वर्ग समीकरण ओळखणे
x बाजूच्या चौरस भूखंडाचे क्षेत्रफळ x². क्षेत्रफळ आणि गुणाकार असले की अज्ञाताचा वर्ग असलेली समीकरणे येतात.
x मधील वर्ग समीकरण ax² + bx + c = ०, a ≠ ०, या रूपात लिहिता येते. x चा सर्वोच्च घात २.
सूत्र : ax² + bx + c = ०, a ≠ ०
आकृतीत : x² − ५x + ६ = ० वर्ग समीकरण; २x + ३ = ० नाही (सर्वोच्च घात १).
नियम 1 : होय की नाही? — आधी सोडवून सोपे करा; मग सर्वोच्च घात पाहा.
- सोपे : x(x + २) = ३ ⇒ x² + २x − ३ = ० : वर्ग समीकरण.
- मध्यम : (x + १)² = २x ⇒ x² + १ = ० : वर्ग समीकरण.
- परीक्षेसाठी : x³ − x = ० चा घात ३ : वर्ग समीकरण नाही.
नियम 2 : लपलेली रेषीय समीकरणे — x² पदे वजा झाली तर समीकरण रेषीय.
- सोपे : x² + ३x = x² − ५ : ३x = −५, रेषीय.
- मध्यम : (x − २)² = x² + ४ : −४x + ४ = ४ ⇒ x = ०, रेषीय.
- परीक्षेसाठी : x² = ९ वर्ग समीकरण (x = ±३).
घात ठरवण्यापूर्वी सर्व पदे डावीकडे आणा.
x² पदे वजा होत असूनही x(x + २) = x² − ३ ला वर्ग समीकरण म्हणणे.
"अज्ञाताचा वर्ग, त्यापेक्षा जास्त नाही."
सरावासाठी प्रश्न
- 1(x − 9)(x − 3) = −9 हे x मधील वर्ग समीकरण आहे का?
- 2(x − 3)² = −3 हे x मधील वर्ग समीकरण आहे का?
- 36x² + 9 = −2x हे x मधील वर्ग समीकरण आहे का?
- 4x(x + 8) = 1 हे x मधील वर्ग समीकरण आहे का?
- 5x(x + 4) = 6 हे x मधील वर्ग समीकरण आहे का?
- 6x² + 5x = 2 हे x मधील वर्ग समीकरण आहे का?
- 7(x + 2)² = x हे समीकरण सोपे केल्यावर त्याची घात किती?
- 8(x − 7)² = x² + 4 हे समीकरण सोपे केल्यावर त्याची घात किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 2होय
- 3होय
- 4होय
- 5होय
- 6होय
- 72
- 81
प्रमाण रूप व सहगुणक
समीकरणांची तुलना करायला सर्व एकाच क्रमात लिहितात : x² चे पद, x चे पद, स्थिरांक.
सर्व पदे एका बाजूला आणून ax² + bx + c = ० मिळवा. मग a x² चा, b x चा सहगुणक आणि c स्थिरांक. चिन्हे ठेवा.
आकृतीत : ३x² = ५x − २ चे ३x² − ५x + २ = ०, a = ३, b = −५, c = २.
नियम 1 : प्रमाण रूपात लिहा — सर्व डावीकडे आणा; क्रम x², x, स्थिरांक.
- सोपे : x(x − ४) = ५ ⇒ x² − ४x − ५ = ०.
- मध्यम : २x² = ७ ⇒ २x² − ७ = ०.
- परीक्षेसाठी : (x + ३)² = १६ ⇒ x² + ६x − ७ = ०.
नियम 2 : a, b, c वाचा — प्रत्येक चिन्ह त्याच्या संख्येसोबत घ्या; नसलेल्या पदाचा सहगुणक ०.
- सोपे : x² − ४x − ५ = ० : a = १, b = −४, c = −५.
- मध्यम : २x² − ७ = ० : a = २, b = ०, c = −७.
- परीक्षेसाठी : x² + ३x = ० : a = १, b = ३, c = ०.
x किंवा स्थिरांकाचे पद नसणे म्हणजे b = ० किंवा c = ०, समीकरण वर्ग नसणे नव्हे.
पदे पलीकडे नेल्यावर b किंवा c चे चिन्ह गाळणे.
"सर्व एका बाजूला, चिन्हे तशीच."
सरावासाठी प्रश्न
- 1−7x² + 2x − 8 = 0 या वर्ग समीकरणात स्थिर पद
- 2−5x² + 9x − 1 = 0 या वर्ग समीकरणात स्थिर पद
- 37x² − 9x − 1 = 0 या वर्ग समीकरणात x² चा सहगुणक
- 42x² − 9x − 5 = 0 या वर्ग समीकरणात x चा सहगुणक
- 5−2x² − 9x − 3 = 0 या वर्ग समीकरणात स्थिर पद
- 6−6x² − 6x − 4 = 0 या वर्ग समीकरणात x चा सहगुणक
- 7x² − 7x + 3 = 0 या वर्ग समीकरणात x² चा सहगुणक
- 8−7x² + 9x − 3 = 0 या वर्ग समीकरणात स्थिर पद
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−8
- 2−1
- 37
- 4−9
- 5−3
- 6−6
- 71
- 8−3
प्रसंगावरून समीकरण मांडणे
भूखंड, वय आणि संख्या : जोडलेल्या दोन राशींचा गुणाकार दिला की वर्ग समीकरण मिळते.
अज्ञात x घ्या, दुसरी राशी x च्या रूपात लिहा, गुणाकार किंवा संबंध मांडा आणि ax² + bx + c = ० रूपात आणा.
आकृतीत : दोन क्रमागत पूर्णांकांचा गुणाकार ३०६ : x(x + १) = ३०६, म्हणून x² + x − ३०६ = ०.
नियम 1 : संख्या — क्रमागत संख्या : x आणि x + १ (सम किंवा विषमसाठी x + २).
- सोपे : क्रमागत सम संख्यांचा गुणाकार १६८ : x² + २x − १६८ = ०.
- मध्यम : संख्या अधिक तिचा वर्ग १२ : x² + x − १२ = ०.
- परीक्षेसाठी : संख्या अधिक तिचा व्यस्त १०/३ : ३x² − १०x + ३ = ०.
नियम 2 : क्षेत्रफळे — क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी.
- सोपे : लांबी रुंदीपेक्षा ३ m जास्त, क्षेत्रफळ ४० m² : x(x + ३) = ४०, x² + ३x − ४० = ०.
- मध्यम : x बाजूच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ ४९ : x² − ४९ = ०.
- परीक्षेसाठी : १० m × १० m बागेभोवती x रुंदीची वाट : (१० + २x)² = १९६.
समीकरण सोडवल्यावर कथेला कोणते मूळ जुळते ते कळेल, पण आधी ते बरोबर मांडा.
सामान्य पूर्णांकांसाठी क्रमागत संख्या x आणि x + २ लिहिणे.
"x नाव द्या, दुसरे x मध्ये, गुणा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 5 मी जास्त असून क्षेत्रफळ 374 मी² आहे. रुंदी x मीटर मानल्यास समीकरण
- 2आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 3 मी जास्त असून क्षेत्रफळ 10 मी² आहे. रुंदी x मीटर मानल्यास समीकरण
- 3आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 1 मी जास्त असून क्षेत्रफळ 342 मी² आहे. रुंदी x मीटर मानल्यास समीकरण
- 4दोन क्रमागत धन पूर्णांकांचा गुणाकार 272 आहे. लहान संख्या x मानली तर समीकरण
- 5आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 3 मी जास्त असून क्षेत्रफळ 378 मी² आहे. रुंदी x मीटर मानल्यास समीकरण
- 6दोन क्रमागत धन पूर्णांकांचा गुणाकार 30 आहे. लहान संख्या x मानली तर समीकरण
- 7आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 4 मी जास्त असून क्षेत्रफळ 96 मी² आहे. रुंदी x मीटर मानल्यास समीकरण
- 8आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 3 मी जास्त असून क्षेत्रफळ 418 मी² आहे. रुंदी x मीटर मानल्यास समीकरण
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x² + 5x − 374 = 0
- 2x² + 3x − 10 = 0
- 3x² + x − 342 = 0
- 4x² + x − 272 = 0
- 5x² + 3x − 378 = 0
- 6x² + x − 30 = 0
- 7x² + 4x − 96 = 0
- 8x² + 3x − 418 = 0
मुळे व दिलेली संख्या मूळ आहे का ते तपासणे
चावी कुलुपात फिरली तर बसते. संख्या समीकरणात घातल्यावर दोन्ही बाजू समान झाल्या तर ती बसते.
समीकरणाची मुळे म्हणजे ज्या x च्या किमतींनी ते खरे ठरते. वर्ग समीकरणाला जास्तीत जास्त दोन मुळे. संख्या तपासण्यास ती घाला आणि डावी बाजू ० होते का पाहा.
आकृतीत : x² − ५x + ६ = ० साठी : x = २ → ४ − १० + ६ = ० ✓, x = ३ → ० ✓, पण x = १ → २ ✗.
मुळे व दिलेली संख्या मूळ आहे का ते तपासणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : मूळ आहे का? — घाला आणि हिशोब करा.
- सोपे : x² − १ = ०, x = −१ : १ − १ = ० ✓ मूळ.
- मध्यम : २x² − ३x − २ = ०, x = २ : ८ − ६ − २ = ० ✓ मूळ.
- परीक्षेसाठी : x² − ४x + ३ = ०, x = २ : ४ − ८ + ३ = −१ ✗ मूळ नाही.
नियम 2 : वास्तव मुळे नाहीत — काही समीकरणे कोणत्याही वास्तव x साठी खरी नसतात.
- सोपे : x² + ४ = ० : x² = −४ अशक्य, वास्तव मूळ नाही.
- मध्यम : x² = ९ ची मुळे ३ आणि −३.
- परीक्षेसाठी : x² = ० चे एकच मूळ ० (दोनदा मोजलेले).
वर्ग समीकरणाचे मूळ म्हणजे बहुपदी ax² + bx + c चे शून्यक.
मूळ फक्त प्रश्नाच्या शब्दांत तपासणे, समीकरणात नव्हे.
"घाला; शून्य आले तर मूळ."
सरावासाठी प्रश्न
- 1x = 8 हे x² − 15x + 56 = 0 चे मूळ आहे का?
- 2x = 7 हे x² + 2x − 63 = 0 चे मूळ आहे का?
- 3x² − 9 = 0 ला किती वास्तव मुळे आहेत?
- 4x = −3 हे x² + 5x + 6 = 0 चे मूळ आहे का?
- 5x = 5 हे x² − 7x + 6 = 0 चे मूळ आहे का?
- 6x² − 12x + 36 = 0 ला किती वास्तव मुळे आहेत?
- 7x² + 4 = 0 ला किती वास्तव मुळे आहेत?
- 8x² − 36 = 0 ला किती वास्तव मुळे आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 2होय
- 32
- 4होय
- 5नाही
- 61
- 70
- 82
अज्ञात स्थिरांक व a ≠ ० ही अट
मूळ दिले असेल तर समीकरणातील गाळलेली संख्या काढता येते. आणि x² चे पद नाहीसे होऊ नये, नाहीतर ते वर्ग राहत नाही.
दिलेले मूळ घालून अज्ञात स्थिरांक काढता येतो. ax² + bx + c = ० वर्ग असण्यास x² चा सहगुणक ० नसावा.
आकृतीत : x = १ हे x² + kx − ६ = ० चे मूळ तर १ + k − ६ = ०, म्हणून k = ५.
नियम 1 : स्थिरांक काढा — मूळ घाला, मग लहान समीकरण सोडवा.
- सोपे : x = २ हे ३x² − x + k = ० चे मूळ : १२ − २ + k = ०, k = −१०.
- मध्यम : x = −१ हे x² + ३x + k = ० चे मूळ : १ − ३ + k = ०, k = २.
- परीक्षेसाठी : x = ३ हे x² − kx + ६ = ० चे मूळ : ९ − ३k + ६ = ०, k = ५.
नियम 2 : a ≠ ० ही अट — x² चे पद नाहीसे करणारा k शोधा व वगळा.
- सोपे : (k − २)x² + ३x + १ = ० वर्ग असण्यास k ≠ २.
- मध्यम : kx² − ५x + २ = ० साठी k ≠ ०.
- परीक्षेसाठी : k = २ घेतल्यास पहिले ३x + १ = ० , रेषीय.
k ची अंतिम किंमत मूळ समीकरणात तपासा.
a = ० करणारा k वगळायला विसरणे.
"मूळ घाला, k काढा; a शून्य नको."
सरावासाठी प्रश्न
- 1k च्या कोणत्या किमतीला (k + 4)x² + 5x + 3 = 0 हे वर्ग समीकरण राहत नाही?
- 2k च्या कोणत्या किमतीला (k + 9)x² + 4x − 6 = 0 हे वर्ग समीकरण राहत नाही?
- 3k च्या कोणत्या किमतीला (k + 1)x² − 4x − 4 = 0 हे वर्ग समीकरण राहत नाही?
- 4x = −1 हे kx² − 9x + 5 = 0 चे मूळ असेल तर k शोधा.
- 5x = 5 हे x² + 2x + k = 0 चे मूळ असेल तर k शोधा.
- 6x = 9 आणि x = 8 ही x² + px + q = 0 ची मुळे असतील तर q ची किंमत शोधा.
- 7x = −8 आणि x = −3 ही x² + px + q = 0 ची मुळे असतील तर p ची किंमत शोधा.
- 8x² − 7x + k = 0 चे एक मूळ 4 आहे. दुसरे मूळ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−4
- 2−9
- 3−1
- 4−14
- 5−35
- 672
- 711
- 83