखी हवी.
"तेच मिळवले : श्रेढी. तेच गुणले : श्रेढी नाही."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एक विद्यार्थी पहिल्या आठवड्यात ₹34 वाचवतो आणि दर आठवड्याला बचत ₹11 ने वाढवतो. आठवड्याची बचत ₹34, ₹45, ₹56, … समांतर श्रेढी बनवते का?
- 2₹1000 वर 20% चक्रवाढ व्याजाने 1, 2 आणि 3 वर्षांनंतरची रक्कम सुमारे ₹1200, ₹1440, ₹1728 येते. ती समांतर श्रेढी बनवतात का?
- 3एक विद्यार्थी पहिल्या आठवड्यात ₹7 वाचवतो आणि दर आठवड्याला बचत ₹6 ने वाढवतो. आठवड्याची बचत ₹7, ₹13, ₹19, … समांतर श्रेढी बनवते का?
- 4एक विद्यार्थी पहिल्या आठवड्यात ₹21 वाचवतो आणि दर आठवड्याला बचत ₹14 ने वाढवतो. आठवड्याची बचत ₹21, ₹35, ₹49, … समांतर श्रेढी बनवते का?
- 5एक विद्यार्थी पहिल्या आठवड्यात ₹40 वाचवतो आणि दर आठवड्याला बचत ₹13 ने वाढवतो. आठवड्याची बचत ₹40, ₹53, ₹66, … समांतर श्रेढी बनवते का?
- 6टॅक्सी पहिल्या kmसाठी ₹22 आणि प्रत्येक पुढच्या kmसाठी ₹16 घेते. 1 km, 2 km, 3 km, … च्या भाड्यांची समांतर श्रेढी वापरून 14 kmचे भाडे (₹ मध्ये) शोधा.
- 7टॅक्सी पहिल्या kmसाठी ₹37 आणि प्रत्येक पुढच्या kmसाठी ₹16 घेते. 1 km, 2 km, 3 km, … च्या भाड्यांची समांतर श्रेढी वापरून 7 kmचे भाडे (₹ मध्ये) शोधा.
- 8टॅक्सी पहिल्या kmसाठी ₹46 आणि प्रत्येक पुढच्या kmसाठी ₹14 घेते. 1 km, 2 km, 3 km, … च्या भाड्यांची समांतर श्रेढी वापरून 13 kmचे भाडे (₹ मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 2नाही
- 3होय
- 4होय
- 5होय
- 6230
- 7133
- 8214