मध्य पद को विभाजित करना
द्विघात राशि के दो कोष्ठक बनाने के लिए मध्य पद को ऐसे दो भागों में तोड़ें कि गुणनखंड दिखने लगें।
ax² + bx + c के लिए ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल ac और योग b हो। उनसे मध्य पद विभाजित करें, फिर जोड़ी-जोड़ी में उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें।
सूत्र : गुणनफल = ac; योग = b
आकृति में : x² − 7x + 12 : −3 और −4, अतः x(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x − 4)।
नियम 1 : जोड़ी खोजें — ac के गुणनखंड-जोड़े सही चिह्नों से जाँचें।
- आसान : x² + 5x + 6 : 2 और 3, (x + 2)(x + 3)।
- मध्यम : x² − x − 12 : −4 और 3, (x − 4)(x + 3)।
- परीक्षा-प्रकार : x² + 2x − 15 : 5 और −3, (x + 5)(x − 3)।
नियम 2 : चिह्न नियम — c धनात्मक हो तो दोनों संख्याओं का चिह्न b जैसा; c ऋणात्मक हो तो वे अलग।
- आसान : c = +12, b = −7 : दोनों ऋण।
- मध्यम : c = −12, b = −1 : एक धन, एक ऋण।
- परीक्षा-प्रकार : कोष्ठक गुणा करके जाँचें।
दोनों संख्याएँ सदा ac गुणनफल और b योग देती हैं : विभाजन से पहले दोनों जाँचें।
गुणनफल सही पर योग b न देने वाली संख्याएँ चुनना।
"गुणनफल ac, योग b।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1x² + 5x − 36 = 0 के गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 5 और गुणनफल −36 हो। वे हैं
- 2x² + x − 20 = 0 के गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 1 और गुणनफल −20 हो। वे हैं
- 3x² + 7x + 10 = 0 के गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 7 और गुणनफल 10 हो। वे हैं
- 4x² − 4x − 21 = 0 के गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग −4 और गुणनफल −21 हो। वे हैं
- 5x² + 12x + 32 = 0 के गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 12 और गुणनफल 32 हो। वे हैं
- 6x² + 6x − 27 = 0 के गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 6 और गुणनफल −27 हो। वे हैं
- 7x² − 6x − 7 = 0 के गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग −6 और गुणनफल −7 हो। वे हैं
- 8x² + 10x + 21 = 0 के गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 10 और गुणनफल 21 हो। वे हैं
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−4 और 9
- 2−4 और 5
- 35 और 2
- 4−7 और 3
- 54 और 8
- 6−3 और 9
- 7−7 और 1
- 87 और 3
x² + bx + c = 0 के मूल गुणनखंड से
दो संख्याओं का गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक शून्य होती है। इसीलिए हर कोष्ठक को शून्य रखा जा सकता है।
द्विघात राशि के गुणनखंड करें, फिर शून्य-गुणनफल नियम : यदि (x − p)(x − q) = 0 तो x = p या x = q।
सूत्र : (x − p)(x − q) = 0 ⇒ x = p या q
आकृति में : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, अतः x = 2 या 3।
x² + bx + c = 0 के मूल गुणनखंड से
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : हल करें — गुणनखंड करें, फिर हर कोष्ठक शून्य रखें।
- आसान : x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) = 0 : x = −3, 2।
- मध्यम : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 : x = ±3।
- परीक्षा-प्रकार : x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2) = 0 : x = 5, −2।
नियम 2 : समान मूल — पूर्ण वर्ग एक ही मूल दो बार देता है।
- आसान : x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0 : x = −3 दो बार।
- मध्यम : x² − 8x + 16 = (x − 4)² = 0 : x = 4 दो बार।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : (−3)² + 6(−3) + 9 = 0 ✓।
कोष्ठक (x + 3) मूल −3 देता है, चिह्न उलटा।
मूल को कोष्ठक के ही चिह्न से लिखना।
"कोष्ठक शून्य, चिह्न उलटें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1x² − 2x − 24 = 0 को गुणनखंड द्वारा हल कीजिए। मूलों का योग ज्ञात कीजिए।
- 2x² − 9x + 14 = 0 को गुणनखंड द्वारा हल कीजिए। छोटा मूल ज्ञात कीजिए।
- 3x² − 10x + 16 = 0 को गुणनखंड द्वारा हल कीजिए। मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
- 4x² + 5x − 36 = 0 को गुणनखंड द्वारा हल कीजिए। बड़ा मूल ज्ञात कीजिए।
- 5x² − x − 30 = 0 को गुणनखंड द्वारा हल कीजिए। बड़ा मूल ज्ञात कीजिए।
- 6x² − 13x + 12 = 0 को गुणनखंड द्वारा हल कीजिए। मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
- 7x² + 9x − 22 = 0 को गुणनखंड द्वारा हल कीजिए। मूलों का धनात्मक अंतर ज्ञात कीजिए।
- 8x² + 4x − 12 = 0 को गुणनखंड द्वारा हल कीजिए। मूलों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 22
- 316
- 44
- 56
- 612
- 713
- 8−4
a ≠ 1 और अपूर्ण समीकरण
2x² जैसी अग्रणी संख्या हो तो जोड़ी का गुणनफल a × c। कोई पद न हो तो समीकरण और जल्दी हल होते हैं।
a ≠ 1 के लिए गुणनफल ac और योग b वाली संख्याएँ खोजें। अपूर्ण समीकरण : ax² + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0; ax² + c = 0 ⇒ x² = −c/a।
आकृति में : 2x² − 7x + 3 = 0 : (2x − 1)(x − 3) = 0, अतः x = 1/2 या 3।
नियम 1 : a ≠ 1 — ac लें, फिर जोड़ी-जोड़ी में उभयनिष्ठ गुणनखंड।
- आसान : 2x² − 7x + 3 = 0 : x = 1/2, 3।
- मध्यम : 6x² − x − 2 = 0 : (3x − 2)(2x + 1) = 0, x = 2/3, −1/2।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : 2(1/2)² − 7(1/2) + 3 = 0 ✓।
नियम 2 : अपूर्ण समीकरण — अचर नहीं : x उभयनिष्ठ लें। मध्य पद नहीं : वर्गमूल लें।
- आसान : x² − 4x = 0 ⇒ x(x − 4) = 0 : x = 0, 4।
- मध्यम : 3x² − 12 = 0 ⇒ x² = 4 : x = ±2।
- परीक्षा-प्रकार : x से भाग न दें : मूल 0 खो जाएगा।
आगे बढ़ने से पहले जाँचें कि चुनी संख्याएँ सही मध्य गुणांक देती हैं।
x² = 4x में दोनों पक्ष x से भाग देना; मूल x = 0 खो जाता है।
"गुणनफल ac, योग b; अचर न हो तो x उभयनिष्ठ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 16x² − 96 = 0 के मूल हैं
- 2x² = 36 के मूल हैं
- 3x² = 81 के मूल हैं
- 4x² = 121 के मूल हैं
- 5x² = 169 के मूल हैं
- 6x² = 6x के मूल हैं
- 7x² = 144 के मूल हैं
- 8x² = 100 के मूल हैं
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14 और −4
- 26 और −6
- 39 और −9
- 411 और −11
- 513 और −13
- 60 और 6
- 712 और −12
- 810 और −10
गुणनखंड से हल होने वाले शाब्दिक प्रश्न
कहानी से समीकरण बनाएँ, गुणनखंड करें और केवल अर्थपूर्ण मूल रखें : लंबाई और आयु ऋण नहीं हो सकती।
हल करने के बाद स्थिति से मेल न खाने वाले मूल अस्वीकार करें (ऋणात्मक लंबाई, आयु, संख्या) और इकाई सहित शब्दों में उत्तर लिखें।
आकृति में : क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 306 : x² + x − 306 = 0, (x + 18)(x − 17) = 0, अतः 17 और 18।
नियम 1 : संख्याएँ — संख्या धन चाहिए तो ऋण मूल अस्वीकार करें।
- आसान : x² + x − 306 = 0 : x = 17 (−18 अस्वीकार); संख्याएँ 17 और 18।
- मध्यम : क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल 168 : (x + 14)(x − 12) = 0 : 12 और 14।
- परीक्षा-प्रकार : संख्या जोड़ उसका वर्ग 12 : (x + 4)(x − 3) = 0 : 3 या −4।
नियम 2 : ज्यामिति — लंबाई धन होनी चाहिए।
- आसान : लंबाई = चौड़ाई + 3, क्षेत्रफल 40 : b² + 3b − 40 = 0, (b + 8)(b − 5) = 0 : चौड़ाई 5 m, लंबाई 8 m।
- मध्यम : संख्या जोड़ व्युत्क्रम 10/3 : (3x − 1)(x − 3) = 0 : x = 3 या 1/3।
- परीक्षा-प्रकार : b = −8 अस्वीकार : लंबाई ऋण नहीं होती।
हर मूल को केवल समीकरण में नहीं, कहानी में भी जाँचें।
ऋणात्मक लंबाई सहित दोनों मूल उत्तर में लिखना।
"बनाएँ, गुणनखंड करें, अनुपयुक्त हटाएँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दो क्रमागत धन विषम पूर्णांक का गुणनफल 35 है। छोटा पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
- 2दो क्रमागत धन पूर्णांक का गुणनफल 156 है। बड़ा पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
- 3दो क्रमागत धन पूर्णांक का गुणनफल 600 है। बड़ा पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
- 4मीरा की 4 वर्ष पहले की आयु और 2 वर्ष बाद की आयु का गुणनफल 567 है। उसकी वर्तमान आयु (वर्षों में) ज्ञात कीजिए।
- 5एक रेलगाड़ी 75 km की दूरी एकसमान चाल से तय करती है। यदि उसकी चाल 20 km/घंटा अधिक होती तो उसे 1 घंटे कम लगते। उसकी चाल (km/घंटा) ज्ञात कीजिए।
- 6दो धन संख्याओं का योग 34 और गुणनफल 285 है। छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 7मीरा की 2 वर्ष पहले की आयु और 4 वर्ष बाद की आयु का गुणनफल 952 है। उसकी वर्तमान आयु (वर्षों में) ज्ञात कीजिए।
- 8एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 20 cm है और एक भुजा दूसरी से 4 cm बड़ी है। इन दो भुजाओं में से छोटी भुजा (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15
- 213
- 325
- 425
- 530
- 615
- 730
- 812
मूल, गुणनखंड और समीकरण बनाना
उल्टी दिशा : मूल पता हों तो गुणनखंड और समीकरण तुरंत मिलते हैं।
मूल p और q हों तो समीकरण (x − p)(x − q) = 0, यानी x² − (p + q)x + pq = 0। भिन्न हों तो हर हटाएँ।
सूत्र : x² − (p + q)x + pq = 0
आकृति में : मूल 2 और −3 : (x − 2)(x + 3) = 0, अतः x² + x − 6 = 0।
नियम 1 : मूलों से समीकरण — दो कोष्ठक गुणा करें और सरल करें।
- आसान : मूल 1/2 और −1 : (2x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ 2x² + x − 1 = 0।
- मध्यम : समान मूल 4, 4 : x² − 8x + 16 = 0।
- परीक्षा-प्रकार : मूल 5 और −5 : x² − 25 = 0।
नियम 2 : योग और गुणनफल से जाँचें — मूलों का योग −b/a और गुणनफल c/a।
- आसान : 2x² + x − 1 = 0 : योग −1/2 ✓, गुणनफल −1/2 ✓।
- मध्यम : x² − 8x + 16 = 0 : योग 8 ✓, गुणनफल 16 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : समीकरण का कोई शून्येतर गुणज वही मूल देता है।
वही मूल कई समीकरणों से मिलते हैं : किसी शून्येतर अचर से गुणा करें।
मूल p व q के लिए (x + p)(x + q) लिखना।
"मूल p, q : गुणनखंड (x − p)(x − q)।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1किस द्विघात समीकरण (x² का गुणांक 1) के मूल −7 और −6 हैं?
- 2किस द्विघात समीकरण (x² का गुणांक 1) के मूल −5 और −2 हैं?
- 3किस द्विघात समीकरण (x² का गुणांक 1) के मूल 3 और 9 हैं?
- 4किस द्विघात समीकरण (x² का गुणांक 1) के मूल 4 और −1 हैं?
- 5किस द्विघात समीकरण (x² का गुणांक 1) के मूल 6 और −1 हैं?
- 6यदि α और β समीकरण x² − 3x + 2 = 0 के मूल हैं, तो α² + β² ज्ञात कीजिए।
- 7यदि α और β समीकरण x² + x − 56 = 0 के मूल हैं, तो (α − β)² ज्ञात कीजिए।
- 8यदि α और β समीकरण x² + 17x + 72 = 0 के मूल हैं, तो α² + β² ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1x² + 13x + 42 = 0
- 2x² + 7x + 10 = 0
- 3x² − 12x + 27 = 0
- 4x² − 3x − 4 = 0
- 5x² − 5x − 6 = 0
- 65
- 7225
- 8145