द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल
द्विघात के दो शून्यकों में एक रहस्य है : उनका योग और गुणनफल सीधे गुणांकों से पढ़ा जा सकता है।
ax² + bx + c के शून्यक α और β हों तो : α + β = −b/a और αβ = c/a।
सूत्र : α + β = −b/a; αβ = c/a
आकृति में : x² − 5x + 6 के शून्यक 2 और 3 : योग 5 = −(−5)/1 और गुणनफल 6 = 6/1।
द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : गुणांकों से पढ़ें — a, b, c चिह्न सहित पहचानें।
- आसान : x² − 5x + 6 : योग 5, गुणनफल 6।
- मध्यम : 2x² + 4x − 6 : योग −2, गुणनफल −3।
- परीक्षा-प्रकार : 3x² − x − 4 : योग 1/3, गुणनफल −4/3।
नियम 2 : शून्यकों से जाँचें — वास्तविक शून्यक जोड़-गुणा कर पुष्टि करें।
- आसान : x² + x − 6 : शून्यक 2, −3 : योग −1, गुणनफल −6 ✓।
- मध्यम : x² − 4 : शून्यक 2, −2 : योग 0 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : x² − 2x + 1 : शून्यक 1, 1 : योग 2, गुणनफल 1 ✓।
शून्यकों के योग का चिह्न b/a के विपरीत; गुणनफल का चिह्न c/a जैसा।
−b/a का ऋण चिह्न भूल जाना।
"योग = ऋण b बटा a, गुणनफल = c बटा a।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक द्विघात बहुपद के शून्यक −6 और −1 हैं। शून्यकों का गुणनफल कितना है?
- 2एक द्विघात बहुपद के शून्यक −2 और −1 हैं। शून्यकों का गुणनफल कितना है?
- 3बहुपद x² + 2x − 8 के शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
- 4बहुपद x² − 9x − 6 के शून्यकों का योग ज्ञात कीजिए।
- 5एक द्विघात बहुपद के शून्यक −3 और −6 हैं। शून्यकों का योग कितना है?
- 6बहुपद x² + 7x + 1 के शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
- 7बहुपद x² − 6x + 7 के शून्यकों का योग ज्ञात कीजिए।
- 82x² + 9x + 8 के शून्यकों का योग कितना है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16
- 22
- 3−8
- 49
- 5−9
- 61
- 76
- 8−9/2
शून्यकों से द्विघात बहुपद बनाना
दो शून्यक दिए हों तो ठीक वही शून्यक वाला द्विघात बनाया जा सकता है, दो चाबियों के लिए ताला बनाने जैसा।
शून्यकों का योग S और गुणनफल P वाला द्विघात k[x² − Sx + P], कोई भी शून्येतर k।
सूत्र : p(x) = k[x² − (α+β)x + αβ]
आकृति में : शून्यक 2 और 3 : S = 5, P = 6, अतः x² − 5x + 6।
नियम 1 : योग और गुणनफल से — S और P को x² − Sx + P में रखें।
- आसान : S = 3, P = −10 : x² − 3x − 10।
- मध्यम : S = 0, P = −9 : x² − 9।
- परीक्षा-प्रकार : S = −1, P = −2 : x² + x − 2।
नियम 2 : भिन्नात्मक शून्यक — भिन्न हटाने के लिए k से गुणा करें।
- आसान : शून्यक 1/2, −1 : x² + x/2 − 1/2 → 2x² + x − 1।
- मध्यम : शून्यक 1/4, −1 : 4x² + 3x − 1।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : 2(1/2)² + 1/2 − 1 = 0 ✓।
एक ही शून्यकों के कई बहुपद होते हैं : किसी अचर k से गुणा करें।
x² − Sx + P की जगह x² + Sx + P लिखना।
"ऋण योग x, धन गुणनफल।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वह द्विघात बहुपद कौन-सा है जिसके शून्यक −2 और −8 हैं?
- 2वह द्विघात बहुपद कौन-सा है जिसके शून्यक 2 और 6 हैं?
- 3वह द्विघात बहुपद कौन-सा है जिसके शून्यक −5 और 4 हैं?
- 4वह द्विघात बहुपद कौन-सा है जिसके शून्यक 5 और 2 हैं?
- 5वह द्विघात बहुपद कौन-सा है जिसके शून्यक 6 और −6 हैं?
- 6एक द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग −2 और गुणनफल −6 है। वह बहुपद कौन-सा है?
- 7वह पूर्णांक गुणांकों वाला द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 2 और 1/2 हैं तथा x² का गुणांक 2 है।
- 8वह पूर्णांक गुणांकों वाला द्विघात बहुपद कौन-सा है जिसके शून्यकों का योग −8/3 और गुणनफल −9/4 है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1x² + 10x + 16
- 2x² − 8x + 12
- 3x² + x − 20
- 4x² − 7x + 10
- 5x² − 36
- 6x² + 2x − 6
- 72x² − 5x + 2
- 812x² + 32x − 27
गुणनखंडन से द्विघात के शून्यक
फेंकी गेंद कहाँ गिरेगी यह जानने के लिए सूत्र को दो कोष्ठकों में तोड़ें और हर कोष्ठक को शून्य रखें।
मध्य पद तोड़कर ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) गुणनखंड करें। जहाँ कोष्ठक शून्य हो वहाँ शून्यक। फिर योग −b/a और गुणनफल c/a से जाँचें।
आकृति में : x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4), अतः शून्यक 3 और 4।
नियम 1 : गुणनखंड करें और पढ़ें — गुणनफल c और योग b वाली दो संख्याएँ खोजें।
- आसान : x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) : शून्यक −3, 2।
- मध्यम : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) : शून्यक ±3।
- परीक्षा-प्रकार : 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1) : शून्यक −1/2, 1।
नियम 2 : संबंधों से जाँचें — योग और गुणनफल गुणांकों से मेल खाने चाहिए।
- आसान : 2x² − x − 1 : योग 1/2 ✓, गुणनफल −1/2 ✓।
- मध्यम : x² − 7x + 12 : योग 7, गुणनफल 12 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : x² + x − 6 : योग −1, गुणनफल −6 ✓।
यदि द्विघात पूर्णांकों में गुणनखंड न हो तो भी शून्यक हो सकते हैं (सूत्र प्रयोग करें)।
कोष्ठक का चिह्न गलत लेना : (x + 3) का शून्यक −3।
"कोष्ठक शून्य करें तो शून्यक मिलता है।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1x² − 196 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 2x² − 169 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 3x² − 21 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 4x² − 31 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 5x² − 7x + 6 के शून्यक 1 और 6 हैं। इस बहुपद के लिए c/a का मान कितना है?
- 6x² − 12x + 35 के शून्यक 5 और 7 हैं। इस बहुपद के लिए c/a का मान कितना है?
- 7द्विघात बहुपद x² − 3x − 18 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 8द्विघात बहुपद 10x² − 9x − 9 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 114 और −14
- 213 और −13
- 3√21 और −√21
- 4√31 और −√31
- 56
- 635
- 7−3 और 6
- 83/2 और −3/5
त्रिघात के शून्यक और गुणांक
त्रिघात के तीन शून्यक और चार गुणांक तीन सुव्यवस्थित संबंधों से जुड़े हैं।
ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β, γ : α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a।
सूत्र : Σα = −b/a; Σαβ = c/a; αβγ = −d/a
आकृति में : x³ − 6x² + 11x − 6 के शून्यक 1, 2, 3 : योग 6, जोड़ियों का योग 11, गुणनफल 6।
नियम 1 : तीन योग निकालें — a, b, c, d चिह्न सहित पढ़ें।
- आसान : x³ − 6x² + 11x − 6 : 6, 11, 6।
- मध्यम : x³ − 2x² − x + 2 : 2, −1, −2।
- परीक्षा-प्रकार : 2x³ − 4x² + 6x − 8 : 2, 3, 4।
नियम 2 : शून्यकों से जाँचें — वास्तविक शून्यक गुणा और जोड़ें।
- आसान : शून्यक 1, −1, 2 : योग 2 ✓, जोड़ियाँ −1 ✓, गुणनफल −2 ✓।
- मध्यम : x³ − 6x² + 11x − 6 : 1×2×3 = 6 = −(−6)/1 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : −d/a का ऋण चिह्न याद रखें।
चिह्न-क्रम : −b/a, +c/a, −d/a।
तीनों शून्यकों के गुणनफल के लिए +d/a लेना।
"ऋण, धन, ऋण : b, c, d।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के लिए शून्यकों का योग ___ होता है।
- 2एक त्रिघात बहुपद के शून्यक 4, 2 और −4 हैं। शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
- 3त्रिघात बहुपद 5x³ + 7x² + 3x − 5 के लिए शून्यकों का योग ज्ञात कीजिए।
- 4एक त्रिघात बहुपद के शून्यक −5, −7 और 5 हैं। शून्यकों के दो-दो के गुणनफलों का योग ज्ञात कीजिए।
- 5एक त्रिघात बहुपद के शून्यक −3, 6 और −6 हैं। शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
- 6त्रिघात बहुपद x³ + 7x² + 7x − 15 के दो शून्यक −5 और 1 हैं। तीसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 7त्रिघात बहुपद x³ + 11x² + 38x + 40 के दो शून्यक −2 और −5 हैं। तीसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 8त्रिघात बहुपद x³ − 12x² + 41x − 30 के दो शून्यक 5 और 1 हैं। तीसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−b/a
- 2−32
- 3−7/5
- 4−25
- 5108
- 6−3
- 7−4
- 86
अज्ञात गुणांक और दूसरा शून्यक
एक शून्यक पता हो तो सूत्र की छूटी संख्या और फिर दूसरा शून्यक निकल आता है।
ज्ञात शून्यक को p(x) = 0 में रखकर अज्ञात निकालें, या योग = −b/a और गुणनफल = c/a से दूसरा शून्यक निकालें।
आकृति में : 1, x² + 3x + k का शून्यक हो तो 1 + 3 + k = 0, अतः k = −4।
नियम 1 : अज्ञात निकालें — शून्यक रखें या योग व गुणनफल प्रयोग करें।
- आसान : x² + 3x + k, शून्यक 1 : k = −4।
- मध्यम : 2x² − kx + 6, योग 3 : k/2 = 3, k = 6।
- परीक्षा-प्रकार : x² − 5x + k, एक शून्यक दूसरे का दुगुना : α, 2α : 3α = 5, k = 2α² = 50/9।
नियम 2 : दूसरा शून्यक निकालें — योग में से घटाएँ या गुणनफल से भाग दें।
- आसान : x² − 7x + 10, एक शून्यक 2 : दूसरा = 7 − 2 = 5।
- मध्यम : गुणनफल से जाँचें : 2 × 5 = 10 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : x³ − 6x² + 11x − 6, शून्यक 1, 2 : तीसरा = 6 − 3 = 3।
दोनों विधियाँ मेल खानी चाहिए : गुणनफल से सदा जाँचें।
शून्यक रखकर "= 0" लिखना भूल जाना।
"शून्यक रखें, उत्तर शून्य लिखें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बहुपद x² − 7x + 12 का एक शून्यक 4 है। दूसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 2बहुपद x² − 36 का एक शून्यक −6 है। दूसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 3बहुपद x² − 11x + 24 का एक शून्यक 3 है। दूसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 4बहुपद x² + 7x + (k + 8) के लिए उसके शून्यकों का गुणनफल 3 है। k ज्ञात कीजिए।
- 5बहुपद x² − (k + 1)x + 2 के लिए उसके शून्यकों का योग 7 है। k ज्ञात कीजिए।
- 6बहुपद x² − 2x − 15 का एक शून्यक 5 है। दूसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 7यदि 6x² − 2x + (k + 6) के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों, तो k ज्ञात कीजिए।
- 8यदि x² + (k − 3)x − 3 के शून्यक परिमाण में बराबर पर चिह्न में विपरीत हों, तो k ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13
- 26
- 38
- 4−5
- 56
- 6−3
- 70
- 83
α और β वाली राशियाँ
अक्सर α² + β² या 1/α + 1/β चाहिए। वास्तविक शून्यक नहीं चाहिए : केवल योग और गुणनफल।
राशि को α + β और αβ में लिखें। मुख्य सर्वसमिकाएँ : α² + β² = (α + β)² − 2αβ, 1/α + 1/β = (α + β)/αβ, (α − β)² = (α + β)² − 4αβ।
सूत्र : α² + β² = (α + β)² − 2αβ
आकृति में : x² − 5x + 6 : S = 5, P = 6, अतः α² + β² = 25 − 12 = 13।
नियम 1 : वर्ग और व्युत्क्रम — पहले S = −b/a और P = c/a निकालें।
- आसान : x² − 5x + 6 : α² + β² = 13, 1/α + 1/β = 5/6।
- मध्यम : x² + x − 6 : S = −1, P = −6 : α² + β² = 1 + 12 = 13।
- परीक्षा-प्रकार : वही द्विघात : 1/α + 1/β = (−1)/(−6) = 1/6।
नियम 2 : अंतर और घन — (α − β)² और α³ + β³ = S³ − 3PS प्रयोग करें।
- आसान : x² − 5x + 6 : (α − β)² = 25 − 24 = 1।
- मध्यम : x² − 3x + 1 : α² + β² = 9 − 2 = 7।
- परीक्षा-प्रकार : x² − 3x + 1 : α³ + β³ = 27 − 9 = 18।
शून्यक पूर्णांक हों तो हर उत्तर वास्तविक शून्यकों से जाँचा जा सकता है।
α² + β² = (α + β)² + 2αβ ऐसा चिह्न गलत लिखना।
"योग का वर्ग, दो गुणनफल घटाएँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि α, β बहुपद x² + 8x + 7 के शून्यक हैं, तो 2α + 2β − αβ का मान ज्ञात कीजिए।
- 2यदि α, β बहुपद x² − x − 4 के शून्यक हैं, तो 2α + 2β + 3αβ का मान ज्ञात कीजिए।
- 3यदि α, β बहुपद x² + 8x + 4 के शून्यक हैं, तो α + β − αβ का मान ज्ञात कीजिए।
- 4यदि α, β बहुपद x² − 6x − 9 के शून्यक हैं, तो 2α + 2β − αβ का मान ज्ञात कीजिए।
- 5यदि α और β बहुपद 3x² + 9x + 3 के शून्यक हैं, तो α²β + αβ² का मान ज्ञात कीजिए।
- 6यदि α और β बहुपद x² − 9x − 3 के शून्यक हैं, तो 1/α + 1/β का मान ज्ञात कीजिए।
- 7यदि α और β बहुपद x² − 3x − 9 के शून्यक हैं, तो α/β + β/α का मान ज्ञात कीजिए।
- 8यदि α और β बहुपद 3x² + 7x − 9 के शून्यक हैं, तो 1/α + 1/β का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−23
- 2−10
- 3−12
- 421
- 5−3
- 6−3
- 7−3
- 87/9