गुणक चुनना और चर हटाना
दो बिलों से एक वस्तु हटानी हो तो उसकी मात्रा बराबर करें, फिर बिल घटाएँ।
चर हटाने के लिए समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करें ताकि उसके गुणांक बराबर आकार के हों। चिह्न समान हों तो घटाएँ, विपरीत हों तो जोड़ें।
आकृति में : 2x + 3y = 8 और 3x + 2y = 7 : 3 से और 2 से गुणा कर दोनों में 6x, फिर घटाएँ : 5y = 10, y = 2, x = 1।
नियम 1 : गुणक चुनें — जिसके लिए छोटे गुणक चाहिए वह चर चुनें।
- आसान : x + y = 5 और x − y = 1 : गुणक नहीं, जोड़ें : 2x = 6।
- मध्यम : 3x + 2y = 12 और x + y = 5 : दूसरे को 2 से गुणा कर घटाएँ : x = 2, y = 3।
- परीक्षा-प्रकार : 5x − 3y = 7 और 2x + y = 5 : दूसरे को 3 से गुणा कर जोड़ें : 11x = 22, x = 2, y = 1।
नियम 2 : जोड़ें या घटाएँ — चिह्न समान : घटाएँ। विपरीत : जोड़ें।
- आसान : 3x + 2y और x − 2y : विपरीत चिह्न, जोड़ें।
- मध्यम : 4x + 3y और 2x + 3y : समान चिह्न, घटाएँ।
- परीक्षा-प्रकार : ऋणात्मक पद घटाने पर उसका चिह्न बदल जाता है।
केवल एक पद नहीं, पूरे समीकरण के दोनों पक्ष गुणा करें।
केवल चर पद गुणा करना और दाईं ओर का अचर भूल जाना।
"गुणांक बराबर करें, फिर जोड़ें या घटाएँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि किसी चर के गुणांक परिमाण में बराबर पर चिह्न में विपरीत हों तो उसे हटाने के लिए हम समीकरणों को ___ हैं।
- 26x − 7y = 18 और −6x − 6y = −5 से x को सीधे हटाने के लिए क्या करना चाहिए?
- 3−x + 2y = 24 और 7x − 2y = 0 से y को सीधे हटाने के लिए क्या करना चाहिए?
- 4−5x + 3y = 6 और 4x − 3y = −18 से y को सीधे हटाने के लिए क्या करना चाहिए?
- 5−4x + 3y = 12 और 5x − 3y = 29 से y को सीधे हटाने के लिए क्या करना चाहिए?
- 6x + 2y = 13 और −x − 2y = 20 से y को सीधे हटाने के लिए क्या करना चाहिए?
- 72x + 2y = 2 और −6x − y = −11 में x के गुणांकों को संख्यात्मक रूप से बराबर करने के लिए पहले और दूसरे समीकरण को (इसी क्रम में) किन सबसे छोटी धनात्मक संख्याओं से गुणा करें?
- 8−5x + 8y = 10 और −5x + 2y = −11 में y के गुणांकों को संख्यात्मक रूप से बराबर करने के लिए पहले और दूसरे समीकरण को (इसी क्रम में) किन सबसे छोटी धनात्मक संख्याओं से गुणा करें?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1जोड़ते
- 2दोनों समीकरणों को जोड़ें
- 3दोनों समीकरणों को जोड़ें
- 4दोनों समीकरणों को जोड़ें
- 5दोनों समीकरणों को जोड़ें
- 6दोनों समीकरणों को जोड़ें
- 73 और 1
- 81 और 4
जोड़ने या घटाने के बाद का समीकरण
जोड़ने या घटाने के बाद एक चर गायब हो जाता है और छोटा समीकरण बचता है : यही चरण प्रश्न आसान करता है।
बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष अलग-अलग जोड़ें (या घटाएँ)। परिणाम एक चर का समीकरण है जिसे सीधे हल कर सकते हैं।
आकृति में : x + 2y = 7 और 3x − 2y = 5 जोड़ने पर y हट जाता है : 4x = 12।
नियम 1 : नया समीकरण लिखें — पद-दर-पद जोड़ें या घटाएँ।
- आसान : (x + y = 9) + (x − y = 3) : 2x = 12।
- मध्यम : (5x + 2y = 16) − (3x + 2y = 10) : 2x = 6।
- परीक्षा-प्रकार : (2x + 3y = 12) − (2x − y = 4) : 4y = 8।
नियम 2 : उसे हल करें — शेष गुणांक से दोनों पक्ष भाग दें।
- आसान : 2x = 12 ⇒ x = 6।
- मध्यम : 2x = 6 ⇒ x = 3।
- परीक्षा-प्रकार : 4y = 8 ⇒ y = 2।
घटाने के बाद हर चिह्न, खासकर दूसरे समीकरण के ऋण चिह्न, ध्यान से देखें।
दूसरे समीकरण का केवल पहला पद घटाना।
"बाएँ बाएँ के साथ, दाएँ दाएँ के साथ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 17x − 5y = −13 और 7x − 2y = −1 में (x हटाने के लिए) पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर मिलता है
- 2x + 6y = 8 और 5x − 6y = 11 में (y हटाने के लिए) दोनों समीकरणों को जोड़ने पर मिलता है
- 3−6x + 2y = 7 और 4x − 2y = 13 में (y हटाने के लिए) दोनों समीकरणों को जोड़ने पर मिलता है
- 44x + 6y = −3 और −5x − 6y = 25 में (y हटाने के लिए) दोनों समीकरणों को जोड़ने पर मिलता है
- 57x + 4y = −3 और x + 4y = 22 में (y हटाने के लिए) पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर मिलता है
- 62x − 6y = 10 और −2x − 5y = −11 में (x हटाने के लिए) दोनों समीकरणों को जोड़ने पर मिलता है
- 76x + 2y = 21 और 6x + 4y = 28 में (x हटाने के लिए) पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर मिलता है
- 86x + 2y = −11 और 6x − 7y = 20 में (x हटाने के लिए) पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर मिलता है
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−3y = −12
- 26x = 19
- 3−2x = 20
- 4−x = 22
- 56x = −25
- 6−11y = −1
- 7−2y = −7
- 89y = −31
विलोपन विधि से युग्म हल करना
पहले एक अज्ञात हटाएँ, फिर दूसरा खोजें, फिर लौटकर जाँचें। विलोपन भिन्न और कोष्ठक से बचाता है।
विलोपन विधि के चरण : (1) गुणांक बराबर करें, (2) जोड़ें या घटाएँ, (3) एक चर हल करें, (4) वापस रखकर दूसरा निकालें, (5) दोनों समीकरणों में जाँचें।
आकृति में : 3x + 2y = 11 और x − 2y = 1 : जोड़कर 4x = 12, x = 3, y = 1।
विलोपन विधि से युग्म हल करना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : पूरा हल करें — दोनों मान निकालें, फिर जाँचें।
- आसान : 3x + 2y = 11, x − 2y = 1 : x = 3, y = 1 (जाँच : 3 − 2 = 1 ✓)।
- मध्यम : 2x + y = 7, 3x − y = 8 : जोड़कर 5x = 15, x = 3, y = 1।
- परीक्षा-प्रकार : 4x + 3y = 17, 2x + y = 7 : दूसरे को 2 से गुणा कर घटाएँ : y = 3, x = 2।
नियम 2 : तेज़ चर चुनें — जिसके लिए सरल गुणक चाहिए वह चर हटाएँ।
- आसान : एक जोड़ी में गुणांक समान और चिह्न विपरीत हों तो सीधे जोड़ें।
- मध्यम : एक गुणांक दूसरे को भाग दे तो केवल एक समीकरण गुणा करें।
- परीक्षा-प्रकार : नहीं तो हर एक को दूसरे के गुणांक से गुणा करें।
गुणांक 1 न हों तब विलोपन सबसे अच्छी विधि है।
केवल x निकालकर उसे अंतिम उत्तर लिखना; y भी चाहिए।
"हटाएँ, हल करें, लौटें, जाँचें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 15x − 4y = −56 और 5x + 4y = 16 हल कीजिए। y का मान कितना है?
- 2विलोपन विधि से हल कीजिए : −3x − 3y = −30 और −3x + y = −10। x का मान कितना है?
- 33x + 2y = 23 और 3x − 2y = 19 हल कीजिए। y का मान कितना है?
- 4विलोपन विधि से हल कीजिए : 3x − 4y = 22 और 4x − y = 12। x का मान कितना है?
- 5विलोपन विधि से हल कीजिए : −4x + 3y = −32 और −x + 3y = −17। x का मान कितना है?
- 6विलोपन विधि से हल कीजिए : x + 3y = −8 और 2x + 5y = −13। x का मान कितना है?
- 72x − 5y = −13 और x − 7y = −11 को विलोपन विधि से हल कीजिए और xy का मान ज्ञात कीजिए।
- 84x + 2y = 46 और −6x + 6y = 12 को विलोपन विधि से हल कीजिए और 2x + 3y का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 19
- 25
- 31
- 42
- 55
- 61
- 7−4
- 841
शाब्दिक प्रश्न : मूल्य, निश्चित शुल्क, दो अंकों की संख्या
दुकान के बिल, टैक्सी किराया और दो अंकों की संख्याओं से दो समीकरण बनते हैं। विलोपन से दोनों अज्ञात जल्दी निकलते हैं।
अज्ञातों को नाम दें, दो समीकरण लिखें (मूल्य : कुल = वस्तुएँ × दर; निश्चित शुल्क : f + n × दर; अंक : 10x + y), विलोपन करें और शब्दों में उत्तर दें।
सूत्र : कुल = निश्चित + संख्या × दर
आकृति में : टैक्सी : निश्चित f, दर k प्रति km। 10 km का 105 और 15 km का 155 : f + 10k = 105, f + 15k = 155, अतः k = 10, f = 5।
नियम 1 : मूल्य की समस्याएँ — हर कथन एक समीकरण।
- आसान : 2 पेंसिल + 3 रबर = 9 और 4 पेंसिल + 5 रबर = 17 : पेंसिल 3, रबर 1।
- मध्यम : 3 kg सेब + 1 kg अंगूर = 480, 2 kg सेब + 1 kg अंगूर = 340 : सेब 140, अंगूर 60।
- परीक्षा-प्रकार : समान वस्तु हटाने के लिए समीकरण घटाएँ।
नियम 2 : निश्चित शुल्क और अंक — निश्चित + दर × मात्रा; और अंकों के लिए 10x + y।
- आसान : टैक्सी : f + 10k = 105 और f + 15k = 155 : k = 10, f = 5।
- मध्यम : अंकों का योग 9, उलटी संख्या 27 अधिक : y − x = 3, x + y = 9 : संख्या 36।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : 63 − 36 = 27 ✓।
अंतिम उत्तर इकाई (₹, km, kg) सहित वाक्य में लिखें।
अंकी संख्या को 10x + y की जगह xy (गुणनफल) लिखना।
"मूल्य : कुल; निश्चित : f जोड़; अंक : दस x जोड़ y।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दो संख्याओं का योग 959 है और उनका अंतर 189 है। विलोपन विधि से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 22 पेंसिलों और 3 रबरों का मूल्य ₹145 है, जबकि 5 पेंसिलों और 1 रबरों का मूल्य ₹174 है। एक रबर का मूल्य ज्ञात कीजिए।
- 31 वयस्क टिकट और 3 बाल टिकट का मूल्य ₹25 है, जबकि 4 वयस्क टिकट और 1 बाल टिकट का मूल्य ₹34 है। एक बाल टिकट का मूल्य ज्ञात कीजिए।
- 4दो संख्याओं का योग 812 है और उनका अंतर 150 है। विलोपन विधि से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 5दो संख्याओं का योग 288 है और उनका अंतर 48 है। विलोपन विधि से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 6एक छात्रावास निश्चित मासिक राशि और प्रतिदिन भोजन का शुल्क लेता है। 4 दिन भोजन करने वाला विद्यार्थी ₹273 देता है और 9 दिन भोजन करने वाला दूसरा ₹473 देता है। प्रतिदिन भोजन शुल्क (₹ में) ज्ञात कीजिए।
- 7एक टैक्सी निश्चित किराया और प्रति km दर लेती है। 5 km की यात्रा का किराया ₹252 और 10 km का ₹442 है। प्रति km दर (₹ में) ज्ञात कीजिए।
- 8एक छात्रावास निश्चित मासिक राशि और प्रतिदिन भोजन का शुल्क लेता है। 7 दिन भोजन करने वाला विद्यार्थी ₹500 देता है और 17 दिन भोजन करने वाला दूसरा ₹730 देता है। निश्चित शुल्क (₹ में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1574
- 229
- 36
- 4481
- 5168
- 640
- 738
- 8339
कठिन अनुप्रयोग और विशेष स्थितियाँ
कुछ जोड़ियों में विशेष उत्तर छिपे होते हैं या 1/x व 1/y होते हैं। चर बदलने से वे साधारण जोड़ियाँ बन जाती हैं।
विलोपन में 0 = 0 आए तो अनंत हल; 0 = −1 जैसा असत्य आए तो कोई हल नहीं। 1/x व 1/y वाले समीकरणों के लिए a = 1/x, b = 1/y रखें।
आकृति में : 2/x + 3/y = 13 और 5/x − 4/y = −2 से 2a + 3b = 13, 5a − 4b = −2, अतः a = 2, b = 3, x = 1/2, y = 1/3।
नियम 1 : विशेष स्थितियाँ — विलोपन के बाद क्या बचता है देखें।
- आसान : 2x + 3y = 6 और 4x + 6y = 12 : 0 = 0, अनंत।
- मध्यम : 2x + y = 3 और 4x + 2y = 7 : 0 = −1, कोई हल नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : अनुपात परीक्षण से मेल खाता है।
नियम 2 : व्युत्क्रम वाले समीकरण — a = 1/x व b = 1/y रखें, हल करें, फिर पलटें।
- आसान : 2a + 3b = 13, 5a − 4b = −2 : a = 2, b = 3।
- मध्यम : फिर x = 1/2 और y = 1/3।
- परीक्षा-प्रकार : मूल में जाँचें : 2/(1/2) + 3/(1/3) = 4 + 9 = 13 ✓।
याद रखें x व y, a व b के व्युत्क्रम हैं, a व b स्वयं नहीं।
a व b पर रुककर x व y में वापस न बदलना।
"शून्य = शून्य : अनंत; शून्य = शून्येतर : कोई हल नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1विलोपन विधि में यदि दोनों चर हट जाएँ और 0 = 0 मिले तो युग्म के ___ होते हैं।
- 2यदि 6x + 7y = −55 और 7x + 6y = −49 हो, तो x + y का मान ज्ञात कीजिए।
- 3यदि 2x + 7y = −21 और 7x + 2y = −51 हो, तो x + y का मान ज्ञात कीजिए।
- 4दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 11 : 6 और व्यय का अनुपात 7 : 2 है। यदि प्रत्येक ₹12000 बचाता है, तो पहले व्यक्ति की आय (₹ में) ज्ञात कीजिए।
- 5दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 10 : 8 और व्यय का अनुपात 7 : 2 है। यदि प्रत्येक ₹3600 बचाता है, तो पहले व्यक्ति की आय (₹ में) ज्ञात कीजिए।
- 6यदि 6x + 5y = −29 और 5x + 6y = −26 हो, तो x + y का मान ज्ञात कीजिए।
- 7दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 8 : 7 और व्यय का अनुपात 7 : 4 है। यदि प्रत्येक ₹13600 बचाता है, तो पहले व्यक्ति की आय (₹ में) ज्ञात कीजिए।
- 8दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 11 : 10 और व्यय का अनुपात 3 : 2 है। यदि प्रत्येक ₹2400 बचाता है, तो पहले व्यक्ति की आय (₹ में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1अनंत हल
- 2−8
- 3−8
- 433000
- 55000
- 6−5
- 719200
- 83300