विविक्तकर निकालना
डॉक्टर सेहत जाँचने के लिए एक संख्या नापता है। द्विघात के लिए एक संख्या, विविक्तकर, मूलों का व्यवहार बताती है।
ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac। a, b, c के चिह्न लेकर निकालें।
सूत्र : D = b² − 4ac
आकृति में : x² − 5x + 6 = 0 : a = 1, b = −5, c = 6, अतः D = 25 − 24 = 1।
नियम 1 : D निकालें — पहले b का वर्ग, फिर 4ac घटाएँ।
- आसान : 2x² − 4x + 3 = 0 : D = 16 − 24 = −8।
- मध्यम : x² − 6x + 9 = 0 : D = 36 − 36 = 0।
- परीक्षा-प्रकार : 3x² + 2x − 1 = 0 : D = 4 + 12 = 16।
नियम 2 : पहले मानक रूप — a, b, c पढ़ने से पहले दायाँ पक्ष 0 करें।
- आसान : x² = 4x − 4 ⇒ x² − 4x + 4 = 0 : D = 16 − 16 = 0।
- मध्यम : 2x² = 5x + 3 ⇒ 2x² − 5x − 3 = 0 : D = 25 + 24 = 49।
- परीक्षा-प्रकार : x² − 9 = 0 : b = 0, D = 0 + 36 = 36।
a और c के चिह्न विपरीत हों तो −4ac धन, इसलिए D धन।
b = −5 के लिए b² = −25 लेना; वर्ग सदा धन।
"b वर्ग ऋण चार a c।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1−5x² − 5x − 4 = 0 का विविक्तकर
- 2−4x² + 7x + 5 = 0 का विविक्तकर
- 33x² + 9x − 7 = 0 का विविक्तकर
- 42x² − 7x − 3 = 0 का विविक्तकर
- 5−3x² + 5x + 3 = 0 का विविक्तकर
- 6−x² + 5x + 9 = 0 का विविक्तकर
- 7−x² + 3x + 3 = 0 का विविक्तकर
- 84x² − 9x − 4 = 0 का विविक्तकर
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−55
- 2129
- 3165
- 473
- 561
- 661
- 721
- 8145
विविक्तकर से मूलों की प्रकृति
D का चिह्न सिग्नल जैसा : धन यानी दो मूल, शून्य यानी एक दोहराया मूल, ऋण यानी वास्तविक मूल नहीं।
D > 0 : दो भिन्न वास्तविक मूल। D = 0 : दो समान वास्तविक मूल। D < 0 : वास्तविक मूल नहीं।
सूत्र : D > 0: 2 मूल; D = 0: 1 मूल; D < 0: नहीं
आकृति में : x² − 5x + 6 का D = 1 > 0 (मूल 2, 3); x² − 6x + 9 का D = 0 (3 दो बार); 2x² − 4x + 3 का D = −8 < 0 (वास्तविक मूल नहीं)।
विविक्तकर से मूलों की प्रकृति
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : प्रकृति तय करें — D निकालें, फिर चिह्न देखें।
- आसान : x² + x + 1 = 0 : D = 1 − 4 = −3 < 0, वास्तविक मूल नहीं।
- मध्यम : x² − 4x + 4 = 0 : D = 0, समान मूल।
- परीक्षा-प्रकार : 2x² − 7x + 3 = 0 : D = 49 − 24 = 25 > 0, भिन्न मूल।
नियम 2 : परिमेय या नहीं — D पूर्ण वर्ग हो तो मूल परिमेय।
- आसान : D = 25 (पूर्ण वर्ग) : मूल परिमेय।
- मध्यम : D = 8 : मूलों में √8, अपरिमेय।
- परीक्षा-प्रकार : D = 0 : एक मूल परिमेय : −b/2a।
निष्कर्ष सदा शब्दों में लिखें, केवल D का चिह्न नहीं।
D < 0 का अर्थ "मूल नहीं" कहना; इसका अर्थ वास्तविक मूल नहीं।
"धन दो, शून्य एक, ऋण कोई नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1x² + 5x + 9 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
- 2x² − 6x + 9 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
- 32x² + 4x + 2 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
- 4−3x² − 6x − 3 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
- 5−3x² + 2x − 2 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
- 6−3x² − 8x − 2 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
- 7x के कितने भिन्न वास्तविक मान 2x² + 9x − 7 = 0 को संतुष्ट करते हैं?
- 8x के कितने भिन्न वास्तविक मान −2x² − 6x − 9 = 0 को संतुष्ट करते हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1कोई वास्तविक मूल नहीं
- 2दो समान वास्तविक मूल
- 3दो समान वास्तविक मूल
- 4दो समान वास्तविक मूल
- 5कोई वास्तविक मूल नहीं
- 6दो भिन्न वास्तविक मूल
- 72
- 80
मूलों की प्रकृति के लिए k ज्ञात करना
मूलों पर शर्त दी हो तो उसे D की शर्त में बदलें, फिर k के लिए हल करें।
D को k के रूप में लिखें। समान मूल : D = 0। वास्तविक मूल : D ≥ 0। भिन्न वास्तविक मूल : D > 0। वास्तविक मूल नहीं : D < 0। समीकरण या असमिका हल करें।
आकृति में : x² + kx + 9 = 0 के समान मूल : k² − 36 = 0, अतः k = ±6।
नियम 1 : समान मूल (D = 0) — D = 0 रखकर हल करें।
- आसान : x² + kx + 9 = 0 : k² − 36 = 0, k = ±6।
- मध्यम : 2x² − kx + 8 = 0 : k² − 64 = 0, k = ±8।
- परीक्षा-प्रकार : kx² − 2kx + 6 = 0 : 4k² − 24k = 0, k = 6 (k ≠ 0)।
नियम 2 : वास्तविक या अवास्तविक मूल — k के लिए असमिका हल करें।
- आसान : x² + 4x + k = 0 के वास्तविक मूल : 16 − 4k ≥ 0, k ≤ 4।
- मध्यम : x² − 2x + k = 0 के वास्तविक मूल नहीं : 4 − 4k < 0, k > 1।
- परीक्षा-प्रकार : x² + 6x + k = 0 के भिन्न मूल : 36 − 4k > 0, k < 9।
a = 0 करने वाला k हटाएँ और ऋणात्मक से भाग देने पर असमिका उलटें।
−4 से भाग देते समय असमिका का चिह्न न उलटना।
"D को k में लिखें, शर्त रखें, हल करें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए kx² + 4x + 1 = 0 के दो समान मूल हों।
- 2k के किस मान के लिए x² − 10x + k = 0 के मूल बराबर होंगे?
- 3k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए kx² − 4x + 2 = 0 के दो समान मूल हों।
- 4k के किस मान के लिए x² + 2x + k = 0 के मूल बराबर होंगे?
- 5k के किस मान के लिए x² + 4x + k = 0 के मूल बराबर होंगे?
- 6k के किस मान के लिए x² − 8x + k = 0 के मूल बराबर होंगे?
- 7k के किन मानों के लिए x² + 2x + k = 0 के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे?
- 8k के किन मानों के लिए x² + 6x + k = 0 के वास्तविक मूल होंगे?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 225
- 32
- 41
- 54
- 616
- 7k < 1
- 8k ≤ 9
सूत्र से मूल ज्ञात करना
गुणनखंड कठिन हो तो एक सूत्र हर बार दोनों मूल देता है।
द्विघात सूत्र : x = (−b ± √D) / 2a, D = b² − 4ac। D = 0 हो तो दोनों मूल समान, x = −b/2a। D < 0 हो तो वास्तविक मूल नहीं।
सूत्र : x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
आकृति में : x² − 5x + 6 = 0 : D = 1, x = (5 ± 1)/2 = 3 या 2।
नियम 1 : सूत्र लगाएँ — चिह्न सहित a, b, c रखें, फिर मूल सरल करें।
- आसान : 2x² − 7x + 3 = 0 : D = 25, x = (7 ± 5)/4 = 3 या 1/2।
- मध्यम : x² + 2x − 1 = 0 : D = 8, x = (−2 ± √8)/2 = −1 ± √2।
- परीक्षा-प्रकार : x² − 6x + 9 = 0 : D = 0, x = 6/2 = 3 (दो बार)।
नियम 2 : मूल जाँचें — योग −b/a और गुणनफल c/a प्रयोग करें।
- आसान : 2x² − 7x + 3 : मूल 3, 1/2 : योग 7/2 ✓, गुणनफल 3/2 ✓।
- मध्यम : x² + 2x − 1 : योग −2 ✓, गुणनफल (−1+√2)(−1−√2) = 1 − 2 = −1 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : एक मूल समीकरण में वापस रखें।
सूत्र के लिए समीकरण मानक रूप में, दायाँ पक्ष 0, चाहिए।
अंश के केवल कुछ भाग को 2a से भाग देना, जैसे −b ± √D / 2a।
"ऋण b धन-ऋण मूल D, भाग 2a।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1ax² + bx + c = 0 के लिए द्विघाती सूत्र x =
- 2सूत्र का उपयोग करके 12x² − 26x − 16 = 0 का बड़ा मूल ज्ञात कीजिए।
- 3x² + 8x + 1 = 0 के मूलों का योग कितना है?
- 43x² + 3x − 8 = 0 के मूलों का योग कितना है?
- 52x² + 3x − 9 = 0 के मूलों का गुणनफल कितना है?
- 6सूत्र का उपयोग करके 4x² + 2x − 6 = 0 का छोटा मूल ज्ञात कीजिए।
- 76x² − 4x − 1 = 0 के मूलों का योग कितना है?
- 85x² − 5x + 1 = 0 के मूलों का गुणनफल कितना है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- 28/3
- 3−8
- 4−1
- 5−9/2
- 6−3/2
- 72/3
- 81/5
अस्तित्व संबंधी प्रश्न
दिए परिमाप और क्षेत्रफल वाला उद्यान संभव है? समीकरण बनाएँ और D से हाँ-नहीं तय करें।
स्थिति संभव है या नहीं तय करने के लिए द्विघात बनाएँ, D निकालें। D ≥ 0 तो वास्तविक मान हैं; D < 0 तो संभव नहीं। मूल अर्थपूर्ण (धन लंबाई) हैं या नहीं यह भी जाँचें।
आकृति में : परिमाप 80 m और क्षेत्रफल 400 m² का उद्यान : x² − 40x + 400 = 0, D = 0, अतः संभव; लंबाई = चौड़ाई = 20 m।
नियम 1 : संभव या नहीं? — उत्तर के लिए D का चिह्न प्रयोग करें।
- आसान : परिमाप 80 m, क्षेत्रफल 800 m² : x² − 40x + 800 = 0, D = 1600 − 3200 < 0 : संभव नहीं।
- मध्यम : दो संख्याओं का योग 10 और गुणनफल 30 : x² − 10x + 30 = 0, D = 100 − 120 < 0 : संभव नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : योग 10 और गुणनफल 21 : D = 100 − 84 = 16 > 0, संख्याएँ 3 और 7।
नियम 2 : मान खोजें — संभव हो तो हल करें और केवल अर्थपूर्ण मूल रखें।
- आसान : (x − 20)² = 0 : लंबाई 20 m, चौड़ाई 20 m (वर्ग)।
- मध्यम : योग 10, गुणनफल 21 : (x − 3)(x − 7) = 0।
- परीक्षा-प्रकार : निष्कर्ष सदा वाक्य में लिखें।
D = 0 यानी ठीक एक हल (समान मूल), अक्सर वर्ग या दो समान संख्याएँ।
D = 0 होने पर "संभव नहीं" कहना; D = 0 में भी वैध उत्तर मिलता है।
"D ऋणात्मक न हो तो अस्तित्व है।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या परिमाप 46 cm और क्षेत्रफल 135 cm² वाला आयत संभव है?
- 2क्या कोई वास्तविक संख्या x ≠ 0 है जिसके लिए x + 1/x = 4 हो?
- 3क्या परिमाप 50 cm और क्षेत्रफल 154 cm² वाला आयत संभव है?
- 4क्या परिमाप 14 cm और क्षेत्रफल 14 cm² वाला आयत संभव है?
- 5क्या कोई वास्तविक संख्या x ≠ 0 है जिसके लिए x + 1/x = 0 हो?
- 6क्या परिमाप 52 cm और क्षेत्रफल 176 cm² वाला आयत संभव है?
- 7क्या ऐसी दो वास्तविक संख्याएँ हैं जिनका योग 13 और गुणनफल 44 हो?
- 8क्या ऐसी दो वास्तविक संख्याएँ हैं जिनका योग 12 और गुणनफल 47 हो?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1नहीं
- 2हाँ
- 3हाँ
- 4नहीं
- 5नहीं
- 6नहीं
- 7नहीं
- 8नहीं