समांतर श्रेणी का सार्व अंतर
सीढ़ी का हर कदम उतनी ही ऊँचाई चढ़ता है। हर कदम पर समान बढ़ने वाली सूची समांतर श्रेणी है।
समांतर श्रेणी संख्याओं की ऐसी सूची है जिसमें हर पद पिछले पद में वही निश्चित संख्या जोड़कर मिलता है। वह निश्चित संख्या सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
सूत्र : d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = …
आकृति में : 3, 7, 11, 15, 19 हर बार +4 बढ़ती है, अतः d = 4।
नियम 1 : d निकालें — किसी पद को अगले पद में से घटाएँ।
- आसान : 3, 7, 11, 15 : d = 4।
- मध्यम : 20, 17, 14, 11 : d = −3 (घटती)।
- परीक्षा-प्रकार : 1/2, 1, 3/2, 2 : d = 1/2।
नियम 2 : d का चिह्न — d > 0 बढ़ती, d < 0 घटती, d = 0 अचर।
- आसान : 5, 5, 5, 5 : d = 0।
- मध्यम : 10, 7, 4 : d = −3 (घटती श्रेणी)।
- परीक्षा-प्रकार : −5, −2, 1, 4 : d = 3।
सार्व अंतर ऋण, शून्य, भिन्न या दशमलव हो सकता है।
उल्टा घटाना : a₂ − a₁ की जगह a₁ − a₂।
"अगला घटा पिछला।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक समांतर श्रेणी का 4वाँ पद 4 और 6वाँ पद 10 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 2एक समांतर श्रेणी का 2वाँ पद 14 और 3वाँ पद 19 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 3एक समांतर श्रेणी का 1वाँ पद −5 और 3वाँ पद 11 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 4एक समांतर श्रेणी का 2वाँ पद 10 और 5वाँ पद 16 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 5एक समांतर श्रेणी का 5वाँ पद 30 और 7वाँ पद 40 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 6एक समांतर श्रेणी का 1वाँ पद 15 और 6वाँ पद 55 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 7एक समांतर श्रेणी का 1वाँ पद −2 और 6वाँ पद 8 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 8एक समांतर श्रेणी का 5वाँ पद −27 और 7वाँ पद −45 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13
- 25
- 38
- 42
- 55
- 68
- 72
- 8−9
समांतर श्रेणी के पद लिखना
शुरुआत और कदम का माप पता हो तो पूरी सूची लिखी जा सकती है : d बार-बार जोड़ें।
प्रथम पद a और सार्व अंतर d दिए हों तो श्रेणी a, a + d, a + 2d, a + 3d, …।
सूत्र : a, a + d, a + 2d, a + 3d, …
आकृति में : a = 5, d = 3 से 5, 8, 11, 14, 17।
समांतर श्रेणी के पद लिखना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : पहले पद लिखें — हर पद में d जोड़कर अगला पाएँ।
- आसान : a = 5, d = 3 : 5, 8, 11, 14।
- मध्यम : a = 10, d = −2 : 10, 8, 6, 4।
- परीक्षा-प्रकार : a = −1, d = 0.5 : −1, −0.5, 0, 0.5।
नियम 2 : सूची आगे बढ़ाएँ — दिए पदों से d निकालें, फिर आगे बढ़ाएँ।
- आसान : 2, 9, 16, … : d = 7, आगे 23, 30।
- मध्यम : 50, 45, 40, … : d = −5, आगे 35, 30।
- परीक्षा-प्रकार : हर नया पद अंतिम पद जोड़ d।
हर बार वही d जोड़ा जाता है : कदम का माप कभी नहीं बदलता।
d जोड़ने की जगह d से गुणा करना।
"a से शुरू करें, d जोड़ते जाएँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1सामान्य संकेतन में a समांतर श्रेणी का ___ है।
- 2एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 13 और सार्व अंतर 2 है। उसका दूसरा पद क्या है?
- 3एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद −5 और सार्व अंतर −5 है। उसका पाँचवाँ पद क्या है?
- 4एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद −9 और सार्व अंतर 3 है। उसका तीसरा पद क्या है?
- 5एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद −7 और सार्व अंतर −5 है। उसका दूसरा पद क्या है?
- 6एक समांतर श्रेणी का सार्व अंतर 3 है और उसका 6वाँ पद 6 है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
- 7एक समांतर श्रेणी का सार्व अंतर 5 है और उसका 3वाँ पद 34 है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
- 8एक समांतर श्रेणी का सार्व अंतर 3 है और उसका 3वाँ पद 15 है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1प्रथम पद
- 215
- 3−25
- 4−3
- 5−12
- 6−9
- 724
- 89
सूची समांतर श्रेणी है या नहीं तय करना
सीढ़ी समान है या नहीं जाँचने के लिए हर कदम नापें। हर कदम समान हो तभी सूची श्रेणी है।
सूची श्रेणी है यदि क्रमागत पदों के सभी अंतर समान हों। एक भी अंतर अलग हो तो वह श्रेणी नहीं है।
सूत्र : a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃
आकृति में : 2, 5, 8, 11 के अंतर 3, 3, 3, अतः श्रेणी; 1, 4, 9, 16 के 3, 5, 7, अतः नहीं।
नियम 1 : श्रेणी या नहीं? — सभी क्रमागत अंतर निकालें।
- आसान : 1, −1, −3, −5 : अंतर −2, −2, −2 : श्रेणी।
- मध्यम : 1, 2, 4, 8 : अंतर 1, 2, 4 : श्रेणी नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 7, 7, 7, 7 : अंतर 0 : d = 0 की श्रेणी।
नियम 2 : वर्ग और अन्य प्रतिरूप — गुणा या वर्ग वाले प्रतिरूप श्रेणी नहीं।
- आसान : 1, 4, 9, 16 (वर्ग) : श्रेणी नहीं।
- मध्यम : 3, 6, 12, 24 (दुगुना) : श्रेणी नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 10, 20, 30, 40 (10 जोड़ना) : श्रेणी।
एक असमान अंतर "श्रेणी नहीं" कहने के लिए काफी है।
केवल पहले दो अंतर जाँचकर श्रेणी कह देना।
"सब कदम समान, नहीं तो श्रेणी नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या सूची 4, 9, 16, 25, 36, … एक समांतर श्रेणी है?
- 2क्या सूची 13, 21, 13, 21, 13, … एक समांतर श्रेणी है?
- 3क्या सूची 1, 5, 1, 5, 1, … एक समांतर श्रेणी है?
- 4क्या सूची 13, 19, 13, 19, 13, … एक समांतर श्रेणी है?
- 5क्या सूची 9, 11, 14, 18, 24, … एक समांतर श्रेणी है?
- 6क्या −14, −17, −20, −24 एक समांतर श्रेणी है?
- 7क्या 22, 28, 34, 38 एक समांतर श्रेणी है?
- 8क्या −10, −5, 0, 4 एक समांतर श्रेणी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1नहीं
- 2नहीं
- 3नहीं
- 4नहीं
- 5नहीं
- 6नहीं
- 7नहीं
- 8नहीं
पद समांतर श्रेणी में हों, इसके लिए अज्ञात मान
तीन संख्याएँ समान दूरी पर हों तो बीच वाली बाकी दो के ठीक बीच में होती है।
a, b, c श्रेणी में हों तो b − a = c − b, यानी 2b = a + c। इससे k जैसा अज्ञात निकालें।
सूत्र : 2b = a + c
आकृति में : k, 2k + 1, 4k − 1 श्रेणी में : 2(2k + 1) = k + 4k − 1, अतः 4k + 2 = 5k − 1, k = 3 : पद 3, 7, 11।
नियम 1 : 2b = a + c लगाएँ — समीकरण बनाएँ और अज्ञात हल करें।
- आसान : x, 10, 16 श्रेणी में : 20 = x + 16, x = 4।
- मध्यम : k + 2, 4k − 6, 3k − 2 : 8k − 12 = 4k, k = 3 : पद 5, 6, 7।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : 7 − 3 = 4 और 11 − 7 = 4 ✓।
नियम 2 : समान अंतर लगाना — मध्य पद का रूप कठिन हो तो दो अंतर बराबर रखें।
- आसान : p, 7, 13 : 7 − p = 13 − 7 = 6, p = 1।
- मध्यम : 5, m, 15 : m − 5 = 15 − m, m = 10।
- परीक्षा-प्रकार : m अपने पड़ोसियों का औसत है।
श्रेणी के तीन पदों का मध्य पद बाकी दो का औसत होता है।
2b = a − c लिखना या 2k + 1 के चारों ओर कोष्ठक भूलना।
"मध्य का दुगुना = सिरों का योग।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि −8, x, −20 समांतर श्रेणी में हैं, तो x ज्ञात कीजिए।
- 2यदि 5, x, −13 समांतर श्रेणी में हैं, तो x ज्ञात कीजिए।
- 3यदि 9, x, 11 समांतर श्रेणी में हैं, तो x ज्ञात कीजिए।
- 4संख्याएँ −1, −5, y, x, −17 समांतर श्रेणी में हैं। x − y का मान ज्ञात कीजिए।
- 5k के किस मान के लिए 5k − 4, −k − 1 और −2k + 7 एक समांतर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं?
- 6k के किस मान के लिए −k + 9, −k और 2k एक समांतर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं?
- 7k के किस मान के लिए −k − 11, 4k + 8 और −3k − 9 एक समांतर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं?
- 8k के किस मान के लिए 2k − 7, −k + 8 और 4k − 25 एक समांतर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−14
- 2−4
- 310
- 4−4
- 5−1
- 6−3
- 7−3
- 86
समांतर श्रेणी बनाने वाली स्थितियाँ
टैक्सी किराया, बचत और बैठने की पंक्तियाँ निश्चित राशि से बढ़ती हैं, इसलिए श्रेणी बनती हैं। दुगुना होना और ब्याज नहीं।
स्थिति श्रेणी देती है जब हर चरण में वही राशि जोड़ी (या घटाई) जाती है। कुछ मान लिखें, अंतर निकालें, देखें समान हैं या नहीं।
आकृति में : टैक्सी : पहले km का ₹15 और हर अतिरिक्त km का ₹8 : 15, 23, 31, … d = 8 की श्रेणी।
नियम 1 : श्रेणी की स्थितियाँ — हर बार जोड़ी गई निश्चित राशि d है।
- आसान : पंक्तियों में सीटें 15, 18, 21, … : d = 3।
- मध्यम : बचत ₹100, 150, 200, … : d = 50।
- परीक्षा-प्रकार : सीढ़ी के डंडे 45, 43, 41, … cm : d = −2।
नियम 2 : जो श्रेणी नहीं — हर बार गुणा या प्रतिशत वृद्धि श्रेणी नहीं देती।
- आसान : कोशिकाएँ 1, 2, 4, 8 (विभाजन) : श्रेणी नहीं।
- मध्यम : चक्रवृद्धि ब्याज की राशियाँ : श्रेणी नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : हर वर्ष साधारण ब्याज की राशि : श्रेणी।
हर बार वही राशि जोड़ी जाए तो श्रेणी; वही गुणक गुणा हो तो नहीं।
हर बढ़ती सूची को श्रेणी कहना; वृद्धि हर चरण में समान हो।
"वही जोड़ा : श्रेणी। वही गुणा : श्रेणी नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक विद्यार्थी पहले सप्ताह में ₹34 बचाता है और हर सप्ताह बचत ₹11 बढ़ाता है। क्या साप्ताहिक बचत ₹34, ₹45, ₹56, … समांतर श्रेणी बनाती है?
- 2₹1000 पर 20% चक्रवृद्धि ब्याज से 1, 2 और 3 वर्ष बाद की राशियाँ लगभग ₹1200, ₹1440, ₹1728 हैं। क्या वे समांतर श्रेणी बनाती हैं?
- 3एक विद्यार्थी पहले सप्ताह में ₹7 बचाता है और हर सप्ताह बचत ₹6 बढ़ाता है। क्या साप्ताहिक बचत ₹7, ₹13, ₹19, … समांतर श्रेणी बनाती है?
- 4एक विद्यार्थी पहले सप्ताह में ₹21 बचाता है और हर सप्ताह बचत ₹14 बढ़ाता है। क्या साप्ताहिक बचत ₹21, ₹35, ₹49, … समांतर श्रेणी बनाती है?
- 5एक विद्यार्थी पहले सप्ताह में ₹40 बचाता है और हर सप्ताह बचत ₹13 बढ़ाता है। क्या साप्ताहिक बचत ₹40, ₹53, ₹66, … समांतर श्रेणी बनाती है?
- 6एक टैक्सी पहले km का ₹22 और प्रत्येक अगले km का ₹16 लेती है। 1 km, 2 km, 3 km, … के किरायों की समांतर श्रेणी से 14 km का किराया (₹ में) ज्ञात कीजिए।
- 7एक टैक्सी पहले km का ₹37 और प्रत्येक अगले km का ₹16 लेती है। 1 km, 2 km, 3 km, … के किरायों की समांतर श्रेणी से 7 km का किराया (₹ में) ज्ञात कीजिए।
- 8एक टैक्सी पहले km का ₹46 और प्रत्येक अगले km का ₹14 लेती है। 1 km, 2 km, 3 km, … के किरायों की समांतर श्रेणी से 13 km का किराया (₹ में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 2नहीं
- 3हाँ
- 4हाँ
- 5हाँ
- 6230
- 7133
- 8214