प्रतिस्थापन विधि से युग्म हल करना
दो वस्तुओं का बिल बाँटते समय पहले एक राशि को दूसरी के रूप में निकालते हैं, फिर उसे दूसरी शर्त में रखते हैं।
प्रतिस्थापन विधि में एक समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में लिखें, उसे दूसरे समीकरण में रखें, एक चर का समीकरण हल करें और फिर दूसरा चर निकालें।
आकृति में : x + y = 10 और x − y = 2 : y = 10 − x, अतः x − (10 − x) = 2, x = 6, y = 4।
प्रतिस्थापन विधि से युग्म हल करना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : चरण अपनाएँ — लिखें, रखें, हल करें, फिर लौटें।
- आसान : y = 2x और x + y = 9 : 3x = 9, x = 3, y = 6।
- मध्यम : x = 2y और x + 2y = 8 : 4y = 8, y = 2, x = 4।
- परीक्षा-प्रकार : 3x + y = 11 और y = x + 3 : 4x + 3 = 11, x = 2, y = 5।
नियम 2 : उत्तर जाँचें — (x, y) दोनों मूल समीकरणों में रखें।
- आसान : (6, 4) : 6 + 4 = 10 ✓ और 6 − 4 = 2 ✓।
- मध्यम : (2, 5) : 6 + 5 = 11 ✓ और 5 = 2 + 3 ✓।
- परीक्षा-प्रकार : केवल एक समीकरण में जाँचना काफी नहीं।
सदा दूसरे समीकरण में रखें, जिससे राशि निकाली उसमें नहीं।
उसी समीकरण में वापस रखना, तब 0 = 0 आता है और उत्तर नहीं मिलता।
"लिखें, दूसरे में रखें, हल करें, लौटें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए : x + 2y = 5 और 4x − y = −7। y का मान कितना है?
- 2प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए : x − y = −1 और 2x − 5y = −26। y का मान कितना है?
- 3प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए : 5x + y = 4 और −x + 5y = −6। y का मान कितना है?
- 4प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए : −x − 5y = 23 और −4x + 6y = −38। x का मान कितना है?
- 5युग्म −4x − y = −34 और x − 4y = 0 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए और x + y का मान ज्ञात कीजिए।
- 6युग्म x + 5y = 31 और −5x + 4y = −10 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए और xy का मान ज्ञात कीजिए।
- 7युग्म x − y = 14 और −3x − 3y = −6 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए और x + y का मान ज्ञात कीजिए।
- 8यदि x और y समीकरणों x − 7y = −32 तथा −5x − 2y = 12 को संतुष्ट करते हैं, तो 2x + 3y का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13
- 28
- 3−1
- 42
- 510
- 630
- 72
- 84
एक चर को दूसरे के रूप में लिखना
सरल समीकरण और सरल चर चुनें : जिसका गुणांक 1 है वही सबसे आसानी से अलग होता है।
चर को लिखने के लिए शेष पद दूसरी ओर ले जाएँ और उसके गुणांक से भाग दें। भिन्न से बचने के लिए गुणांक 1 या −1 वाला चर चुनें।
सूत्र : ax + by = c ⇒ y = (c − ax)/b
आकृति में : x + 3y = 7 से x = 7 − 3y बनता है, रखने के लिए तैयार।
नियम 1 : चर अलग करें — गुणांक 1 वाला चर चुनें।
- आसान : x + 3y = 7 ⇒ x = 7 − 3y।
- मध्यम : 3x − y = 5 ⇒ y = 3x − 5।
- परीक्षा-प्रकार : 2x + 3y = 12 ⇒ y = (12 − 2x)/3।
नियम 2 : दूसरे समीकरण में प्रयोग करें — चर की जगह पूरी राशि कोष्ठक में रखें।
- आसान : x = 7 − 3y, 2x − y = 7 में : 2(7 − 3y) − y = 7, 14 − 7y = 7, y = 1, x = 4।
- मध्यम : y = 3x − 5, x + y = 7 में : x + 3x − 5 = 7, x = 3, y = 4।
- परीक्षा-प्रकार : ऋण चिह्न हर पद पर लगे इसलिए कोष्ठक प्रयोग करें।
गुणांक 1 वाला चर अलग करने से भिन्न बचते हैं।
कोष्ठक भूलना : 2(7 − 3y) की जगह 2 × 7 − 3y।
"आसान चर अलग करें; बदलते समय कोष्ठक।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1समीकरण 2x − 5y = −4 से x को y के पदों में व्यक्त कीजिए।
- 2समीकरण −6x − y = 13 से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
- 3समीकरण x + 5y = −9 से x को y के पदों में व्यक्त कीजिए।
- 4समीकरण −7x − 7y = −13 से x को y के पदों में व्यक्त कीजिए।
- 5समीकरण 6x − y = −7 से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
- 6समीकरण −x − y = 2 से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
- 7समीकरण x + 6y = 13 से x को y के पदों में व्यक्त कीजिए।
- 8समीकरण −7x + y = −12 से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(−4 + 5y)/2
- 2−13 − 6x
- 3−9 − 5y
- 4(13 − 7y)/7
- 57 + 6x
- 6−2 − x
- 713 − 6y
- 8−12 + 7x
प्रतिस्थापन विधि से शाब्दिक प्रश्न
कई स्थितियों में दो जुड़े अज्ञात छिपे होते हैं : संख्या, आयु, मूल्य, लंबाई। उन्हें x, y नाम दें, दो समीकरण लिखें, रखें।
प्रश्न पढ़ें, अज्ञातों को नाम दें, दो समीकरण लिखें, प्रतिस्थापन से हल करें और कहानी से जाँचकर इकाई सहित शब्दों में उत्तर लिखें।
आकृति में : योग 25, अंतर 7 : x + y = 25, x = y + 7, अतः y = 9, x = 16।
नियम 1 : संख्याएँ और अंक — अंक : दहाई x, इकाई y तो संख्या 10x + y।
- आसान : दो संख्याएँ : योग 25, अंतर 7 → 16 और 9।
- मध्यम : एक संख्या दूसरी की 3 गुनी, योग 20 : 5 और 15।
- परीक्षा-प्रकार : अंकों का योग 9, संख्या उलटी से 9 अधिक : x + y = 9, x − y = 1 : संख्या 54।
नियम 2 : पैसे और आकृतियाँ — राशियों में संबंध लिखें, फिर कुल।
- आसान : पेन = पेंसिल + 2, पेन + पेंसिल = 8 : पेन 5, पेंसिल 3।
- मध्यम : आयत : लंबाई = चौड़ाई + 3, परिमाप 30 : चौड़ाई 6 cm, लंबाई 9 cm।
- परीक्षा-प्रकार : रितु के पास रवि से 3 गुने सिक्के, कुल 60 : रवि 15, रितु 45।
उत्तर केवल समीकरणों से नहीं, प्रश्न के शब्दों से भी जाँचें।
x बड़ी संख्या होने पर "अंतर 7" को y − x = 7 लिखना।
"नाम, दो समीकरण, रखें, उत्तर।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1पिता और पुत्र की आयु का योग 59 वर्ष है और पिता पुत्र से 29 वर्ष बड़े हैं। पुत्र की आयु कितनी है?
- 2दो संख्याओं का योग 112 और अंतर 12 है। छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 3पिता और पुत्र की आयु का योग 36 वर्ष है और पिता पुत्र से 16 वर्ष बड़े हैं। पिता की आयु कितनी है?
- 4दो संख्याओं का योग 131 और अंतर 21 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 5एक पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की 3 गुनी है और दोनों की आयु का योग 32 वर्ष है। पुत्र की आयु कितनी है?
- 6एक संख्या दूसरी संख्या की दुगुनी से 8 अधिक है और उनका योग 65 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 7एक पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की 5 गुनी है और दोनों की आयु का योग 90 वर्ष है। पिता की आयु कितनी है?
- 8एक आयत का परिमाप 132 cm है और उसकी लंबाई चौड़ाई से 16 cm अधिक है। उसकी लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 115
- 250
- 326
- 476
- 58
- 646
- 775
- 841
विशेष स्थितियाँ : कोई हल नहीं या अनंत हल
कभी-कभी रखते समय चर गायब हो जाते हैं। जो बचे उससे पता चलता है कि रेखाएँ एक हैं या समांतर।
प्रतिस्थापन के बाद 0 = 0 जैसा सत्य कथन बचे तो अनंत हल (संपाती रेखाएँ)। 8 = 9 जैसा असत्य कथन बचे तो कोई हल नहीं (समांतर रेखाएँ)।
आकृति में : x + y = 4 और 2x + 2y = 8 से 8 = 8, अतः अनंत हल।
नियम 1 : सत्य बचता है — दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं।
- आसान : x + y = 4, 2x + 2y = 8 : y = 4 − x ⇒ 2x + 8 − 2x = 8, 0 = 0, अनंत।
- मध्यम : x − 2y = 3, 3x − 6y = 9 : x = 3 + 2y ⇒ 9 + 6y − 6y = 9, अनंत।
- परीक्षा-प्रकार : रेखा का हर बिंदु हल।
नियम 2 : असत्य बचता है — रेखाएँ समांतर।
- आसान : x + y = 4, 2x + 2y = 9 : 8 = 9, कोई हल नहीं।
- मध्यम : 2x + y = 3, 4x + 2y = 7 : 6 = 7, कोई हल नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : अनुपात परीक्षण से पुष्टि करें।
अनुपात परीक्षण और प्रतिस्थापन का परिणाम एक ही बात कहें।
x गायब होने पर "कोई हल नहीं" कहना; देखें कि बचा कथन सत्य है या असत्य।
"सत्य बचा : अनंत। असत्य बचा : कोई हल नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1x + 4y = −10 और −5x − 5y = 15 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। परिणाम क्या दर्शाता है?
- 2x − 4y = 1 और 5x − 20y = 5 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। परिणाम क्या दर्शाता है?
- 3x + 5y = 2 और −x − 3y = −11 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। परिणाम क्या दर्शाता है?
- 4x + y = 7 और 3x + 3y = 24 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। परिणाम क्या दर्शाता है?
- 5x − 7y = −4 और 3x − 3y = 0 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। परिणाम क्या दर्शाता है?
- 6x + 6y = 12 और 3x + 18y = 38 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। परिणाम क्या दर्शाता है?
- 7x − 6y = 12 और −2x − 7y = 19 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। परिणाम क्या दर्शाता है?
- 8x + 4y = −3 और 2x + 8y = −3 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। परिणाम क्या दर्शाता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1ठीक एक हल
- 2अनंत हल
- 3ठीक एक हल
- 4कोई हल नहीं
- 5ठीक एक हल
- 6कोई हल नहीं
- 7ठीक एक हल
- 8कोई हल नहीं
दिया गया हल उपयोग करना और जाँचना
एक उत्तर दिया हो तो समीकरण की छूटी संख्या निकल सकती है या जाँच सकते हैं कि जोड़ी मेल खाती है या नहीं।
जोड़ी (x, y) समीकरण का हल है यदि मान रखने पर दोनों पक्ष बराबर हों। दिया गया हल समीकरण में रखकर अज्ञात अचर निकाला जा सकता है।
आकृति में : (2, 1), ax + 3y = 7 का हल हो तो 2a + 3 = 7, अतः a = 2।
नियम 1 : अचर निकालें — x और y की जगह दी गई संख्याएँ रखें।
- आसान : (1, −1), 3x + by = 1 का हल : 3 − b = 1, b = 2।
- मध्यम : (2, 3), ax + 2y = 12 का हल : 2a + 6 = 12, a = 3।
- परीक्षा-प्रकार : (3, 2), x + y = c का हल : c = 5।
नियम 2 : जोड़ी जाँचें — दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए।
- आसान : (4, 3), x + y = 7 और x − y = 1 में : दोनों सत्य ✓।
- मध्यम : (5, 1), x + y = 6 और x − y = 3 में : दूसरा 4 ≠ 3 ✗।
- परीक्षा-प्रकार : एक समीकरण सत्य होने से वह युग्म का हल नहीं बनता।
युग्म का हल दोनों समीकरण संतुष्ट करता है।
केवल एक समीकरण में जाँचकर युग्म का हल कह देना।
"दोनों में रखें, दोनों सत्य हों।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि x = 7, y = 2, −3x + 7y = c का एक हल है, तो c ज्ञात कीजिए।
- 2यदि x = 1, y = −3, −5x + 4y = c का एक हल है, तो c ज्ञात कीजिए।
- 3यदि x = −2, y = −1, −6x − 3y = c का एक हल है, तो c ज्ञात कीजिए।
- 4यदि x = −6, y = −4, 3x + 3y = c का एक हल है, तो c ज्ञात कीजिए।
- 5यदि x = −1, y = −2, −4x + ky = −6 का एक हल है, तो k ज्ञात कीजिए।
- 6यदि x = 4, y = −7, −3x + ky = −19 का एक हल है, तो k ज्ञात कीजिए।
- 7यदि x = −6, y = −6, 3x + ky = −36 का एक हल है, तो k ज्ञात कीजिए।
- 8x = 2, y = 3, ax + by = 28 और ax − by = −8 का हल है। a + b ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−7
- 2−17
- 315
- 4−30
- 55
- 61
- 73
- 811