गुणक निवडणे व चल काढून टाकणे
दोन बिलांतील एक वस्तू घालवायची तर तिचे प्रमाण समान करा, मग बिले वजा करा.
चल काढून टाकण्यास समीकरणे योग्य संख्यांनी गुणा म्हणजे त्याचे गुणक समान आकाराचे होतील. चिन्हे सारखी असतील तर वजा, विरुद्ध असतील तर बेरीज करा.
आकृतीत : २x + ३y = ८ आणि ३x + २y = ७ : ३ ने व २ ने गुणून दोन्हीत ६x, मग वजा : ५y = १०, y = २, x = १.
नियम 1 : गुणक निवडा — ज्यासाठी लहान गुणक लागतात तो चल निवडा.
- सोपे : x + y = ५ आणि x − y = १ : गुणक नको, बेरीज : २x = ६.
- मध्यम : ३x + २y = १२ आणि x + y = ५ : दुसरे २ ने गुणून वजा : x = २, y = ३.
- परीक्षेसाठी : ५x − ३y = ७ आणि २x + y = ५ : दुसरे ३ ने गुणून बेरीज : ११x = २२, x = २, y = १.
नियम 2 : बेरीज की वजाबाकी — चिन्हे सारखी : वजा. विरुद्ध : बेरीज.
- सोपे : ३x + २y आणि x − २y : विरुद्ध चिन्हे, बेरीज.
- मध्यम : ४x + ३y आणि २x + ३y : सारखी चिन्हे, वजा.
- परीक्षेसाठी : ऋण पद वजा केले की त्याचे चिन्ह बदलते.
फक्त एक पद नव्हे तर संपूर्ण समीकरणाच्या दोन्ही बाजू गुणा.
फक्त चलपदे गुणून उजवीकडील स्थिरांक विसरणे.
"गुणक समान करा, मग बेरीज किंवा वजाबाकी."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका चलाचे सहगुणक परिमाणात समान पण चिन्हात विरुद्ध असतील तर तो काढण्यासाठी समीकरणांची ___ करतो.
- 26x − 7y = 18 आणि −6x − 6y = −5 मधून x थेट काढून टाकण्यासाठी काय करावे?
- 3−x + 2y = 24 आणि 7x − 2y = 0 मधून y थेट काढून टाकण्यासाठी काय करावे?
- 4−5x + 3y = 6 आणि 4x − 3y = −18 मधून y थेट काढून टाकण्यासाठी काय करावे?
- 5−4x + 3y = 12 आणि 5x − 3y = 29 मधून y थेट काढून टाकण्यासाठी काय करावे?
- 6x + 2y = 13 आणि −x − 2y = 20 मधून y थेट काढून टाकण्यासाठी काय करावे?
- 72x + 2y = 2 आणि −6x − y = −11 मध्ये x चे सहगुणक संख्यात्मक दृष्ट्या समान करण्यासाठी पहिले व दुसरे समीकरण (याच क्रमाने) कोणत्या सर्वात लहान धन संख्यांनी गुणावे?
- 8−5x + 8y = 10 आणि −5x + 2y = −11 मध्ये y चे सहगुणक संख्यात्मक दृष्ट्या समान करण्यासाठी पहिले व दुसरे समीकरण (याच क्रमाने) कोणत्या सर्वात लहान धन संख्यांनी गुणावे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1बेरीज
- 2दोन्ही समीकरणांची बेरीज करा
- 3दोन्ही समीकरणांची बेरीज करा
- 4दोन्ही समीकरणांची बेरीज करा
- 5दोन्ही समीकरणांची बेरीज करा
- 6दोन्ही समीकरणांची बेरीज करा
- 73 आणि 1
- 81 आणि 4
बेरीज / वजाबाकी केल्यावर मिळणारे समीकरण
बेरीज किंवा वजाबाकी केल्यावर एक चल नाहीसा होतो आणि छोटे समीकरण उरते : याच पायरीने प्रश्न सोपा होतो.
डावी बाजू आणि उजवी बाजू स्वतंत्र मिळवा (किंवा वजा करा). निकाल एका चलातील समीकरण, जे सरळ सोडवता येते.
आकृतीत : x + २y = ७ आणि ३x − २y = ५ मिळवल्यास y जातो : ४x = १२.
नियम 1 : नवे समीकरण लिहा — पदानुसार मिळवा किंवा वजा करा.
- सोपे : (x + y = ९) + (x − y = ३) : २x = १२.
- मध्यम : (५x + २y = १६) − (३x + २y = १०) : २x = ६.
- परीक्षेसाठी : (२x + ३y = १२) − (२x − y = ४) : ४y = ८.
नियम 2 : ते सोडवा — उरलेल्या गुणकाने दोन्ही बाजू भागा.
- सोपे : २x = १२ ⇒ x = ६.
- मध्यम : २x = ६ ⇒ x = ३.
- परीक्षेसाठी : ४y = ८ ⇒ y = २.
वजा केल्यावर प्रत्येक चिन्ह, विशेषतः दुसऱ्या समीकरणातील वजा चिन्हे, काळजीपूर्वक पाहा.
दुसऱ्या समीकरणाचे फक्त पहिले पद वजा करणे.
"डावे डाव्यासोबत, उजवे उजव्यासोबत."
सरावासाठी प्रश्न
- 17x − 5y = −13 आणि 7x − 2y = −1 यांमध्ये (x काढून टाकण्यासाठी) पहिल्या समीकरणातून दुसरे वजा केल्यावर मिळते
- 2x + 6y = 8 आणि 5x − 6y = 11 यांमध्ये (y काढून टाकण्यासाठी) दोन्ही समीकरणांची बेरीज केल्यावर मिळते
- 3−6x + 2y = 7 आणि 4x − 2y = 13 यांमध्ये (y काढून टाकण्यासाठी) दोन्ही समीकरणांची बेरीज केल्यावर मिळते
- 44x + 6y = −3 आणि −5x − 6y = 25 यांमध्ये (y काढून टाकण्यासाठी) दोन्ही समीकरणांची बेरीज केल्यावर मिळते
- 57x + 4y = −3 आणि x + 4y = 22 यांमध्ये (y काढून टाकण्यासाठी) पहिल्या समीकरणातून दुसरे वजा केल्यावर मिळते
- 62x − 6y = 10 आणि −2x − 5y = −11 यांमध्ये (x काढून टाकण्यासाठी) दोन्ही समीकरणांची बेरीज केल्यावर मिळते
- 76x + 2y = 21 आणि 6x + 4y = 28 यांमध्ये (x काढून टाकण्यासाठी) पहिल्या समीकरणातून दुसरे वजा केल्यावर मिळते
- 86x + 2y = −11 आणि 6x − 7y = 20 यांमध्ये (x काढून टाकण्यासाठी) पहिल्या समीकरणातून दुसरे वजा केल्यावर मिळते
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−3y = −12
- 26x = 19
- 3−2x = 20
- 4−x = 22
- 56x = −25
- 6−11y = −1
- 7−2y = −7
- 89y = −31
विलोपन पद्धतीने जोडी सोडवणे
आधी एक अज्ञात काढा, मग दुसरे शोधा, मग मागे जाऊन पडताळा. विलोपन अपूर्णांक व कंस टाळते.
विलोपन पद्धतीच्या पायऱ्या : (१) गुणक समान करा, (२) बेरीज किंवा वजाबाकी, (३) एक चल सोडवा, (४) परत घालून दुसरा काढा, (५) दोन्ही समीकरणांत तपासा.
आकृतीत : ३x + २y = ११ आणि x − २y = १ : मिळवून ४x = १२, x = ३, y = १.
विलोपन पद्धतीने जोडी सोडवणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : पूर्ण सोडवा — दोन्ही किंमती काढा, मग तपासा.
- सोपे : ३x + २y = ११, x − २y = १ : x = ३, y = १ (पडताळा : ३ − २ = १ ✓).
- मध्यम : २x + y = ७, ३x − y = ८ : मिळवून ५x = १५, x = ३, y = १.
- परीक्षेसाठी : ४x + ३y = १७, २x + y = ७ : दुसरे २ ने गुणून वजा : y = ३, x = २.
नियम 2 : जलद चल निवडा — ज्यासाठी सोपे गुणक लागतात तो चल काढा.
- सोपे : एका जोडीत समान गुणक पण विरुद्ध चिन्हे असतील तर थेट बेरीज.
- मध्यम : एक गुणक दुसऱ्याला भाग जात असेल तर एकच समीकरण गुणा.
- परीक्षेसाठी : नाहीतर प्रत्येकाला दुसऱ्याच्या गुणकाने गुणा.
गुणक १ नसतात तेव्हा विलोपन सर्वोत्तम पद्धत.
फक्त x काढून तेच अंतिम उत्तर लिहिणे; y सुद्धा हवा.
"काढा, सोडवा, परत जा, तपासा."
सरावासाठी प्रश्न
- 15x − 4y = −56 आणि 5x + 4y = 16 सोडवा. y ची किंमत किती?
- 2विलोपन पद्धतीने सोडवा : −3x − 3y = −30 आणि −3x + y = −10. x ची किंमत किती?
- 33x + 2y = 23 आणि 3x − 2y = 19 सोडवा. y ची किंमत किती?
- 4विलोपन पद्धतीने सोडवा : 3x − 4y = 22 आणि 4x − y = 12. x ची किंमत किती?
- 5विलोपन पद्धतीने सोडवा : −4x + 3y = −32 आणि −x + 3y = −17. x ची किंमत किती?
- 6विलोपन पद्धतीने सोडवा : x + 3y = −8 आणि 2x + 5y = −13. x ची किंमत किती?
- 72x − 5y = −13 आणि x − 7y = −11 विलोपन पद्धतीने सोडवा आणि xy ची किंमत काढा.
- 84x + 2y = 46 आणि −6x + 6y = 12 विलोपन पद्धतीने सोडवा आणि 2x + 3y ची किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 19
- 25
- 31
- 42
- 55
- 61
- 7−4
- 841
उदाहरणे : किंमत, ठराविक आकार, दोन अंकी संख्या
दुकानाची बिले, टॅक्सीचे भाडे आणि दोन अंकी संख्या यांतून दोन समीकरणे मिळतात. विलोपनाने दोन्ही अज्ञात लवकर निघतात.
अज्ञातांना नाव द्या, दोन समीकरणे लिहा (किंमत : एकूण = वस्तू × दर; ठराविक आकार : f + n × दर; अंक : १०x + y), विलोपन करा आणि शब्दांत उत्तर द्या.
सूत्र : एकूण = ठराविक + संख्या × दर
आकृतीत : टॅक्सी : ठराविक f, दर k प्रति km. १० km ला १०५ व १५ km ला १५५ : f + १०k = १०५, f + १५k = १५५, म्हणून k = १०, f = ५.
नियम 1 : किमतीचे प्रश्न — प्रत्येक विधान एक समीकरण.
- सोपे : २ पेन्सिल + ३ खोडरबर = ९ आणि ४ पेन्सिल + ५ खोडरबर = १७ : पेन्सिल ३, खोडरबर १.
- मध्यम : ३ किलो सफरचंद + १ किलो द्राक्षे = ४८०, २ किलो सफरचंद + १ किलो द्राक्षे = ३४० : सफरचंद १४०, द्राक्षे ६०.
- परीक्षेसाठी : समान वस्तू काढण्यास समीकरणे वजा करा.
नियम 2 : ठराविक आकार आणि अंक — ठराविक + दर × प्रमाण; आणि अंकांसाठी १०x + y.
- सोपे : टॅक्सी : f + १०k = १०५ आणि f + १५k = १५५ : k = १०, f = ५.
- मध्यम : अंकांची बेरीज ९, उलट संख्या २७ ने मोठी : y − x = ३, x + y = ९ : संख्या ३६.
- परीक्षेसाठी : पडताळा : ६३ − ३६ = २७ ✓.
अंतिम उत्तर एककासह (₹, km, kg) वाक्यात लिहा.
अंकी संख्या १०x + y ऐवजी xy (गुणाकार) लिहिणे.
"किंमत : एकूण; ठराविक : f अधिक; अंक : दहा x अधिक y."
सरावासाठी प्रश्न
- 1दोन संख्यांची बेरीज 959 असून त्यांच्यातील फरक 189 आहे. विलोपन पद्धतीने मोठी संख्या शोधा.
- 22 पेन्सिली आणि 3 खोडरबरे यांची किंमत ₹145 आहे, तर 5 पेन्सिली आणि 1 खोडरबरे यांची किंमत ₹174 आहे. एका खोडरबराची ची किंमत शोधा.
- 31 प्रौढ तिकिटे आणि 3 बालतिकिटे यांची किंमत ₹25 आहे, तर 4 प्रौढ तिकिटे आणि 1 बालतिकिटे यांची किंमत ₹34 आहे. एका बाल तिकिटाची किंमत शोधा.
- 4दोन संख्यांची बेरीज 812 असून त्यांच्यातील फरक 150 आहे. विलोपन पद्धतीने मोठी संख्या शोधा.
- 5दोन संख्यांची बेरीज 288 असून त्यांच्यातील फरक 48 आहे. विलोपन पद्धतीने मोठी संख्या शोधा.
- 6एका वसतिगृहात ठराविक मासिक रक्कम आणि दररोजच्या जेवणाचा खर्च असा आकार घेतात. 4 दिवस जेवणारा विद्यार्थी ₹273 देतो आणि 9 दिवस जेवणारा दुसरा ₹473 देतो. दररोजचा जेवणाचा खर्च (₹ मध्ये) शोधा.
- 7एक टॅक्सी ठराविक भाडे आणि प्रति km दर घेते. 5 km प्रवासाचे भाडे ₹252 आणि 10 km प्रवासाचे भाडे ₹442 आहे. प्रति km दर (₹ मध्ये) शोधा.
- 8एका वसतिगृहात ठराविक मासिक रक्कम आणि दररोजच्या जेवणाचा खर्च असा आकार घेतात. 7 दिवस जेवणारा विद्यार्थी ₹500 देतो आणि 17 दिवस जेवणारा दुसरा ₹730 देतो. ठराविक आकार (₹ मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1574
- 229
- 36
- 4481
- 5168
- 640
- 738
- 8339
अवघड उपयोजने व विशेष प्रसंग
काही जोड्यांत विशेष उत्तरे दडलेली असतात किंवा १/x व १/y असतात. चल बदलून त्या साध्या जोड्या बनतात.
विलोपनात ० = ० आले तर अनंत उकली; ० = −१ सारखे असत्य आले तर उकल नाही. १/x व १/y असलेल्या समीकरणांसाठी a = १/x, b = १/y घ्या.
आकृतीत : २/x + ३/y = १३ आणि ५/x − ४/y = −२ चे २a + ३b = १३, ५a − ४b = −२, म्हणून a = २, b = ३, x = १/२, y = १/३.
नियम 1 : विशेष प्रसंग — विलोपनानंतर काय उरते ते पाहा.
- सोपे : २x + ३y = ६ आणि ४x + ६y = १२ : ० = ०, अनंत.
- मध्यम : २x + y = ३ आणि ४x + २y = ७ : ० = −१, उकल नाही.
- परीक्षेसाठी : गुणोत्तर चाचणीशी जुळते.
नियम 2 : व्यस्त असलेली समीकरणे — a = १/x व b = १/y घ्या, सोडवा, मग उलट करा.
- सोपे : २a + ३b = १३, ५a − ४b = −२ : a = २, b = ३.
- मध्यम : मग x = १/२ आणि y = १/३.
- परीक्षेसाठी : मूळात तपासा : २/(१/२) + ३/(१/३) = ४ + ९ = १३ ✓.
x व y हे a व b चे व्यस्त आहेत, a व b नव्हेत हे लक्षात ठेवा.
a व b वरच थांबून x व y मध्ये परत न बदलणे.
"शून्य = शून्य : अनंत; शून्य = शून्येतर : उकल नाही."
सरावासाठी प्रश्न
- 1विलोपन पद्धतीत दोन्ही चल नाहीसे होऊन 0 = 0 मिळाले तर जोडीला ___ असतात.
- 26x + 7y = −55 आणि 7x + 6y = −49 असेल, तर x + y ची किंमत शोधा.
- 32x + 7y = −21 आणि 7x + 2y = −51 असेल, तर x + y ची किंमत शोधा.
- 4दोन व्यक्तींचे उत्पन्न 11 : 6 या गुणोत्तरात आणि खर्च 7 : 2 या गुणोत्तरात आहेत. प्रत्येकाची बचत ₹12000 असेल, तर पहिल्या व्यक्तीचे उत्पन्न (₹ मध्ये) शोधा.
- 5दोन व्यक्तींचे उत्पन्न 10 : 8 या गुणोत्तरात आणि खर्च 7 : 2 या गुणोत्तरात आहेत. प्रत्येकाची बचत ₹3600 असेल, तर पहिल्या व्यक्तीचे उत्पन्न (₹ मध्ये) शोधा.
- 66x + 5y = −29 आणि 5x + 6y = −26 असेल, तर x + y ची किंमत शोधा.
- 7दोन व्यक्तींचे उत्पन्न 8 : 7 या गुणोत्तरात आणि खर्च 7 : 4 या गुणोत्तरात आहेत. प्रत्येकाची बचत ₹13600 असेल, तर पहिल्या व्यक्तीचे उत्पन्न (₹ मध्ये) शोधा.
- 8दोन व्यक्तींचे उत्पन्न 11 : 10 या गुणोत्तरात आणि खर्च 3 : 2 या गुणोत्तरात आहेत. प्रत्येकाची बचत ₹2400 असेल, तर पहिल्या व्यक्तीचे उत्पन्न (₹ मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1अनंत उकली
- 2−8
- 3−8
- 433000
- 55000
- 6−5
- 719200
- 83300