द्विघात बहुपदीच्या शून्यकांची बेरीज व गुणाकार
द्विघात बहुपदीच्या दोन शून्यकांचे एक गुपित : त्यांची बेरीज व गुणाकार सहगुणकांवरून थेट वाचता येतो.
ax² + bx + c चे शून्यक α आणि β असतील तर : α + β = −b/a आणि αβ = c/a.
सूत्र : α + β = −b/a; αβ = c/a
आकृतीत : x² − ५x + ६ चे शून्यक २ व ३ : बेरीज ५ = −(−५)/१ आणि गुणाकार ६ = ६/१.
द्विघात बहुपदीच्या शून्यकांची बेरीज व गुणाकार
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : सहगुणकांवरून वाचा — a, b, c चिन्हांसह ओळखा.
- सोपे : x² − ५x + ६ : बेरीज ५, गुणाकार ६.
- मध्यम : २x² + ४x − ६ : बेरीज −२, गुणाकार −३.
- परीक्षेसाठी : ३x² − x − ४ : बेरीज १/३, गुणाकार −४/३.
नियम 2 : शून्यकांनी पडताळा — प्रत्यक्ष शून्यके मिळवून व गुणून खात्री करा.
- सोपे : x² + x − ६ : शून्यके २, −३ : बेरीज −१, गुणाकार −६ ✓.
- मध्यम : x² − ४ : शून्यके २, −२ : बेरीज ० ✓.
- परीक्षेसाठी : x² − २x + १ : शून्यके १, १ : बेरीज २, गुणाकार १ ✓.
शून्यकांच्या बेरजेचे चिन्ह b/a च्या उलट; गुणाकाराचे चिन्ह c/a प्रमाणेच.
−b/a मधील वजा चिन्ह विसरणे.
"बेरीज = वजा b बाय a, गुणाकार = c बाय a."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका द्विघात बहुपदीची शून्यके −6 आणि −1 आहेत. शून्यकांचा गुणाकार किती?
- 2एका द्विघात बहुपदीची शून्यके −2 आणि −1 आहेत. शून्यकांचा गुणाकार किती?
- 3x² + 2x − 8 या बहुपदीच्या शून्यकांचा गुणाकार काढा.
- 4x² − 9x − 6 या बहुपदीच्या शून्यकांची बेरीज काढा.
- 5एका द्विघात बहुपदीची शून्यके −3 आणि −6 आहेत. शून्यकांची बेरीज किती?
- 6x² + 7x + 1 या बहुपदीच्या शून्यकांचा गुणाकार काढा.
- 7x² − 6x + 7 या बहुपदीच्या शून्यकांची बेरीज काढा.
- 82x² + 9x + 8 च्या शून्यकांची बेरीज किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 22
- 3−8
- 49
- 5−9
- 61
- 76
- 8−9/2
शून्यकांवरून द्विघात बहुपदी तयार करणे
दोन शून्यके दिली तर ती नेमकी असलेली द्विघात बहुपदी तयार करता येते, दोन चाव्यांसाठी कुलूप बनवल्यासारखे.
शून्यकांची बेरीज S आणि गुणाकार P असलेली द्विघात बहुपदी k[x² − Sx + P], कोणताही शून्येतर k.
सूत्र : p(x) = k[x² − (α+β)x + αβ]
आकृतीत : शून्यके २ आणि ३ : S = ५, P = ६, म्हणून x² − ५x + ६.
नियम 1 : बेरीज व गुणाकारावरून — S आणि P ला x² − Sx + P मध्ये घाला.
- सोपे : S = ३, P = −१० : x² − ३x − १०.
- मध्यम : S = ०, P = −९ : x² − ९.
- परीक्षेसाठी : S = −१, P = −२ : x² + x − २.
नियम 2 : अपूर्णांक शून्यके — अपूर्णांक घालवण्यास k ने गुणा.
- सोपे : शून्यके १/२, −१ : x² + x/२ − १/२ → २x² + x − १.
- मध्यम : शून्यके १/४, −१ : ४x² + ३x − १.
- परीक्षेसाठी : पडताळा : २(१/२)² + १/२ − १ = ० ✓.
एकाच शून्यकांच्या अनेक बहुपदी असतात : कोणत्याही स्थिर k ने गुणा.
x² − Sx + P ऐवजी x² + Sx + P लिहिणे.
"वजा बेरीज x, अधिक गुणाकार."
सरावासाठी प्रश्न
- 1−2 आणि −8 ही शून्यके असलेली द्विघात बहुपदी कोणती?
- 22 आणि 6 ही शून्यके असलेली द्विघात बहुपदी कोणती?
- 3−5 आणि 4 ही शून्यके असलेली द्विघात बहुपदी कोणती?
- 45 आणि 2 ही शून्यके असलेली द्विघात बहुपदी कोणती?
- 56 आणि −6 ही शून्यके असलेली द्विघात बहुपदी कोणती?
- 6एका द्विघात बहुपदीच्या शून्यकांची बेरीज −2 आणि गुणाकार −6 आहे. ती बहुपदी कोणती?
- 72 आणि 1/2 ही शून्यके असलेली, x² चा सहगुणक 2 असणारी पूर्णांक सहगुणकांची द्विघात बहुपदी शोधा.
- 8शून्यकांची बेरीज −8/3 आणि गुणाकार −9/4 असलेली पूर्णांक सहगुणकांची द्विघात बहुपदी कोणती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x² + 10x + 16
- 2x² − 8x + 12
- 3x² + x − 20
- 4x² − 7x + 10
- 5x² − 36
- 6x² + 2x − 6
- 72x² − 5x + 2
- 812x² + 32x − 27
अवयव पाडून द्विघात बहुपदीची शून्यके
फेकलेला चेंडू कुठे पडेल ते शोधण्यास सूत्राचे दोन कंस करा आणि प्रत्येक कंस शून्य मांडा.
मधले पद फोडून ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) अवयव पाडा. जिथे कंस शून्य तिथे शून्यके. मग बेरीज −b/a व गुणाकार c/a ने तपासा.
आकृतीत : x² − ७x + १२ = (x − ३)(x − ४), म्हणून शून्यके ३ आणि ४.
नियम 1 : अवयव पाडा आणि वाचा — गुणाकार c आणि बेरीज b असलेल्या दोन संख्या शोधा.
- सोपे : x² + x − ६ = (x + ३)(x − २) : शून्यके −३, २.
- मध्यम : x² − ९ = (x − ३)(x + ३) : शून्यके ±३.
- परीक्षेसाठी : २x² − x − १ = (२x + १)(x − १) : शून्यके −१/२, १.
नियम 2 : संबंधांनी तपासा — बेरीज व गुणाकार सहगुणकांशी जुळायला हवा.
- सोपे : २x² − x − १ : बेरीज १/२ ✓, गुणाकार −१/२ ✓.
- मध्यम : x² − ७x + १२ : बेरीज ७, गुणाकार १२ ✓.
- परीक्षेसाठी : x² + x − ६ : बेरीज −१, गुणाकार −६ ✓.
द्विघात पूर्णांकांत अवयवपाडता न आला तरी शून्यके असू शकतात (सूत्र वापरा).
कंसाचे चिन्ह चुकीचे घेणे : (x + ३) कंसाचे शून्यक −३.
"कंस शून्य केला की शून्यक मिळते."
सरावासाठी प्रश्न
- 1x² − 196 ची शून्यके शोधा.
- 2x² − 169 ची शून्यके शोधा.
- 3x² − 21 ची शून्यके शोधा.
- 4x² − 31 ची शून्यके शोधा.
- 5x² − 7x + 6 ची शून्यके 1 आणि 6 आहेत. या बहुपदीसाठी c/a ची किंमत किती?
- 6x² − 12x + 35 ची शून्यके 5 आणि 7 आहेत. या बहुपदीसाठी c/a ची किंमत किती?
- 7x² − 3x − 18 या द्विघात बहुपदीची शून्यके शोधा.
- 810x² − 9x − 9 या द्विघात बहुपदीची शून्यके शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 114 आणि −14
- 213 आणि −13
- 3√21 आणि −√21
- 4√31 आणि −√31
- 56
- 635
- 7−3 आणि 6
- 83/2 आणि −3/5
त्रिघात बहुपदीची शून्यके व सहगुणक
त्रिघाताची तीन शून्यके व चार सहगुणक यांना तीन नीटनेटके संबंध जोडतात.
ax³ + bx² + cx + d चे शून्यक α, β, γ : α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a.
सूत्र : Σα = −b/a; Σαβ = c/a; αβγ = −d/a
आकृतीत : x³ − ६x² + ११x − ६ चे शून्यके १, २, ३ : बेरीज ६, जोड्यांची बेरीज ११, गुणाकार ६.
नियम 1 : तीन बेरजा काढा — a, b, c, d चिन्हांसह वाचा.
- सोपे : x³ − ६x² + ११x − ६ : ६, ११, ६.
- मध्यम : x³ − २x² − x + २ : २, −१, −२.
- परीक्षेसाठी : २x³ − ४x² + ६x − ८ : २, ३, ४.
नियम 2 : शून्यकांनी पडताळा — प्रत्यक्ष शून्यके गुणा व मिळवा.
- सोपे : शून्यके १, −१, २ : बेरीज २ ✓, जोड्या −१ ✓, गुणाकार −२ ✓.
- मध्यम : x³ − ६x² + ११x − ६ : १×२×३ = ६ = −(−६)/१ ✓.
- परीक्षेसाठी : −d/a मधील वजा चिन्ह लक्षात ठेवा.
चिन्हांचा क्रम : −b/a, +c/a, −d/a.
तिन्ही शून्यकांच्या गुणाकारासाठी +d/a वापरणे.
"वजा, अधिक, वजा : b, c, d."
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिघात बहुपदी ax³ + bx² + cx + d साठी शून्यकांची बेरीज ___ असते.
- 2एका त्रिघात बहुपदीची शून्यके 4, 2 आणि −4 आहेत. शून्यकांचा गुणाकार काढा.
- 35x³ + 7x² + 3x − 5 या त्रिघात बहुपदीसाठी शून्यकांची बेरीज काढा.
- 4एका त्रिघात बहुपदीची शून्यके −5, −7 आणि 5 आहेत. शून्यके दोन-दोनच्या जोडीने घेतल्यास त्यांच्या गुणाकारांची बेरीज काढा.
- 5एका त्रिघात बहुपदीची शून्यके −3, 6 आणि −6 आहेत. शून्यकांचा गुणाकार काढा.
- 6x³ + 7x² + 7x − 15 या त्रिघात बहुपदीची दोन शून्यके −5 आणि 1 आहेत. तिसरे शून्यक शोधा.
- 7x³ + 11x² + 38x + 40 या त्रिघात बहुपदीची दोन शून्यके −2 आणि −5 आहेत. तिसरे शून्यक शोधा.
- 8x³ − 12x² + 41x − 30 या त्रिघात बहुपदीची दोन शून्यके 5 आणि 1 आहेत. तिसरे शून्यक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−b/a
- 2−32
- 3−7/5
- 4−25
- 5108
- 6−3
- 7−4
- 86
अज्ञात सहगुणक आणि दुसरे शून्यक
एक शून्यक माहीत असेल तर सूत्रातील गाळलेली संख्या आणि मग दुसरे शून्यक काढता येते.
ज्ञात शून्यक p(x) = ० मध्ये घालून अज्ञात काढा, किंवा बेरीज = −b/a व गुणाकार = c/a वापरून दुसरे शून्यक काढा.
आकृतीत : १ हे x² + ३x + k चे शून्यक तर १ + ३ + k = ०, म्हणून k = −४.
नियम 1 : अज्ञात शोधा — शून्यक घाला किंवा बेरीज व गुणाकार वापरा.
- सोपे : x² + ३x + k, शून्यक १ : k = −४.
- मध्यम : २x² − kx + ६, बेरीज ३ : k/२ = ३, k = ६.
- परीक्षेसाठी : x² − ५x + k, एक शून्यक दुसऱ्याचे दुप्पट : α, २α : ३α = ५, k = २α² = ५०/९.
नियम 2 : दुसरे शून्यक शोधा — बेरजेतून वजा करा किंवा गुणाकार भागा.
- सोपे : x² − ७x + १०, एक शून्यक २ : दुसरे = ७ − २ = ५.
- मध्यम : गुणाकाराने तपासा : २ × ५ = १० ✓.
- परीक्षेसाठी : x³ − ६x² + ११x − ६, शून्यके १, २ : तिसरे = ६ − ३ = ३.
दोन्ही पद्धती जुळायला हव्यात : गुणाकाराने नेहमी पडताळा.
शून्यक घालून "= ०" मांडायला विसरणे.
"शून्यक घाला, उत्तर शून्य मांडा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1x² − 7x + 12 या बहुपदीचे एक शून्यक 4 आहे. दुसरे शून्यक शोधा.
- 2x² − 36 या बहुपदीचे एक शून्यक −6 आहे. दुसरे शून्यक शोधा.
- 3x² − 11x + 24 या बहुपदीचे एक शून्यक 3 आहे. दुसरे शून्यक शोधा.
- 4x² + 7x + (k + 8) या बहुपदीसाठी त्याच्या शून्यकांचा गुणाकार 3 आहे. k शोधा.
- 5x² − (k + 1)x + 2 या बहुपदीसाठी त्याच्या शून्यकांची बेरीज 7 आहे. k शोधा.
- 6x² − 2x − 15 या बहुपदीचे एक शून्यक 5 आहे. दुसरे शून्यक शोधा.
- 76x² − 2x + (k + 6) या बहुपदीची शून्यके एकमेकांची व्यस्त असतील, तर k शोधा.
- 8x² + (k − 3)x − 3 या बहुपदीची शून्यके परिमाणात समान पण चिन्हात विरुद्ध असतील, तर k शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13
- 26
- 38
- 4−5
- 56
- 6−3
- 70
- 83
α आणि β मधील राशी
अनेकदा α² + β² किंवा १/α + १/β लागते. प्रत्यक्ष शून्यके नको : फक्त त्यांची बेरीज व गुणाकार.
राशी α + β आणि αβ मध्ये लिहा. मुख्य सर्वसमिका : α² + β² = (α + β)² − २αβ, १/α + १/β = (α + β)/αβ, (α − β)² = (α + β)² − ४αβ.
सूत्र : α² + β² = (α + β)² − २αβ
आकृतीत : x² − ५x + ६ : S = ५, P = ६, म्हणून α² + β² = २५ − १२ = १३.
नियम 1 : वर्ग आणि व्यस्त — आधी S = −b/a व P = c/a काढा.
- सोपे : x² − ५x + ६ : α² + β² = १३, १/α + १/β = ५/६.
- मध्यम : x² + x − ६ : S = −१, P = −६ : α² + β² = १ + १२ = १३.
- परीक्षेसाठी : तीच बहुपदी : १/α + १/β = (−१)/(−६) = १/६.
नियम 2 : फरक आणि घन — (α − β)² आणि α³ + β³ = S³ − ३PS वापरा.
- सोपे : x² − ५x + ६ : (α − β)² = २५ − २४ = १.
- मध्यम : x² − ३x + १ : α² + β² = ९ − २ = ७.
- परीक्षेसाठी : x² − ३x + १ : α³ + β³ = २७ − ९ = १८.
शून्यके पूर्णांक असल्यास प्रत्येक उत्तर प्रत्यक्ष शून्यकांनी तपासता येते.
α² + β² = (α + β)² + २αβ असे चिन्ह चुकवणे.
"बेरजेचा वर्ग, दोन गुणाकार वजा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1α, β ही x² + 8x + 7 ची शून्यके असतील, तर 2α + 2β − αβ ची किंमत शोधा.
- 2α, β ही x² − x − 4 ची शून्यके असतील, तर 2α + 2β + 3αβ ची किंमत शोधा.
- 3α, β ही x² + 8x + 4 ची शून्यके असतील, तर α + β − αβ ची किंमत शोधा.
- 4α, β ही x² − 6x − 9 ची शून्यके असतील, तर 2α + 2β − αβ ची किंमत शोधा.
- 5α आणि β ही 3x² + 9x + 3 या बहुपदीची शून्यके असतील, तर α²β + αβ² ची किंमत शोधा.
- 6α आणि β ही x² − 9x − 3 या बहुपदीची शून्यके असतील, तर 1/α + 1/β ची किंमत शोधा.
- 7α आणि β ही x² − 3x − 9 या बहुपदीची शून्यके असतील, तर α/β + β/α ची किंमत शोधा.
- 8α आणि β ही 3x² + 7x − 9 या बहुपदीची शून्यके असतील, तर 1/α + 1/β ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−23
- 2−10
- 3−12
- 421
- 5−3
- 6−3
- 7−3
- 87/9