K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 10 · गणित

वर्ग समीकरणे 4.3 : अवयव पाडून उकल

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

मधले पद विभागणे

रोजच्या जीवनातून

वर्ग राशीचे दोन कंस करण्यास मधले पद अशा दोन भागांत फोडा की अवयव दिसू लागतील.

सोपी व्याख्या

ax² + bx + c साठी असे दोन अंक शोधा ज्यांचा गुणाकार ac आणि बेरीज b. त्यांनी मधले पद विभागा, मग जोडीजोडीने सामाईक अवयव काढा.

सूत्र : गुणाकार = ac; बेरीज = b

x² − 7x + 12−3 and −4product 12, sum −7x² − 3x − 4x + 12(x − 3)(x − 4)

आकृतीत : x² − ७x + १२ : −३ आणि −४, म्हणून x(x − ३) − ४(x − ३) = (x − ३)(x − ४).

नियम 1 : जोडी शोधा — ac च्या अवयव-जोड्या योग्य चिन्हांनी तपासा.

  • सोपे : x² + ५x + ६ : २ आणि ३, (x + २)(x + ३).
  • मध्यम : x² − x − १२ : −४ आणि ३, (x − ४)(x + ३).
  • परीक्षेसाठी : x² + २x − १५ : ५ आणि −३, (x + ५)(x − ३).

नियम 2 : चिन्हाचा नियम — c धन असेल तर दोन्ही अंकांचे चिन्ह b प्रमाणे; c ऋण असेल तर ते वेगळे.

  • सोपे : c = +१२, b = −७ : दोन्ही ऋण.
  • मध्यम : c = −१२, b = −१ : एक धन, एक ऋण.
  • परीक्षेसाठी : कंस गुणून तपासा.
लक्षात ठेवा

दोन अंक नेहमी ac गुणाकार व b बेरीज देतात : विभागण्यापूर्वी दोन्ही तपासा.

सामान्य चूक

गुणाकार बरोबर पण बेरीज b न येणारे अंक निवडणे.

आठवणीची युक्ती

"गुणाकार ac, बेरीज b."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x² + 5x − 36 = 0 चे अवयव पाडण्यासाठी बेरीज 5 आणि गुणाकार −36 असलेल्या दोन संख्या लागतात. त्या
  2. 2x² + x − 20 = 0 चे अवयव पाडण्यासाठी बेरीज 1 आणि गुणाकार −20 असलेल्या दोन संख्या लागतात. त्या
  3. 3x² + 7x + 10 = 0 चे अवयव पाडण्यासाठी बेरीज 7 आणि गुणाकार 10 असलेल्या दोन संख्या लागतात. त्या
मध्यम
  1. 4x² − 4x − 21 = 0 चे अवयव पाडण्यासाठी बेरीज −4 आणि गुणाकार −21 असलेल्या दोन संख्या लागतात. त्या
  2. 5x² + 12x + 32 = 0 चे अवयव पाडण्यासाठी बेरीज 12 आणि गुणाकार 32 असलेल्या दोन संख्या लागतात. त्या
  3. 6x² + 6x − 27 = 0 चे अवयव पाडण्यासाठी बेरीज 6 आणि गुणाकार −27 असलेल्या दोन संख्या लागतात. त्या
आव्हानात्मक
  1. 7x² − 6x − 7 = 0 चे अवयव पाडण्यासाठी बेरीज −6 आणि गुणाकार −7 असलेल्या दोन संख्या लागतात. त्या
  2. 8x² + 10x + 21 = 0 चे अवयव पाडण्यासाठी बेरीज 10 आणि गुणाकार 21 असलेल्या दोन संख्या लागतात. त्या
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1−4 आणि 9
  2. 2−4 आणि 5
  3. 35 आणि 2
  4. 4−7 आणि 3
  5. 54 आणि 8
  6. 6−3 आणि 9
  7. 7−7 आणि 1
  8. 87 आणि 3

x² + bx + c = ० ची मुळे अवयवांनी काढणे

रोजच्या जीवनातून

दोन संख्यांचा गुणाकार शून्य असेल तर किमान एक शून्य असते. म्हणूनच प्रत्येक कंस शून्य मांडता येतो.

सोपी व्याख्या

वर्ग राशीचे अवयव पाडा, मग शून्य-गुणाकार नियम : जर (x − p)(x − q) = ० तर x = p किंवा x = q.

सूत्र : (x − p)(x − q) = ० ⇒ x = p किंवा q

x² − 5x + 6 = 0(x − 2)(x − 3) = 0x − 2 = 0 or x − 3 = 0x = 2, 3

आकृतीत : x² − ५x + ६ = (x − २)(x − ३) = ०, म्हणून x = २ किंवा ३.

Live आकृती

x² + bx + c = ० ची मुळे अवयवांनी काढणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : सोडवा — अवयव पाडा, मग प्रत्येक कंस शून्य मांडा.

  • सोपे : x² + x − ६ = (x + ३)(x − २) = ० : x = −३, २.
  • मध्यम : x² − ९ = (x − ३)(x + ३) = ० : x = ±३.
  • परीक्षेसाठी : x² − ३x − १० = (x − ५)(x + २) = ० : x = ५, −२.

नियम 2 : समान मुळे — पूर्ण वर्ग एकच मूळ दोनदा देतो.

  • सोपे : x² + ६x + ९ = (x + ३)² = ० : x = −३ दोनदा.
  • मध्यम : x² − ८x + १६ = (x − ४)² = ० : x = ४ दोनदा.
  • परीक्षेसाठी : पडताळा : (−३)² + ६(−३) + ९ = ० ✓.
लक्षात ठेवा

(x + ३) हा कंस −३ हे मूळ देतो, चिन्ह उलटे.

सामान्य चूक

मूळ कंसातल्याच चिन्हाने लिहिणे.

आठवणीची युक्ती

"कंस शून्य, चिन्ह उलटे."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1x² − 2x − 24 = 0 अवयव पाडून सोडवा. मुळांची बेरीज शोधा.
  2. 2x² − 9x + 14 = 0 अवयव पाडून सोडवा. लहान मूळ शोधा.
  3. 3x² − 10x + 16 = 0 अवयव पाडून सोडवा. मुळांचा गुणाकार शोधा.
मध्यम
  1. 4x² + 5x − 36 = 0 अवयव पाडून सोडवा. मोठे मूळ शोधा.
  2. 5x² − x − 30 = 0 अवयव पाडून सोडवा. मोठे मूळ शोधा.
  3. 6x² − 13x + 12 = 0 अवयव पाडून सोडवा. मुळांचा गुणाकार शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7x² + 9x − 22 = 0 अवयव पाडून सोडवा. मुळांतील धन फरक शोधा.
  2. 8x² + 4x − 12 = 0 अवयव पाडून सोडवा. मुळांची बेरीज शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 12
  2. 22
  3. 316
  4. 44
  5. 56
  6. 612
  7. 713
  8. 8−4

a ≠ १ असताना व अपूर्ण समीकरणे

रोजच्या जीवनातून

२x² सारखा आघाडीचा अंक असेल तर जोडीचा गुणाकार a × c. एखादे पद नसलेली समीकरणे आणखी जलद.

सोपी व्याख्या

a ≠ १ साठी गुणाकार ac व बेरीज b असणारे अंक शोधा. अपूर्ण समीकरण : ax² + bx = ० ⇒ x(ax + b) = ०; ax² + c = ० ⇒ x² = −c/a.

2x² − 7x + 3ac = 6−1 and −62x²−x−6x+3(2x−1)(x−3)

आकृतीत : २x² − ७x + ३ = ० : (२x − १)(x − ३) = ०, म्हणून x = १/२ किंवा ३.

नियम 1 : a ≠ १ — ac वापरा, मग जोडीजोडीने सामाईक अवयव.

  • सोपे : २x² − ७x + ३ = ० : x = १/२, ३.
  • मध्यम : ६x² − x − २ = ० : (३x − २)(२x + १) = ०, x = २/३, −१/२.
  • परीक्षेसाठी : पडताळा : २(१/२)² − ७(१/२) + ३ = ० ✓.

नियम 2 : अपूर्ण समीकरणे — स्थिरांक नाही : x सामाईक काढा. मधले पद नाही : वर्गमूळ घ्या.

  • सोपे : x² − ४x = ० ⇒ x(x − ४) = ० : x = ०, ४.
  • मध्यम : ३x² − १२ = ० ⇒ x² = ४ : x = ±२.
  • परीक्षेसाठी : x ने भागू नका : मूळ ० हरवेल.
लक्षात ठेवा

पुढे जाण्यापूर्वी निवडलेले दोन अंक योग्य मधला सहगुणक देतात का ते पाहा.

सामान्य चूक

x² = ४x मध्ये दोन्ही बाजू x ने भागणे; x = ० हे मूळ हरवते.

आठवणीची युक्ती

"गुणाकार ac, बेरीज b; स्थिरांक नसेल तर x सामाईक."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 16x² − 96 = 0 ची मुळे
  2. 2x² = 36 ची मुळे
  3. 3x² = 81 ची मुळे
मध्यम
  1. 4x² = 121 ची मुळे
  2. 5x² = 169 ची मुळे
  3. 6x² = 6x ची मुळे
आव्हानात्मक
  1. 7x² = 144 ची मुळे
  2. 8x² = 100 ची मुळे
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14 आणि −4
  2. 26 आणि −6
  3. 39 आणि −9
  4. 411 आणि −11
  5. 513 आणि −13
  6. 60 आणि 6
  7. 712 आणि −12
  8. 810 आणि −10

अवयव पद्धतीने सुटणारी उदाहरणे

रोजच्या जीवनातून

कथेवरून समीकरण मांडा, अवयव पाडा आणि अर्थपूर्ण मूळच ठेवा : लांबी व वय ऋण असू शकत नाहीत.

सोपी व्याख्या

सोडवल्यावर प्रसंगाला न जुळणारी मुळे नाकारा (ऋण लांबी, वय किंवा संख्या) आणि एककांसह शब्दांत उत्तर लिहा.

formequationfactoriserootsrejectand answer

आकृतीत : क्रमागत पूर्णांकांचा गुणाकार ३०६ : x² + x − ३०६ = ०, (x + १८)(x − १७) = ०, म्हणून १७ आणि १८.

नियम 1 : संख्या — संख्या धन हव्यात तर ऋण मूळ नाकारा.

  • सोपे : x² + x − ३०६ = ० : x = १७ (−१८ नाकारा); संख्या १७ आणि १८.
  • मध्यम : क्रमागत सम संख्यांचा गुणाकार १६८ : (x + १४)(x − १२) = ० : १२ आणि १४.
  • परीक्षेसाठी : संख्या अधिक तिचा वर्ग १२ : (x + ४)(x − ३) = ० : ३ किंवा −४.

नियम 2 : भूमिती — लांबी धन हवी.

  • सोपे : लांबी = रुंदी + ३, क्षेत्रफळ ४० : b² + ३b − ४० = ०, (b + ८)(b − ५) = ० : रुंदी ५ m, लांबी ८ m.
  • मध्यम : संख्या अधिक व्यस्त १०/३ : (३x − १)(x − ३) = ० : x = ३ किंवा १/३.
  • परीक्षेसाठी : b = −८ नाकारा : लांबी ऋण नसते.
लक्षात ठेवा

प्रत्येक मूळ फक्त समीकरणात नव्हे, कथेतही तपासा.

सामान्य चूक

ऋण लांबीसह दोन्ही मुळे उत्तर म्हणून लिहिणे.

आठवणीची युक्ती

"मांडा, अवयव पाडा, न जुळणारे नाकारा."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दोन क्रमागत धन विषम पूर्णांक यांचा गुणाकार 35 आहे. लहान पूर्णांक शोधा.
  2. 2दोन क्रमागत धन पूर्णांक यांचा गुणाकार 156 आहे. मोठा पूर्णांक शोधा.
  3. 3दोन क्रमागत धन पूर्णांक यांचा गुणाकार 600 आहे. मोठा पूर्णांक शोधा.
मध्यम
  1. 4मीराच्या 4 वर्षांपूर्वीचे वय आणि 2 वर्षांनंतरचे वय यांचा गुणाकार 567 आहे. तिचे आजचे वय (वर्षांत) शोधा.
  2. 5एक गाडी 75 km अंतर एकसमान वेगाने कापते. तिचा वेग ताशी 20 km जास्त असता तर तिला 1 तास कमी लागले असते. तिचा वेग (km/तास) शोधा.
  3. 6दोन धन संख्यांची बेरीज 34 आणि गुणाकार 285 आहे. लहान संख्या शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7मीराच्या 2 वर्षांपूर्वीचे वय आणि 4 वर्षांनंतरचे वय यांचा गुणाकार 952 आहे. तिचे आजचे वय (वर्षांत) शोधा.
  2. 8काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 20 cm असून एक बाजू दुसरीपेक्षा 4 cm मोठी आहे. या दोन बाजूंपैकी लहान बाजू (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15
  2. 213
  3. 325
  4. 425
  5. 530
  6. 615
  7. 730
  8. 812

मुळे, अवयव व समीकरण मांडणे

रोजच्या जीवनातून

उलट दिशेने : मुळे माहीत असतील तर अवयव आणि समीकरण लगेच मिळते.

सोपी व्याख्या

मुळे p आणि q असतील तर समीकरण (x − p)(x − q) = ०, म्हणजे x² − (p + q)x + pq = ०. अपूर्णांक असतील तर छेद घालवा.

सूत्र : x² − (p + q)x + pq = ०

roots 2, −3(x − 2)(x + 3) = 0x² + x − 6 = 0

आकृतीत : मुळे २ आणि −३ : (x − २)(x + ३) = ०, म्हणून x² + x − ६ = ०.

नियम 1 : मुळांवरून समीकरण — दोन कंस गुणा व आवरा.

  • सोपे : मुळे १/२ आणि −१ : (२x − १)(x + १) = ० ⇒ २x² + x − १ = ०.
  • मध्यम : समान मुळे ४, ४ : x² − ८x + १६ = ०.
  • परीक्षेसाठी : मुळे ५ आणि −५ : x² − २५ = ०.

नियम 2 : बेरीज व गुणाकाराने तपासा — मुळांची बेरीज −b/a व गुणाकार c/a.

  • सोपे : २x² + x − १ = ० : बेरीज −१/२ ✓, गुणाकार −१/२ ✓.
  • मध्यम : x² − ८x + १६ = ० : बेरीज ८ ✓, गुणाकार १६ ✓.
  • परीक्षेसाठी : समीकरणाचा कोणताही शून्येतर पट तीच मुळे देतो.
लक्षात ठेवा

तीच मुळे अनेक समीकरणांतून मिळतात : कोणत्याही शून्येतर स्थिरांकाने गुणा.

सामान्य चूक

मुळे p व q साठी (x + p)(x + q) लिहिणे.

आठवणीची युक्ती

"मुळे p, q : अवयव (x − p)(x − q)."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1कोणत्या वर्ग समीकरणाची (x² चा सहगुणक 1) मुळे −7 आणि −6 आहेत?
  2. 2कोणत्या वर्ग समीकरणाची (x² चा सहगुणक 1) मुळे −5 आणि −2 आहेत?
  3. 3कोणत्या वर्ग समीकरणाची (x² चा सहगुणक 1) मुळे 3 आणि 9 आहेत?
मध्यम
  1. 4कोणत्या वर्ग समीकरणाची (x² चा सहगुणक 1) मुळे 4 आणि −1 आहेत?
  2. 5कोणत्या वर्ग समीकरणाची (x² चा सहगुणक 1) मुळे 6 आणि −1 आहेत?
  3. 6α आणि β ही x² − 3x + 2 = 0 ची मुळे असतील तर α² + β² शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7α आणि β ही x² + x − 56 = 0 ची मुळे असतील तर (α − β)² शोधा.
  2. 8α आणि β ही x² + 17x + 72 = 0 ची मुळे असतील तर α² + β² शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1x² + 13x + 42 = 0
  2. 2x² + 7x + 10 = 0
  3. 3x² − 12x + 27 = 0
  4. 4x² − 3x − 4 = 0
  5. 5x² − 5x − 6 = 0
  6. 65
  7. 7225
  8. 8145