विवेचक काढणे
डॉक्टर तब्येत ठरवण्यास एक आकडा मोजतो. वर्ग समीकरणासाठी एक आकडा, विवेचक, मुळांचे वर्तन सांगतो.
ax² + bx + c = ० साठी विवेचक D = b² − ४ac. a, b, c ची चिन्हे घेऊन काढा.
सूत्र : D = b² − ४ac
आकृतीत : x² − ५x + ६ = ० : a = १, b = −५, c = ६, म्हणून D = २५ − २४ = १.
नियम 1 : D काढा — आधी b चा वर्ग, मग ४ac वजा.
- सोपे : २x² − ४x + ३ = ० : D = १६ − २४ = −८.
- मध्यम : x² − ६x + ९ = ० : D = ३६ − ३६ = ०.
- परीक्षेसाठी : ३x² + २x − १ = ० : D = ४ + १२ = १६.
नियम 2 : आधी प्रमाण रूप — a, b, c वाचण्यापूर्वी उजवी बाजू ० करा.
- सोपे : x² = ४x − ४ ⇒ x² − ४x + ४ = ० : D = १६ − १६ = ०.
- मध्यम : २x² = ५x + ३ ⇒ २x² − ५x − ३ = ० : D = २५ + २४ = ४९.
- परीक्षेसाठी : x² − ९ = ० : b = ०, D = ० + ३६ = ३६.
a व c ची चिन्हे विरुद्ध असतील तर −४ac धन, म्हणून D धन.
b = −५ साठी b² = −२५ घेणे; वर्ग नेहमी धन.
"b वर्ग वजा चार a c."
सरावासाठी प्रश्न
- 1−5x² − 5x − 4 = 0 चा विवेचक
- 2−4x² + 7x + 5 = 0 चा विवेचक
- 33x² + 9x − 7 = 0 चा विवेचक
- 42x² − 7x − 3 = 0 चा विवेचक
- 5−3x² + 5x + 3 = 0 चा विवेचक
- 6−x² + 5x + 9 = 0 चा विवेचक
- 7−x² + 3x + 3 = 0 चा विवेचक
- 84x² − 9x − 4 = 0 चा विवेचक
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−55
- 2129
- 3165
- 473
- 561
- 661
- 721
- 8145
विवेचकावरून मुळांचे स्वरूप
D चे चिन्ह सिग्नलसारखे : धन म्हणजे दोन मुळे, शून्य म्हणजे एकच पुनरावृत्त मूळ, ऋण म्हणजे वास्तव मूळ नाही.
D > ० : दोन भिन्न वास्तव मुळे. D = ० : दोन समान वास्तव मुळे. D < ० : वास्तव मुळे नाहीत.
सूत्र : D > ०: २ मुळे; D = ०: १ मूळ; D < ०: नाही
आकृतीत : x² − ५x + ६ चा D = १ > ० (मुळे २, ३); x² − ६x + ९ चा D = ० (३ दोनदा); २x² − ४x + ३ चा D = −८ < ० (वास्तव मूळ नाही).
विवेचकावरून मुळांचे स्वरूप
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : स्वरूप ठरवा — D काढा, मग चिन्ह वापरा.
- सोपे : x² + x + १ = ० : D = १ − ४ = −३ < ०, वास्तव मुळे नाहीत.
- मध्यम : x² − ४x + ४ = ० : D = ०, समान मुळे.
- परीक्षेसाठी : २x² − ७x + ३ = ० : D = ४९ − २४ = २५ > ०, भिन्न मुळे.
नियम 2 : परिमेय की नाही — D पूर्ण वर्ग असेल तर मुळे परिमेय.
- सोपे : D = २५ (पूर्ण वर्ग) : मुळे परिमेय.
- मध्यम : D = ८ : मुळांत √८, अपरिमेय.
- परीक्षेसाठी : D = ० : एकच मूळ परिमेय : −b/२a.
निष्कर्ष नेहमी शब्दांत लिहा, फक्त D चे चिन्ह नको.
D < ० म्हणजे "मुळे नाहीत" असे म्हणणे; त्याचा अर्थ वास्तव मुळे नाहीत.
"धन दोन, शून्य एक, ऋण एकही नाही."
सरावासाठी प्रश्न
- 1x² + 5x + 9 = 0 च्या मुळांचे स्वरूप कोणते?
- 2x² − 6x + 9 = 0 च्या मुळांचे स्वरूप कोणते?
- 32x² + 4x + 2 = 0 च्या मुळांचे स्वरूप कोणते?
- 4−3x² − 6x − 3 = 0 च्या मुळांचे स्वरूप कोणते?
- 5−3x² + 2x − 2 = 0 च्या मुळांचे स्वरूप कोणते?
- 6−3x² − 8x − 2 = 0 च्या मुळांचे स्वरूप कोणते?
- 72x² + 9x − 7 = 0 ला सिद्ध करणाऱ्या x च्या किती भिन्न वास्तव किमती आहेत?
- 8−2x² − 6x − 9 = 0 ला सिद्ध करणाऱ्या x च्या किती भिन्न वास्तव किमती आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1वास्तव मुळे नाहीत
- 2दोन समान वास्तव मुळे
- 3दोन समान वास्तव मुळे
- 4दोन समान वास्तव मुळे
- 5वास्तव मुळे नाहीत
- 6दोन भिन्न वास्तव मुळे
- 72
- 80
मुळांच्या स्वरूपासाठी k शोधणे
मुळांविषयी अट दिली असेल तर ती D च्या अटीत बदला, मग k साठी सोडवा.
D k च्या रूपात लिहा. समान मुळे : D = ०. वास्तव मुळे : D ≥ ०. भिन्न वास्तव मुळे : D > ०. वास्तव मुळे नाहीत : D < ०. समीकरण किंवा असमानता सोडवा.
आकृतीत : x² + kx + ९ = ० ला समान मुळे : k² − ३६ = ०, म्हणून k = ±६.
नियम 1 : समान मुळे (D = ०) — D = ० मांडून सोडवा.
- सोपे : x² + kx + ९ = ० : k² − ३६ = ०, k = ±६.
- मध्यम : २x² − kx + ८ = ० : k² − ६४ = ०, k = ±८.
- परीक्षेसाठी : kx² − २kx + ६ = ० : ४k² − २४k = ०, k = ६ (k ≠ ०).
नियम 2 : वास्तव किंवा नसलेली मुळे — k साठी असमानता सोडवा.
- सोपे : x² + ४x + k = ० ला वास्तव मुळे : १६ − ४k ≥ ०, k ≤ ४.
- मध्यम : x² − २x + k = ० ला वास्तव मुळे नाहीत : ४ − ४k < ०, k > १.
- परीक्षेसाठी : x² + ६x + k = ० ला भिन्न मुळे : ३६ − ४k > ०, k < ९.
a = ० करणारा k वगळा आणि ऋण संख्येने भागताना असमानतेचे चिन्ह उलटा.
−४ ने भागताना असमानतेचे चिन्ह न उलटणे.
"D k मध्ये लिहा, अट मांडा, सोडवा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1kx² + 4x + 1 = 0 ला दोन समान मुळे असण्यासाठी k ची किंमत शोधा.
- 2x² − 10x + k = 0 ला समान मुळे असण्यासाठी k ची किंमत किती?
- 3kx² − 4x + 2 = 0 ला दोन समान मुळे असण्यासाठी k ची किंमत शोधा.
- 4x² + 2x + k = 0 ला समान मुळे असण्यासाठी k ची किंमत किती?
- 5x² + 4x + k = 0 ला समान मुळे असण्यासाठी k ची किंमत किती?
- 6x² − 8x + k = 0 ला समान मुळे असण्यासाठी k ची किंमत किती?
- 7x² + 2x + k = 0 ला दोन भिन्न वास्तव मुळे असण्यासाठी k च्या कोणत्या किमती योग्य?
- 8x² + 6x + k = 0 ला वास्तव मुळे असण्यासाठी k च्या कोणत्या किमती योग्य?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14
- 225
- 32
- 41
- 54
- 616
- 7k < 1
- 8k ≤ 9
सूत्राने मुळे काढणे
अवयव पाडणे अवघड असेल तेव्हा एकच सूत्र नेहमी दोन्ही मुळे देते.
वर्ग सूत्र : x = (−b ± √D) / २a, D = b² − ४ac. D = ० असेल तर दोन्ही मुळे सारखी, x = −b/२a. D < ० असेल तर वास्तव मूळ नाही.
सूत्र : x = (−b ± √(b² − ४ac)) / २a
आकृतीत : x² − ५x + ६ = ० : D = १, x = (५ ± १)/२ = ३ किंवा २.
नियम 1 : सूत्र वापरा — चिन्हांसह a, b, c घाला, मग मूळ सोपे करा.
- सोपे : २x² − ७x + ३ = ० : D = २५, x = (७ ± ५)/४ = ३ किंवा १/२.
- मध्यम : x² + २x − १ = ० : D = ८, x = (−२ ± √८)/२ = −१ ± √२.
- परीक्षेसाठी : x² − ६x + ९ = ० : D = ०, x = ६/२ = ३ (दोनदा).
नियम 2 : मुळे तपासा — बेरीज −b/a व गुणाकार c/a वापरा.
- सोपे : २x² − ७x + ३ : मुळे ३, १/२ : बेरीज ७/२ ✓, गुणाकार ३/२ ✓.
- मध्यम : x² + २x − १ : बेरीज −२ ✓, गुणाकार (−१+√२)(−१−√२) = १ − २ = −१ ✓.
- परीक्षेसाठी : एक मूळ समीकरणात परत घाला.
सूत्रासाठी समीकरण प्रमाण रूपात, उजवी बाजू ०, हवे.
अंशाचा फक्त काही भाग २a ने भागणे, उदा. −b ± √D / २a.
"वजा b अधिक-वजा मूळ D, भागिले दोन a."
सरावासाठी प्रश्न
- 1ax² + bx + c = 0 साठी वर्ग सूत्र x =
- 2सूत्र वापरून 12x² − 26x − 16 = 0 चे मोठे मूळ शोधा.
- 3x² + 8x + 1 = 0 च्या मुळांची बेरीज किती?
- 43x² + 3x − 8 = 0 च्या मुळांची बेरीज किती?
- 52x² + 3x − 9 = 0 च्या मुळांची गुणाकार किती?
- 6सूत्र वापरून 4x² + 2x − 6 = 0 चे लहान मूळ शोधा.
- 76x² − 4x − 1 = 0 च्या मुळांची बेरीज किती?
- 85x² − 5x + 1 = 0 च्या मुळांची गुणाकार किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- 28/3
- 3−8
- 4−1
- 5−9/2
- 6−3/2
- 72/3
- 81/5
अस्तित्वाविषयीचे प्रश्न
दिलेली परिमिती व क्षेत्रफळ असलेले उद्यान शक्य आहे का? समीकरण मांडा आणि D ला होय-नाही सांगू द्या.
प्रसंग शक्य आहे का ते ठरवण्यास वर्ग समीकरण मांडा, D काढा. D ≥ ० तर वास्तव किंमती आहेत; D < ० तर शक्य नाही. मुळे अर्थपूर्ण (धन लांबी) आहेत ते तपासा.
आकृतीत : परिमिती ८० m व क्षेत्रफळ ४०० m² चे उद्यान : x² − ४०x + ४०० = ०, D = ०, म्हणून शक्य; लांबी = रुंदी = २० m.
नियम 1 : शक्य की नाही? — उत्तर देण्यास D चे चिन्ह वापरा.
- सोपे : परिमिती ८० m, क्षेत्रफळ ८०० m² : x² − ४०x + ८०० = ०, D = १६०० − ३२०० < ०: शक्य नाही.
- मध्यम : दोन संख्यांची बेरीज १० व गुणाकार ३० : x² − १०x + ३० = ०, D = १०० − १२० < ०: शक्य नाही.
- परीक्षेसाठी : बेरीज १० व गुणाकार २१ : D = १०० − ८४ = १६ > ०, संख्या ३ आणि ७.
नियम 2 : किंमती शोधा — शक्य असेल तर सोडवा आणि अर्थपूर्ण मुळेच ठेवा.
- सोपे : (x − २०)² = ० : लांबी २० m, रुंदी २० m (चौरस).
- मध्यम : बेरीज १०, गुणाकार २१ : (x − ३)(x − ७) = ०.
- परीक्षेसाठी : निष्कर्ष नेहमी वाक्यात लिहा.
D = ० म्हणजे नेमका एक उपाय (समान मुळे), बहुधा चौरस किंवा दोन समान संख्या.
D = ० असताना "शक्य नाही" म्हणणे; D = ० मध्येही वैध उत्तर मिळते.
"D ऋण नसेल तर अस्तित्व आहे."
सरावासाठी प्रश्न
- 1परिमिती 46 cm आणि क्षेत्रफळ 135 cm² असलेला आयत शक्य आहे का?
- 2x + 1/x = 4 असे x ≠ 0 असलेली वास्तव संख्या आहे का?
- 3परिमिती 50 cm आणि क्षेत्रफळ 154 cm² असलेला आयत शक्य आहे का?
- 4परिमिती 14 cm आणि क्षेत्रफळ 14 cm² असलेला आयत शक्य आहे का?
- 5x + 1/x = 0 असे x ≠ 0 असलेली वास्तव संख्या आहे का?
- 6परिमिती 52 cm आणि क्षेत्रफळ 176 cm² असलेला आयत शक्य आहे का?
- 7बेरीज 13 आणि गुणाकार 44 असलेल्या दोन वास्तव संख्या अस्तित्वात आहेत का?
- 8बेरीज 12 आणि गुणाकार 47 असलेल्या दोन वास्तव संख्या अस्तित्वात आहेत का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नाही
- 2होय
- 3होय
- 4नाही
- 5नाही
- 6नाही
- 7नाही
- 8नाही