अनुपातों से रेखाओं का प्रकार
दो सड़कें एक बार कटती हैं, कभी नहीं मिलतीं या एक ही सड़क होती हैं। रैखिक समीकरण युग्म ऐसी दो रेखाओं जैसा व्यवहार करता है।
a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए : a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ तो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ तो समांतर; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ तो संपाती।
सूत्र : a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ की तुलना
आकृति में : प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक बार मिलती हैं, समांतर कभी नहीं, संपाती हर जगह।
नियम 1 : अनुपात जाँचें — a, b, c के अनुपात एक ही क्रम में लिखें।
- आसान : x + y = 5, x − y = 1 : 1/1 ≠ 1/(−1), प्रतिच्छेद।
- मध्यम : 2x + 3y = 6, 4x + 6y = 7 : 2/4 = 3/6 ≠ 6/7, समांतर।
- परीक्षा-प्रकार : x + 2y = 4, 2x + 4y = 8 : तीनों अनुपात 1/2, संपाती।
नियम 2 : हलों की संख्या — प्रतिच्छेद : एक। समांतर : कोई नहीं। संपाती : अनंत।
- आसान : प्रतिच्छेदी युग्म : ठीक एक हल।
- मध्यम : समांतर युग्म : कोई हल नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : संपाती युग्म : अनंत हल।
अनुपात लेने से पहले दोनों समीकरण ax + by + c = 0 रूप में लाएँ।
अचर दाईं ओर होने पर चिह्न बदले बिना c₁/c₂ लेना।
"अलग अनुपात : कटान; a-b समान, c अलग : समांतर।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1युग्म 7x − 4y − 4 = 0 और 14x − 8y − 8 = 0 किस शर्त को संतुष्ट करता है?
- 2युग्म a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 के अनंत हल होते हैं जब ___।
- 3युग्म −5x − 4y − 3 = 0 और 10x + 8y + 7 = 0 किस शर्त को संतुष्ट करता है?
- 4युग्म 6x + 5y − 3 = 0 और −x + 6y + 1 = 0 किस शर्त को संतुष्ट करता है?
- 5युग्म 6x + 2y + 1 = 0 और 6x − 6y − 7 = 0 किस शर्त को संतुष्ट करता है?
- 6युग्म −2x + 5y + 6 = 0 और −4x + 10y + 12 = 0 किस शर्त को संतुष्ट करता है?
- 7युग्म −5x + 6y + 5 = 0 और −15x + 18y + 15 = 0 किस शर्त को संतुष्ट करता है?
- 8युग्म −2x − y − 4 = 0 और −4x − 2y − 8 = 0 किस शर्त को संतुष्ट करता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- 2a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- 3a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
- 4a1/a2 ≠ b1/b2
- 5a1/a2 ≠ b1/b2
- 6a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- 7a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
- 8a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
हलों की संख्या और संगतता
ताले की एक चाबी, कई चाबियाँ या कोई नहीं होती। युग्म का कम से कम एक हल हो तो वह संगत है।
युग्म का कम से कम एक हल हो (प्रतिच्छेदी या संपाती रेखाएँ) तो संगत; कोई हल न हो (समांतर रेखाएँ) तो असंगत। संपाती रेखाओं को आश्रित भी कहते हैं।
आकृति में : केवल समांतर रेखाएँ असंगत युग्म देती हैं।
नियम 1 : युग्म को नाम दें — अनुपात देखें और तय करें।
- आसान : x − y = 2, 2x − 2y = 4 : अनंत, संगत (आश्रित)।
- मध्यम : x + y = 3, 2x + 2y = 7 : समांतर, असंगत।
- परीक्षा-प्रकार : 2x + y = 5, x − y = 1 : एक हल, संगत।
नियम 2 : सही या गलत — तीनों स्थितियों से तय करें।
- आसान : हर संगत युग्म का ठीक एक हल : गलत (संपाती रेखाएँ)।
- मध्यम : दो हल वाले युग्म के अनंत हल होते हैं।
- परीक्षा-प्रकार : समांतर रेखाएँ : असंगत।
दो भिन्न रेखाओं के ठीक दो उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकते।
संपाती रेखाओं को असंगत कहना : उनके हल हैं, इसलिए संगत।
"समांतर ही एकमात्र असंगत।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1युग्म 6x + y + 1 = 0, 12x + 2y + 2 = 0 के कितने हल हैं?
- 2युग्म −7x − 6y − 4 = 0, 14x + 12y + 5 = 0 के कितने हल हैं?
- 3युग्म −6x + 6y + 6 = 0, −18x + 18y + 18 = 0 के कितने हल हैं?
- 4युग्म 3x − 2y + 5 = 0, −6x − 3y + 1 = 0 के कितने हल हैं?
- 5युग्म 4x − 4y + 3 = 0, −8x + 8y − 6 = 0 के कितने हल हैं?
- 6युग्म −x + y − 4 = 0, x + 6y − 7 = 0 के कितने हल हैं?
- 7युग्म x + 7y − 6 = 0, −2x − 14y + 14 = 0 के कितने हल हैं?
- 8जिस रैखिक समीकरण युग्म का कम से कम एक हल होता है उसे ___ कहते हैं।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1अनंत हल
- 2कोई हल नहीं
- 3अनंत हल
- 4ठीक एक हल
- 5अनंत हल
- 6ठीक एक हल
- 7कोई हल नहीं
- 8संगत
दी गई शर्त के लिए k ज्ञात करना
अज्ञात k तय करता है कि रेखाएँ कटेंगी, समांतर रहेंगी या एक हो जाएँगी। चाहे गए मामले के अनुसार k चुनें।
शर्त लिखें : एक हल : a₁/a₂ ≠ b₁/b₂। कोई हल नहीं : a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂। अनंत हल : a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂। k के लिए हल करें।
आकृति में : हर स्थिति k में एक समीकरण या असमिका है।
नियम 1 : अनंत हल — तीनों अनुपात बराबर रखें।
- आसान : x + 2y = 3, 2x + ky = 6 : 1/2 = 2/k = 3/6 ⇒ k = 4।
- मध्यम : 3x + y = 1, 6x + 2y = k : 3/6 = 1/2 = 1/k ⇒ k = 2।
- परीक्षा-प्रकार : पहले समीकरण को 2 से गुणा करके जाँचें।
नियम 2 : कोई हल नहीं या एक हल — कोई हल नहीं : a-b अनुपात समान, c अलग। एक हल : a-b अनुपात अलग।
- आसान : 2x + 3y = 5, 4x + ky = 7 : 2/4 = 3/k ⇒ k = 6; 5/7 ≠ 1/2 ✓ कोई हल नहीं।
- मध्यम : 3x + 2y = 5, kx + 4y = 7 : 3/k ≠ 1/2 तो एक हल, अतः k ≠ 6।
- परीक्षा-प्रकार : x + 2y = 3 और 2x + ky = 5 का k ≠ 4 के लिए एक हल।
"कोई हल नहीं" के लिए मिला k, c-अनुपात से जाँचें।
तीसरा अनुपात न जाँचना, तब "कोई हल नहीं" और "अनंत" में गड़बड़ी।
"a और b से k निकालें; c जाँचें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1k के किस मान के लिए युग्म −3x + y = −5 और kx + 4y = −18 का कोई हल नहीं है?
- 2k के किस मान के लिए युग्म −4x − 7y = −6 और −12x + ky = −22 का कोई हल नहीं है?
- 3k के किस मान के लिए युग्म −5x − 5y = 2 और kx − 10y = 7 का कोई हल नहीं है?
- 4k के किस मान के लिए युग्म −5x − y = 7 और kx + 3y = −19 का कोई हल नहीं है?
- 5k के किस मान के लिए युग्म 6x + 4y = 6 और kx + 8y = 15 का कोई हल नहीं है?
- 6k के किस मान के लिए युग्म 5x − 6y = 4 और kx + 12y = −6 का कोई हल नहीं है?
- 7k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए युग्म 5x − 6y = 3 और 20x + ky = 12 के अनंत हल हों।
- 8k के किस मान के लिए युग्म −3x − y = −3 और kx + 3y = 6 का कोई हल नहीं है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−12
- 2−21
- 3−10
- 415
- 512
- 6−10
- 7−24
- 89
हल अर्थात प्रतिच्छेद बिंदु
दो राहें एक जगह मिलती हैं : वह जगह दोनों राहों की है। दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरण संतुष्ट करता है।
युग्म को आलेख से हल करने के लिए दोनों रेखाएँ खींचें। वे जहाँ मिलती हैं उस बिंदु के निर्देशांक हल (x, y) हैं। दोनों समीकरणों में रखकर जाँचें।
आकृति में : x + y = 5 और x − y = 1, (3, 2) पर मिलती हैं, अतः x = 3, y = 2।
हल अर्थात प्रतिच्छेद बिंदु
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : बिंदु पढ़ें — दोनों में रखकर जाँचें।
- आसान : x + y = 4, x − y = 2 : बिंदु (3, 1)।
- मध्यम : x + 2y = 5, x − y = −1 : बिंदु (1, 2) : 1 + 4 = 5 ✓, 1 − 2 = −1 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : y = 2x और x + y = 6 : बिंदु (2, 4)।
नियम 2 : ध्यान से आलेख खींचें — हर रेखा के कम से कम दो बिंदु, पक्के के लिए तीन।
- आसान : x + y = 5 के लिए : (0, 5), (5, 0), (2, 3)।
- मध्यम : x − y = 1 के लिए : (1, 0), (0, −1), (3, 2)।
- परीक्षा-प्रकार : तीसरा बिंदु भी रेखा पर होना चाहिए।
तीन बिंदु एक रेखा में न हों तो एक गलत है।
हल को (x, y) की जगह (y, x) पढ़ना।
"रेखाएँ जहाँ मिलें वही उत्तर।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1रेखाएँ −4x − 5y = −28 और 7x − 6y = −10 किस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं?
- 2x और y में रैखिक समीकरण युग्म का हल आलेख पर दोनों रेखाओं के ___ से निरूपित होता है।
- 3रेखाएँ −3x − y = −20 और −3x − 7y = −14 किस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं?
- 4रेखाएँ −3x + y = −4 और 4x + 4y = 16 किस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं?
- 5−x + 5y = −23 और 7x + 5y = 1 के आलेख बिंदु (x, y) पर प्रतिच्छेद करते हैं। xy का मान ज्ञात कीजिए।
- 6−5x − 7y = 39 और −6x − 7y = 44 के आलेख बिंदु (x, y) पर प्रतिच्छेद करते हैं। x + y का मान ज्ञात कीजिए।
- 7रेखाएँ −3x + y = −18 और −3x − 6y = 3 बिंदु P पर मिलती हैं। रेखा kx − 2y = 36 P से होकर जाती है। k ज्ञात कीजिए।
- 8रेखाएँ −2x + 2y = −14 और x + 7y = −17 बिंदु P पर मिलती हैं। रेखा kx + 2y = 2 P से होकर जाती है। k ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(2, 4)
- 2प्रतिच्छेद बिंदु
- 3(7, −1)
- 4(2, 2)
- 5−12
- 6−7
- 76
- 82
अंतःखंड और समीकरण बनाना
रेखा अक्षों को जहाँ काटती है वह दो झटपट बिंदु देता है। और शब्द-प्रश्नों से आलेख के लिए समीकरण बनते हैं।
x-अंतःखंड y = 0 रखकर और y-अंतःखंड x = 0 रखकर निकालें। अज्ञातों को x व y नाम देकर स्थिति से दो समीकरण बनाएँ।
सूत्र : x-अंतःखंड : y = 0; y-अंतःखंड : x = 0
आकृति में : 2x + 3y = 6 अक्षों को (3, 0) और (0, 2) पर काटती है।
नियम 1 : अंतःखंड निकालें — हर चर को बारी-बारी 0 रखें।
- आसान : x + y = 5 : (5, 0) और (0, 5)।
- मध्यम : 3x − 2y = 6 : (2, 0) और (0, −3)।
- परीक्षा-प्रकार : 4x + 2y = 8 : (2, 0) और (0, 4)।
नियम 2 : समीकरण बनाएँ — अज्ञात राशियाँ x व y लें; हर कथन को समीकरण में लिखें।
- आसान : दो संख्याओं का योग 10 और अंतर 2 : x + y = 10, x − y = 2।
- मध्यम : 2 पेन और 1 पेंसिल 11; 1 पेन और 1 पेंसिल 7 : 2x + y = 11, x + y = 7 (पेन 4, पेंसिल 3)।
- परीक्षा-प्रकार : पिता पुत्र का 3 गुना और योग 48 : x = 3y, x + y = 48 (पुत्र 12)।
समीकरण लिखने से पहले बताएँ x और y क्या हैं।
x-अंतःखंड के लिए x = 0 रखना (उसके लिए y = 0 रखते हैं)।
"x-अंतःखंड : y शून्य।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख खींचने के लिए कम से कम ___ बिंदु आलेखित करने पड़ते हैं।
- 2दो संख्याओं का योग 18 और अंतर 13 है। यह कथन किस समीकरण युग्म से निरूपित होता है (x बड़ी संख्या, y छोटी संख्या)?
- 3दो संख्याओं का योग 25 और अंतर 15 है। यह कथन किस समीकरण युग्म से निरूपित होता है (x बड़ी संख्या, y छोटी संख्या)?
- 4दो संख्याओं का योग 13 और अंतर 3 है। यह कथन किस समीकरण युग्म से निरूपित होता है (x बड़ी संख्या, y छोटी संख्या)?
- 5एक संख्या x दूसरी संख्या y की दुगुनी से 9 अधिक है और उनका योग 34 है। कौन-सा समीकरण युग्म इसे निरूपित करता है?
- 6एक संख्या x दूसरी संख्या y की तिगुनी से 2 अधिक है और उनका योग 28 है। कौन-सा समीकरण युग्म इसे निरूपित करता है?
- 7रेखा 6x + 5y = 30 और दोनों निर्देशांक अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 8रेखा x + 5y = 5 और दोनों निर्देशांक अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 2x + y = 18 और x − y = 13
- 3x + y = 25 और x − y = 15
- 4x + y = 13 और x − y = 3
- 5x − 2y = 9 और x + y = 34
- 6x − 3y = 2 और x + y = 28
- 715
- 85/2