गुणोत्तरांवरून रेषांचा प्रकार
दोन रस्ते एकदा ओलांडतात, कधी भेटत नाहीत किंवा एकच रस्ता असतात. रेषीय समीकरणांची जोडी अशा दोन रेषांसारखी वागते.
a₁x + b₁y + c₁ = ० आणि a₂x + b₂y + c₂ = ० साठी : a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ तर रेषा छेदतात; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ तर समांतर; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ तर संपाती.
सूत्र : a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ ची तुलना
आकृतीत : छेदणाऱ्या रेषा एकदा भेटतात, समांतर कधीच नाही, संपाती सर्वत्र.
नियम 1 : गुणोत्तरे तपासा — a, b, c ची गुणोत्तरे एकाच क्रमात लिहा.
- सोपे : x + y = ५, x − y = १ : १/१ ≠ १/(−१), छेदतात.
- मध्यम : २x + ३y = ६, ४x + ६y = ७ : २/४ = ३/६ ≠ ६/७, समांतर.
- परीक्षेसाठी : x + २y = ४, २x + ४y = ८ : तिन्ही गुणोत्तरे १/२, संपाती.
नियम 2 : उकलींची संख्या — छेदतात : एक. समांतर : नाही. संपाती : अनंत.
- सोपे : छेदणारी जोडी : नेमकी एक उकल.
- मध्यम : समांतर जोडी : उकल नाही.
- परीक्षेसाठी : संपाती जोडी : अनंत उकली.
गुणोत्तरे घेण्यापूर्वी दोन्ही समीकरणे ax + by + c = ० रूपात आणा.
स्थिरांक उजवीकडे असताना चिन्ह न बदलता c₁/c₂ घेणे.
"वेगळी गुणोत्तरे : छेद; a-b सारखी, c वेगळी : समांतर."
सरावासाठी प्रश्न
- 17x − 4y − 4 = 0 आणि 14x − 8y − 8 = 0 या जोडीसाठी कोणती अट खरी आहे?
- 2जोडी a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 ला अनंत उकली असतात जेव्हा ___.
- 3−5x − 4y − 3 = 0 आणि 10x + 8y + 7 = 0 या जोडीसाठी कोणती अट खरी आहे?
- 46x + 5y − 3 = 0 आणि −x + 6y + 1 = 0 या जोडीसाठी कोणती अट खरी आहे?
- 56x + 2y + 1 = 0 आणि 6x − 6y − 7 = 0 या जोडीसाठी कोणती अट खरी आहे?
- 6−2x + 5y + 6 = 0 आणि −4x + 10y + 12 = 0 या जोडीसाठी कोणती अट खरी आहे?
- 7−5x + 6y + 5 = 0 आणि −15x + 18y + 15 = 0 या जोडीसाठी कोणती अट खरी आहे?
- 8−2x − y − 4 = 0 आणि −4x − 2y − 8 = 0 या जोडीसाठी कोणती अट खरी आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- 2a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- 3a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
- 4a1/a2 ≠ b1/b2
- 5a1/a2 ≠ b1/b2
- 6a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- 7a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- 8a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
उकलींची संख्या व संगतता
कुलुपाला एक चावी, अनेक चाव्या किंवा एकही नसते. जोडीला किमान एक उकल असेल तर ती संगत.
जोडीला किमान एक उकल असेल (छेदणाऱ्या किंवा संपाती रेषा) तर ती संगत; एकही नसेल (समांतर रेषा) तर विसंगत. संपाती रेषांना परावलंबी असेही म्हणतात.
आकृतीत : फक्त समांतर रेषा विसंगत जोडी देतात.
नियम 1 : जोडीला नाव द्या — गुणोत्तरे पाहा आणि ठरवा.
- सोपे : x − y = २, २x − २y = ४ : अनंत, संगत (परावलंबी).
- मध्यम : x + y = ३, २x + २y = ७ : समांतर, विसंगत.
- परीक्षेसाठी : २x + y = ५, x − y = १ : एक उकल, संगत.
नियम 2 : बरोबर की चूक — तिन्ही प्रसंग वापरून ठरवा.
- सोपे : प्रत्येक संगत जोडीला नेमकी एक उकल : चूक (संपाती रेषा).
- मध्यम : दोन उकली असलेल्या जोडीला अनंत उकली असतात.
- परीक्षेसाठी : समांतर रेषा : विसंगत.
दोन भिन्न रेषांचे नेमके दोन सामाईक बिंदू असू शकत नाहीत.
संपाती रेषांना विसंगत म्हणणे : त्यांना उकली आहेत, म्हणून संगत.
"समांतर हीच एकमेव विसंगत."
सरावासाठी प्रश्न
- 16x + y + 1 = 0, 12x + 2y + 2 = 0 या जोडीला किती उकली आहेत?
- 2−7x − 6y − 4 = 0, 14x + 12y + 5 = 0 या जोडीला किती उकली आहेत?
- 3−6x + 6y + 6 = 0, −18x + 18y + 18 = 0 या जोडीला किती उकली आहेत?
- 43x − 2y + 5 = 0, −6x − 3y + 1 = 0 या जोडीला किती उकली आहेत?
- 54x − 4y + 3 = 0, −8x + 8y − 6 = 0 या जोडीला किती उकली आहेत?
- 6−x + y − 4 = 0, x + 6y − 7 = 0 या जोडीला किती उकली आहेत?
- 7x + 7y − 6 = 0, −2x − 14y + 14 = 0 या जोडीला किती उकली आहेत?
- 8ज्या रेषीय समीकरणांच्या जोडीला किमान एक उकल असते तिला ___ म्हणतात.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1अनंत उकली
- 2एकही उकल नाही
- 3अनंत उकली
- 4नेमकी एक उकल
- 5अनंत उकली
- 6नेमकी एक उकल
- 7एकही उकल नाही
- 8संगत
दिलेल्या अटीसाठी k शोधणे
अज्ञात k ठरवते की रेषा छेदतील, समांतर राहतील की एक होतील. हव्या त्या प्रसंगानुसार k ठरवा.
अट मांडा : एकच उकल : a₁/a₂ ≠ b₁/b₂. उकल नाही : a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂. अनंत उकली : a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. k साठी सोडवा.
आकृतीत : प्रत्येक प्रसंग म्हणजे k मधील एक समीकरण किंवा असमानता.
नियम 1 : अनंत उकली — तिन्ही गुणोत्तरे समान मांडा.
- सोपे : x + २y = ३, २x + ky = ६ : १/२ = २/k = ३/६ ⇒ k = ४.
- मध्यम : ३x + y = १, ६x + २y = k : ३/६ = १/२ = १/k ⇒ k = २.
- परीक्षेसाठी : पहिले समीकरण २ ने गुणून तपासा.
नियम 2 : उकल नाही किंवा एकच — उकल नाही : a-b गुणोत्तरे समान, c वेगळे. एकच : a-b गुणोत्तरे वेगळी.
- सोपे : २x + ३y = ५, ४x + ky = ७ : २/४ = ३/k ⇒ k = ६; ५/७ ≠ १/२ ✓ उकल नाही.
- मध्यम : ३x + २y = ५, kx + ४y = ७ : ३/k ≠ १/२ तर एकच उकल, म्हणून k ≠ ६.
- परीक्षेसाठी : x + २y = ३ आणि २x + ky = ५ ला k ≠ ४ साठी एकच उकल.
"उकल नाही" साठी मिळालेला k c-गुणोत्तराशी तपासा.
तिसरे गुणोत्तर न तपासणे, मग "उकल नाही" आणि "अनंत" यांची गल्लत.
"a आणि b वरून k काढा; c तपासा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1k च्या कोणत्या किमतीसाठी −3x + y = −5 आणि kx + 4y = −18 या जोडीला उकल नाही?
- 2k च्या कोणत्या किमतीसाठी −4x − 7y = −6 आणि −12x + ky = −22 या जोडीला उकल नाही?
- 3k च्या कोणत्या किमतीसाठी −5x − 5y = 2 आणि kx − 10y = 7 या जोडीला उकल नाही?
- 4k च्या कोणत्या किमतीसाठी −5x − y = 7 आणि kx + 3y = −19 या जोडीला उकल नाही?
- 5k च्या कोणत्या किमतीसाठी 6x + 4y = 6 आणि kx + 8y = 15 या जोडीला उकल नाही?
- 6k च्या कोणत्या किमतीसाठी 5x − 6y = 4 आणि kx + 12y = −6 या जोडीला उकल नाही?
- 75x − 6y = 3 आणि 20x + ky = 12 या जोडीला अनंत उकली असण्यासाठी k ची किंमत शोधा.
- 8k च्या कोणत्या किमतीसाठी −3x − y = −3 आणि kx + 3y = 6 या जोडीला उकल नाही?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−12
- 2−21
- 3−10
- 415
- 512
- 6−10
- 7−24
- 89
उकल म्हणजे छेदनबिंदू
दोन वाटा एका ठिकाणी भेटतात : ते ठिकाण दोन्ही वाटांचे. दोन रेषांचा छेदनबिंदू दोन्ही समीकरणे सिद्ध करतो.
जोडी आलेखाने सोडवताना दोन्ही रेषा काढा. त्या जिथे भेटतात त्या बिंदूचे निर्देशक म्हणजे उकल (x, y). दोन्ही समीकरणांत घालून पडताळा.
आकृतीत : x + y = ५ आणि x − y = १ (३, २) वर भेटतात, म्हणून x = ३, y = २.
उकल म्हणजे छेदनबिंदू
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : बिंदू वाचा — दोन्हीत घालून पडताळा.
- सोपे : x + y = ४, x − y = २ : बिंदू (३, १).
- मध्यम : x + २y = ५, x − y = −१ : बिंदू (१, २) : १ + ४ = ५ ✓, १ − २ = −१ ✓.
- परीक्षेसाठी : y = २x आणि x + y = ६ : बिंदू (२, ४).
नियम 2 : काळजीपूर्वक आलेख काढा — प्रत्येक रेषेला किमान दोन बिंदू, खात्रीसाठी तीन.
- सोपे : x + y = ५ साठी : (०, ५), (५, ०), (२, ३).
- मध्यम : x − y = १ साठी : (१, ०), (०, −१), (३, २).
- परीक्षेसाठी : तिसरा बिंदू रेषेवरच हवा.
तीन बिंदू एका रेषेत नसतील तर एक चुकला आहे.
उकल (x, y) ऐवजी (y, x) वाचणे.
"रेषा जिथे भेटतात तेच उत्तर."
सरावासाठी प्रश्न
- 1−4x − 5y = −28 आणि 7x − 6y = −10 या रेषा कोणत्या बिंदूत छेदतात?
- 2x आणि y मधील रेषीय समीकरणांच्या जोडीची उकल आलेखावर दोन रेषांच्या ___ ने दर्शवली जाते.
- 3−3x − y = −20 आणि −3x − 7y = −14 या रेषा कोणत्या बिंदूत छेदतात?
- 4−3x + y = −4 आणि 4x + 4y = 16 या रेषा कोणत्या बिंदूत छेदतात?
- 5−x + 5y = −23 आणि 7x + 5y = 1 यांचे आलेख (x, y) या बिंदूत छेदतात. xy ची किंमत शोधा.
- 6−5x − 7y = 39 आणि −6x − 7y = 44 यांचे आलेख (x, y) या बिंदूत छेदतात. x + y ची किंमत शोधा.
- 7−3x + y = −18 आणि −3x − 6y = 3 या रेषा P बिंदूत भेटतात. kx − 2y = 36 ही रेषा P मधून जाते. k शोधा.
- 8−2x + 2y = −14 आणि x + 7y = −17 या रेषा P बिंदूत भेटतात. kx + 2y = 2 ही रेषा P मधून जाते. k शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(2, 4)
- 2छेदनबिंदूने
- 3(7, −1)
- 4(2, 2)
- 5−12
- 6−7
- 76
- 82
अंतःखंड आणि समीकरणे तयार करणे
रेषा अक्षांना जिथे छेदते ते दोन झटपट बिंदू देते. आणि शब्द-प्रश्नांतून आलेखासाठी समीकरणे बनतात.
x-अंतःखंड y = ० घेऊन आणि y-अंतःखंड x = ० घेऊन काढा. अज्ञातांना x व y नाव देऊन प्रसंगातून दोन समीकरणे बनवा.
सूत्र : x-अंतःखंड : y = ०; y-अंतःखंड : x = ०
आकृतीत : २x + ३y = ६ अक्षांना (३, ०) आणि (०, २) वर छेदते.
नियम 1 : अंतःखंड काढा — प्रत्येक चल क्रमाने ० घाला.
- सोपे : x + y = ५ : (५, ०) आणि (०, ५).
- मध्यम : ३x − २y = ६ : (२, ०) आणि (०, −३).
- परीक्षेसाठी : ४x + २y = ८ : (२, ०) आणि (०, ४).
नियम 2 : समीकरणे तयार करा — अज्ञात राशी x व y घ्या; प्रत्येक विधान समीकरणात लिहा.
- सोपे : दोन संख्यांची बेरीज १० व फरक २ : x + y = १०, x − y = २.
- मध्यम : २ पेन आणि १ पेन्सिल ११; १ पेन आणि १ पेन्सिल ७ : २x + y = ११, x + y = ७ (पेन ४, पेन्सिल ३).
- परीक्षेसाठी : वडील मुलाच्या ३ पट आणि बेरीज ४८ : x = ३y, x + y = ४८ (मुलगा १२).
समीकरणे लिहिण्यापूर्वी x व y म्हणजे काय ते सांगा.
x-अंतःखंडासाठी x = ० घालणे (त्यासाठी y = ० घालतात).
"x-अंतःखंड : y शून्य."
सरावासाठी प्रश्न
- 1दोन चलांतील रेषीय समीकरणाचा आलेख काढण्यासाठी कमीत कमी ___ बिंदू आखावे लागतात.
- 2दोन संख्यांची बेरीज 18 आणि वजाबाकी 13 आहे. ही माहिती कोणत्या समीकरण-जोडीने दर्शवली जाते (x मोठी संख्या, y लहान संख्या)?
- 3दोन संख्यांची बेरीज 25 आणि वजाबाकी 15 आहे. ही माहिती कोणत्या समीकरण-जोडीने दर्शवली जाते (x मोठी संख्या, y लहान संख्या)?
- 4दोन संख्यांची बेरीज 13 आणि वजाबाकी 3 आहे. ही माहिती कोणत्या समीकरण-जोडीने दर्शवली जाते (x मोठी संख्या, y लहान संख्या)?
- 5एक संख्या x ही दुसऱ्या संख्या y च्या दुप्पट पेक्षा 9 ने जास्त आहे आणि त्यांची बेरीज 34 आहे. कोणती समीकरण-जोडी हे दर्शवते?
- 6एक संख्या x ही दुसऱ्या संख्या y च्या तिप्पट पेक्षा 2 ने जास्त आहे आणि त्यांची बेरीज 28 आहे. कोणती समीकरण-जोडी हे दर्शवते?
- 76x + 5y = 30 ही रेषा आणि दोन निर्देशक अक्ष यांनी तयार होणाऱ्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
- 8x + 5y = 5 ही रेषा आणि दोन निर्देशक अक्ष यांनी तयार होणाऱ्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12
- 2x + y = 18 आणि x − y = 13
- 3x + y = 25 आणि x − y = 15
- 4x + y = 13 आणि x − y = 3
- 5x − 2y = 9 आणि x + y = 34
- 6x − 3y = 2 आणि x + y = 28
- 715
- 85/2