प्रतिष्ठापन पद्धतीने जोडी सोडवणे
दोन वस्तूंचे बिल फोडताना आधी एक रक्कम दुसरीच्या रूपात काढता, मग ती दुसऱ्या अटीत घालता.
प्रतिष्ठापन पद्धतीत एका समीकरणातून एक चल दुसऱ्याच्या रूपात मांडा, ते दुसऱ्या समीकरणात घाला, एकचल समीकरण सोडवा आणि मग दुसरा चल काढा.
आकृतीत : x + y = १० आणि x − y = २ : y = १० − x, म्हणून x − (१० − x) = २, x = ६, y = ४.
प्रतिष्ठापन पद्धतीने जोडी सोडवणे
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : पायऱ्या पाळा — मांडा, घाला, सोडवा, मग मागे जा.
- सोपे : y = २x आणि x + y = ९ : ३x = ९, x = ३, y = ६.
- मध्यम : x = २y आणि x + २y = ८ : ४y = ८, y = २, x = ४.
- परीक्षेसाठी : ३x + y = ११ आणि y = x + ३ : ४x + ३ = ११, x = २, y = ५.
नियम 2 : उत्तर पडताळा — (x, y) दोन्ही मूळ समीकरणांत घाला.
- सोपे : (६, ४) : ६ + ४ = १० ✓ आणि ६ − ४ = २ ✓.
- मध्यम : (२, ५) : ६ + ५ = ११ ✓ आणि ५ = २ + ३ ✓.
- परीक्षेसाठी : एकाच समीकरणात तपासणे पुरेसे नाही.
नेहमी दुसऱ्या समीकरणात घाला, ज्यातून राशी काढली त्यात नाही.
त्याच समीकरणात परत घालणे, मग ० = ० येते आणि उत्तर मिळत नाही.
"मांडा, दुसऱ्यात घाला, सोडवा, परत या."
सरावासाठी प्रश्न
- 1प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा : x + 2y = 5 आणि 4x − y = −7. y ची किंमत किती?
- 2प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा : x − y = −1 आणि 2x − 5y = −26. y ची किंमत किती?
- 3प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा : 5x + y = 4 आणि −x + 5y = −6. y ची किंमत किती?
- 4प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा : −x − 5y = 23 आणि −4x + 6y = −38. x ची किंमत किती?
- 5−4x − y = −34 आणि x − 4y = 0 ही जोडी प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा आणि x + y ची किंमत काढा.
- 6x + 5y = 31 आणि −5x + 4y = −10 ही जोडी प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा आणि xy ची किंमत काढा.
- 7x − y = 14 आणि −3x − 3y = −6 ही जोडी प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा आणि x + y ची किंमत काढा.
- 8x आणि y च्या ज्या किमती x − 7y = −32 व −5x − 2y = 12 या दोन्ही समीकरणांना पाळतात, त्यांच्यासाठी 2x + 3y ची किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13
- 28
- 3−1
- 42
- 510
- 630
- 72
- 84
एक चल दुसऱ्याच्या रूपात मांडणे
सोपे समीकरण आणि सोपा चल निवडा : गुणक १ असलेला चल सर्वात सहज एकाकी होतो.
चल मांडण्यासाठी बाकीची पदे दुसऱ्या बाजूला न्या आणि त्याच्या गुणकाने भागा. अपूर्णांक टाळण्यास गुणक १ किंवा −१ असलेला चल निवडा.
सूत्र : ax + by = c ⇒ y = (c − ax)/b
आकृतीत : x + ३y = ७ चे x = ७ − ३y होते, घालण्यास तयार.
नियम 1 : चल एकाकी करा — गुणक १ असलेला चल निवडा.
- सोपे : x + ३y = ७ ⇒ x = ७ − ३y.
- मध्यम : ३x − y = ५ ⇒ y = ३x − ५.
- परीक्षेसाठी : २x + ३y = १२ ⇒ y = (१२ − २x)/३.
नियम 2 : दुसऱ्या समीकरणात वापरा — चलाच्या जागी संपूर्ण राशी कंसात घाला.
- सोपे : x = ७ − ३y, २x − y = ७ मध्ये : २(७ − ३y) − y = ७, १४ − ७y = ७, y = १, x = ४.
- मध्यम : y = ३x − ५, x + y = ७ मध्ये : x + ३x − ५ = ७, x = ३, y = ४.
- परीक्षेसाठी : वजा चिन्ह प्रत्येक पदाला लागू होण्यास कंस वापरा.
गुणक १ असलेला चल एकाकी केल्यास अपूर्णांक टळतात.
कंस विसरणे : २(७ − ३y) ऐवजी २ × ७ − ३y.
"सोपा चल एकाकी करा; घालताना कंस."
सरावासाठी प्रश्न
- 12x − 5y = −4 या समीकरणावरून x हा y च्या रूपात मांडा.
- 2−6x − y = 13 या समीकरणावरून y हा x च्या रूपात मांडा.
- 3x + 5y = −9 या समीकरणावरून x हा y च्या रूपात मांडा.
- 4−7x − 7y = −13 या समीकरणावरून x हा y च्या रूपात मांडा.
- 56x − y = −7 या समीकरणावरून y हा x च्या रूपात मांडा.
- 6−x − y = 2 या समीकरणावरून y हा x च्या रूपात मांडा.
- 7x + 6y = 13 या समीकरणावरून x हा y च्या रूपात मांडा.
- 8−7x + y = −12 या समीकरणावरून y हा x च्या रूपात मांडा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(−4 + 5y)/2
- 2−13 − 6x
- 3−9 − 5y
- 4(13 − 7y)/7
- 57 + 6x
- 6−2 − x
- 713 − 6y
- 8−12 + 7x
प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवायची उदाहरणे
अनेक प्रसंगांत दोन जोडलेले अज्ञात दडलेले असतात : संख्या, वय, किंमत, लांबी. त्यांना x, y नाव द्या, दोन समीकरणे लिहा, घाला.
प्रश्न वाचा, अज्ञातांना नाव द्या, दोन समीकरणे लिहा, प्रतिष्ठापनाने सोडवा आणि कथेशी पडताळून एककांसह शब्दांत उत्तर लिहा.
आकृतीत : बेरीज २५, फरक ७ : x + y = २५, x = y + ७, म्हणून y = ९, x = १६.
नियम 1 : संख्या आणि अंक — अंक : दशक x, एकक y तर संख्या १०x + y.
- सोपे : दोन संख्या : बेरीज २५, फरक ७ → १६ आणि ९.
- मध्यम : एक संख्या दुसरीच्या ३ पट, बेरीज २० : ५ आणि १५.
- परीक्षेसाठी : अंकांची बेरीज ९, संख्या उलट संख्येपेक्षा ९ ने मोठी : x + y = ९, x − y = १ : संख्या ५४.
नियम 2 : पैसे आणि आकार — राशींमध्ये संबंध लिहा, मग एकूण.
- सोपे : पेन = पेन्सिल + २, पेन + पेन्सिल = ८ : पेन ५, पेन्सिल ३.
- मध्यम : आयत : लांबी = रुंदी + ३, परिमिती ३० : रुंदी ६ cm, लांबी ९ cm.
- परीक्षेसाठी : रितूकडे रविच्या ३ पट नाणी, एकूण ६० : रवी १५, रितू ४५.
उत्तर फक्त समीकरणांशी नव्हे तर प्रश्नाच्या शब्दांशीही पडताळा.
x मोठी संख्या असताना "फरक ७" असा y − x = ७ लिहिणे.
"नाव, दोन समीकरणे, घाला, उत्तर."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वडील आणि त्यांचा मुलगा यांच्या वयांची बेरीज 59 वर्षे असून वडील मुलापेक्षा 29 वर्षांनी मोठे आहेत. मुलाचे वय किती?
- 2दोन संख्यांची बेरीज 112 आणि वजाबाकी 12 आहे. लहान संख्या शोधा.
- 3वडील आणि त्यांचा मुलगा यांच्या वयांची बेरीज 36 वर्षे असून वडील मुलापेक्षा 16 वर्षांनी मोठे आहेत. वडिलांचे वय किती?
- 4दोन संख्यांची बेरीज 131 आणि वजाबाकी 21 आहे. मोठी संख्या शोधा.
- 5एका वडिलांचे वय त्यांच्या मुलाच्या वयाच्या 3 पट आहे आणि दोघांच्या वयांची बेरीज 32 वर्षे आहे. मुलाचे वय किती?
- 6एक संख्या दुसऱ्या संख्येच्या दुप्पट पेक्षा 8 ने जास्त आहे आणि त्यांची बेरीज 65 आहे. मोठी संख्या शोधा.
- 7एका वडिलांचे वय त्यांच्या मुलाच्या वयाच्या 5 पट आहे आणि दोघांच्या वयांची बेरीज 90 वर्षे आहे. वडिलांचे वय किती?
- 8आयताची परिमिती 132 cm असून त्याची लांबी रुंदीपेक्षा 16 cm जास्त आहे. आयताची लांबी (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 115
- 250
- 326
- 476
- 58
- 646
- 775
- 841
विशेष प्रसंग : उकल नाही किंवा अनंत उकली
कधी कधी घालताना चल नाहीसे होतात. काय उरते त्यावरून रेषा एकच आहेत की समांतर ते कळते.
प्रतिष्ठापनानंतर ० = ० सारखे सत्य विधान उरले तर अनंत उकली (संपाती रेषा). ८ = ९ सारखे असत्य विधान उरले तर उकल नाही (समांतर रेषा).
आकृतीत : x + y = ४ आणि २x + २y = ८ मधून ८ = ८, म्हणून अनंत उकली.
नियम 1 : सत्य उरते — दोन्ही समीकरणे एकच रेषा दर्शवतात.
- सोपे : x + y = ४, २x + २y = ८ : y = ४ − x ⇒ २x + ८ − २x = ८, ० = ०, अनंत.
- मध्यम : x − २y = ३, ३x − ६y = ९ : x = ३ + २y ⇒ ९ + ६y − ६y = ९, अनंत.
- परीक्षेसाठी : रेषेवरील प्रत्येक बिंदू उकल.
नियम 2 : असत्य उरते — रेषा समांतर.
- सोपे : x + y = ४, २x + २y = ९ : ८ = ९, उकल नाही.
- मध्यम : २x + y = ३, ४x + २y = ७ : ६ = ७, उकल नाही.
- परीक्षेसाठी : गुणोत्तर चाचणीने खात्री करा.
गुणोत्तर चाचणी व प्रतिष्ठापनाचा निकाल एकच सांगायला हवेत.
x नाहीसा झाला म्हणून "उकल नाही" म्हणणे; उरलेले सत्य की असत्य ते पाहा.
"सत्य उरले : अनंत. असत्य उरले : उकल नाही."
सरावासाठी प्रश्न
- 1x + 4y = −10 आणि −5x − 5y = 15 प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा. निकाल काय दर्शवतो?
- 2x − 4y = 1 आणि 5x − 20y = 5 प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा. निकाल काय दर्शवतो?
- 3x + 5y = 2 आणि −x − 3y = −11 प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा. निकाल काय दर्शवतो?
- 4x + y = 7 आणि 3x + 3y = 24 प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा. निकाल काय दर्शवतो?
- 5x − 7y = −4 आणि 3x − 3y = 0 प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा. निकाल काय दर्शवतो?
- 6x + 6y = 12 आणि 3x + 18y = 38 प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा. निकाल काय दर्शवतो?
- 7x − 6y = 12 आणि −2x − 7y = 19 प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा. निकाल काय दर्शवतो?
- 8x + 4y = −3 आणि 2x + 8y = −3 प्रतिष्ठापन पद्धतीने सोडवा. निकाल काय दर्शवतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नेमकी एक उकल
- 2अनंत उकली
- 3नेमकी एक उकल
- 4एकही उकल नाही
- 5नेमकी एक उकल
- 6एकही उकल नाही
- 7नेमकी एक उकल
- 8एकही उकल नाही
दिलेली उकल वापरणे व तपासणे
एक उत्तर दिले असेल तर समीकरणातील गाळलेली संख्या काढता येते किंवा जोडी जुळते का ते तपासता येते.
जोडी (x, y) समीकरणाची उकल असते जर किंमती घातल्यावर दोन्ही बाजू समान होतात. दिलेली उकल समीकरणात घालून अज्ञात स्थिरांक काढता येतो.
आकृतीत : (२, १) ही ax + ३y = ७ ची उकल असेल तर २a + ३ = ७, म्हणून a = २.
नियम 1 : स्थिरांक काढा — x व y च्या जागी दिलेल्या संख्या घाला.
- सोपे : (१, −१) ही ३x + by = १ ची उकल : ३ − b = १, b = २.
- मध्यम : (२, ३) ही ax + २y = १२ ची उकल : २a + ६ = १२, a = ३.
- परीक्षेसाठी : (३, २) ही x + y = c ची उकल : c = ५.
नियम 2 : जोडी तपासा — दोन्ही समीकरणे खरी हवीत.
- सोपे : (४, ३) x + y = ७ व x − y = १ मध्ये : दोन्ही खरी ✓.
- मध्यम : (५, १) x + y = ६ व x − y = ३ मध्ये : दुसरी ४ ≠ ३ ✗.
- परीक्षेसाठी : एकच समीकरण खरे असल्याने ती जोडीची उकल ठरत नाही.
जोडीची उकल दोन्ही समीकरणे पूर्ण करते.
फक्त एका समीकरणात तपासून जोडीची उकल म्हणणे.
"दोन्हीत घाला, दोन्ही खरी हवीत."
सरावासाठी प्रश्न
- 1x = 7, y = 2 ही −3x + 7y = c ची उकल असेल, तर c शोधा.
- 2x = 1, y = −3 ही −5x + 4y = c ची उकल असेल, तर c शोधा.
- 3x = −2, y = −1 ही −6x − 3y = c ची उकल असेल, तर c शोधा.
- 4x = −6, y = −4 ही 3x + 3y = c ची उकल असेल, तर c शोधा.
- 5x = −1, y = −2 ही −4x + ky = −6 ची उकल असेल, तर k शोधा.
- 6x = 4, y = −7 ही −3x + ky = −19 ची उकल असेल, तर k शोधा.
- 7x = −6, y = −6 ही 3x + ky = −36 ची उकल असेल, तर k शोधा.
- 8x = 2, y = 3 ही ax + by = 28 आणि ax − by = −8 ची उकल आहे. a + b शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−7
- 2−17
- 315
- 4−30
- 55
- 61
- 73
- 811