द्विघात समीकरण पहचानना
x भुजा वाले वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल x²। क्षेत्रफल और गुणनफल हों तो अज्ञात का वर्ग वाले समीकरण आते हैं।
x में द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, के रूप में लिखा जा सकता है। x की उच्चतम घात 2।
सूत्र : ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
आकृति में : x² − 5x + 6 = 0 द्विघात है; 2x + 3 = 0 नहीं (उच्चतम घात 1)।
नियम 1 : हाँ या नहीं? — पहले फैलाकर सरल करें; फिर उच्चतम घात देखें।
- आसान : x(x + 2) = 3 ⇒ x² + 2x − 3 = 0 : द्विघात।
- मध्यम : (x + 1)² = 2x ⇒ x² + 1 = 0 : द्विघात।
- परीक्षा-प्रकार : x³ − x = 0 की घात 3 : द्विघात नहीं।
नियम 2 : छिपे रैखिक समीकरण — x² पद कट जाएँ तो समीकरण रैखिक।
- आसान : x² + 3x = x² − 5 : 3x = −5, रैखिक।
- मध्यम : (x − 2)² = x² + 4 : −4x + 4 = 4 ⇒ x = 0, रैखिक।
- परीक्षा-प्रकार : x² = 9 द्विघात (x = ±3)।
घात तय करने से पहले सभी पद बाईं ओर लाएँ।
x² पद कटने पर भी x(x + 2) = x² − 3 को द्विघात कहना।
"अज्ञात का वर्ग, उससे अधिक नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या (x − 9)(x − 3) = −9 x में द्विघात समीकरण है?
- 2क्या (x − 3)² = −3 x में द्विघात समीकरण है?
- 3क्या 6x² + 9 = −2x x में द्विघात समीकरण है?
- 4क्या x(x + 8) = 1 x में द्विघात समीकरण है?
- 5क्या x(x + 4) = 6 x में द्विघात समीकरण है?
- 6क्या x² + 5x = 2 x में द्विघात समीकरण है?
- 7(x + 2)² = x को सरल करने पर इसकी घात क्या होगी?
- 8(x − 7)² = x² + 4 को सरल करने पर इसकी घात क्या होगी?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 2हाँ
- 3हाँ
- 4हाँ
- 5हाँ
- 6हाँ
- 72
- 81
मानक रूप और गुणांक
समीकरणों की तुलना के लिए सब को एक ही क्रम में लिखते हैं : x² पद, x पद, अचर।
सभी पद एक ओर लाकर ax² + bx + c = 0 पाएँ। तब a x² का, b x का गुणांक और c अचर। चिह्न रखें।
आकृति में : 3x² = 5x − 2 से 3x² − 5x + 2 = 0, a = 3, b = −5, c = 2।
नियम 1 : मानक रूप में लिखें — सब बाईं ओर लाएँ; क्रम x², x, अचर।
- आसान : x(x − 4) = 5 ⇒ x² − 4x − 5 = 0।
- मध्यम : 2x² = 7 ⇒ 2x² − 7 = 0।
- परीक्षा-प्रकार : (x + 3)² = 16 ⇒ x² + 6x − 7 = 0।
नियम 2 : a, b, c पढ़ें — हर चिह्न अपनी संख्या के साथ लें; अनुपस्थित पद का गुणांक 0।
- आसान : x² − 4x − 5 = 0 : a = 1, b = −4, c = −5।
- मध्यम : 2x² − 7 = 0 : a = 2, b = 0, c = −7।
- परीक्षा-प्रकार : x² + 3x = 0 : a = 1, b = 3, c = 0।
x या अचर पद का न होना b = 0 या c = 0 है, समीकरण का द्विघात न होना नहीं।
पद दूसरी ओर ले जाने पर b या c का चिह्न छोड़ देना।
"सब एक ओर, चिह्न वही।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1द्विघात समीकरण −7x² + 2x − 8 = 0 में अचर पद
- 2द्विघात समीकरण −5x² + 9x − 1 = 0 में अचर पद
- 3द्विघात समीकरण 7x² − 9x − 1 = 0 में x² का गुणांक
- 4द्विघात समीकरण 2x² − 9x − 5 = 0 में x का गुणांक
- 5द्विघात समीकरण −2x² − 9x − 3 = 0 में अचर पद
- 6द्विघात समीकरण −6x² − 6x − 4 = 0 में x का गुणांक
- 7द्विघात समीकरण x² − 7x + 3 = 0 में x² का गुणांक
- 8द्विघात समीकरण −7x² + 9x − 3 = 0 में अचर पद
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−8
- 2−1
- 37
- 4−9
- 5−3
- 6−6
- 71
- 8−3
स्थिति से समीकरण बनाना
भूखंड, आयु और संख्याएँ : जुड़ी दो राशियों का गुणनफल दिया हो तो द्विघात समीकरण बनता है।
अज्ञात x लें, दूसरी राशि x के रूप में लिखें, गुणनफल या संबंध बनाएँ और ax² + bx + c = 0 रूप में लाएँ।
आकृति में : दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 306 : x(x + 1) = 306, अतः x² + x − 306 = 0।
नियम 1 : संख्याएँ — क्रमागत संख्याएँ : x और x + 1 (सम या विषम के लिए x + 2)।
- आसान : क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल 168 : x² + 2x − 168 = 0।
- मध्यम : संख्या जोड़ उसका वर्ग 12 : x² + x − 12 = 0।
- परीक्षा-प्रकार : संख्या जोड़ उसका व्युत्क्रम 10/3 : 3x² − 10x + 3 = 0।
नियम 2 : क्षेत्रफल — क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई।
- आसान : लंबाई चौड़ाई से 3 m अधिक, क्षेत्रफल 40 m² : x(x + 3) = 40, x² + 3x − 40 = 0।
- मध्यम : भुजा x के वर्ग का क्षेत्रफल 49 : x² − 49 = 0।
- परीक्षा-प्रकार : 10 m × 10 m बगीचे के चारों ओर x चौड़ा रास्ता : (10 + 2x)² = 196।
समीकरण हल करने पर पता चलेगा कौन-सा मूल कहानी में बैठता है, पर पहले सही बनाएँ।
सामान्य पूर्णांकों के लिए क्रमागत संख्याएँ x और x + 2 लिखना।
"x नाम दें, दूसरा x में, गुणा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 m अधिक है और क्षेत्रफल 374 m² है। चौड़ाई x m मानने पर समीकरण
- 2एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 m अधिक है और क्षेत्रफल 10 m² है। चौड़ाई x m मानने पर समीकरण
- 3एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 1 m अधिक है और क्षेत्रफल 342 m² है। चौड़ाई x m मानने पर समीकरण
- 4दो क्रमागत धन पूर्णांकों का गुणनफल 272 है। यदि छोटी संख्या x हो तो समीकरण
- 5एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 m अधिक है और क्षेत्रफल 378 m² है। चौड़ाई x m मानने पर समीकरण
- 6दो क्रमागत धन पूर्णांकों का गुणनफल 30 है। यदि छोटी संख्या x हो तो समीकरण
- 7एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 m अधिक है और क्षेत्रफल 96 m² है। चौड़ाई x m मानने पर समीकरण
- 8एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 m अधिक है और क्षेत्रफल 418 m² है। चौड़ाई x m मानने पर समीकरण
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1x² + 5x − 374 = 0
- 2x² + 3x − 10 = 0
- 3x² + x − 342 = 0
- 4x² + x − 272 = 0
- 5x² + 3x − 378 = 0
- 6x² + x − 30 = 0
- 7x² + 4x − 96 = 0
- 8x² + 3x − 418 = 0
मूल और संख्या की जाँच
चाबी ताले में घूमे तो फिट बैठती है। संख्या समीकरण में रखने पर दोनों पक्ष बराबर हों तो वह बैठती है।
समीकरण के मूल x के वे मान हैं जिनसे वह सत्य हो। द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल। संख्या जाँचने के लिए उसे रखें और देखें बायाँ पक्ष 0 होता है या नहीं।
आकृति में : x² − 5x + 6 = 0 के लिए : x = 2 से 4 − 10 + 6 = 0 ✓, x = 3 से 0 ✓, पर x = 1 से 2 ✗।
मूल और संख्या की जाँच
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : मूल है? — रखें और गणना करें।
- आसान : x² − 1 = 0, x = −1 : 1 − 1 = 0 ✓ मूल।
- मध्यम : 2x² − 3x − 2 = 0, x = 2 : 8 − 6 − 2 = 0 ✓ मूल।
- परीक्षा-प्रकार : x² − 4x + 3 = 0, x = 2 : 4 − 8 + 3 = −1 ✗ मूल नहीं।
नियम 2 : वास्तविक मूल नहीं — कुछ समीकरण किसी वास्तविक x के लिए सत्य नहीं होते।
- आसान : x² + 4 = 0 : x² = −4 असंभव, वास्तविक मूल नहीं।
- मध्यम : x² = 9 के मूल 3 और −3।
- परीक्षा-प्रकार : x² = 0 का एक ही मूल 0 (दो बार गिना)।
द्विघात समीकरण का मूल यानी बहुपद ax² + bx + c का शून्यक।
मूल की जाँच केवल प्रश्न के शब्दों में करना, समीकरण में नहीं।
"रखें; शून्य आए तो मूल।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या x = 8 समीकरण x² − 15x + 56 = 0 का मूल है?
- 2क्या x = 7 समीकरण x² + 2x − 63 = 0 का मूल है?
- 3x² − 9 = 0 के कितने वास्तविक मूल हैं?
- 4क्या x = −3 समीकरण x² + 5x + 6 = 0 का मूल है?
- 5क्या x = 5 समीकरण x² − 7x + 6 = 0 का मूल है?
- 6x² − 12x + 36 = 0 के कितने वास्तविक मूल हैं?
- 7x² + 4 = 0 के कितने वास्तविक मूल हैं?
- 8x² − 36 = 0 के कितने वास्तविक मूल हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 2हाँ
- 32
- 4हाँ
- 5नहीं
- 61
- 70
- 82
अज्ञात अचर और शर्त a ≠ 0
मूल दिया हो तो समीकरण की छूटी संख्या निकल सकती है। और x² पद लुप्त न हो, नहीं तो वह द्विघात नहीं रहता।
दिया गया मूल रखकर अज्ञात अचर निकाला जा सकता है। ax² + bx + c = 0 के द्विघात होने के लिए x² का गुणांक 0 नहीं होना चाहिए।
आकृति में : x = 1, x² + kx − 6 = 0 का मूल हो तो 1 + k − 6 = 0, अतः k = 5।
नियम 1 : अचर निकालें — मूल रखें, फिर छोटा समीकरण हल करें।
- आसान : x = 2, 3x² − x + k = 0 का मूल : 12 − 2 + k = 0, k = −10।
- मध्यम : x = −1, x² + 3x + k = 0 का मूल : 1 − 3 + k = 0, k = 2।
- परीक्षा-प्रकार : x = 3, x² − kx + 6 = 0 का मूल : 9 − 3k + 6 = 0, k = 5।
नियम 2 : शर्त a ≠ 0 — x² पद मिटाने वाला k खोजें और हटाएँ।
- आसान : (k − 2)x² + 3x + 1 = 0 द्विघात तभी जब k ≠ 2।
- मध्यम : kx² − 5x + 2 = 0 के लिए k ≠ 0।
- परीक्षा-प्रकार : k = 2 लेने पर पहला 3x + 1 = 0, रैखिक।
k का अंतिम मान मूल समीकरण में जाँचें।
a = 0 करने वाला k हटाना भूल जाना।
"मूल रखें, k निकालें; a शून्य न हो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1k के किस मान के लिए (k + 4)x² + 5x + 3 = 0 द्विघात समीकरण नहीं रहता?
- 2k के किस मान के लिए (k + 9)x² + 4x − 6 = 0 द्विघात समीकरण नहीं रहता?
- 3k के किस मान के लिए (k + 1)x² − 4x − 4 = 0 द्विघात समीकरण नहीं रहता?
- 4यदि x = −1 समीकरण kx² − 9x + 5 = 0 का मूल है, तो k ज्ञात कीजिए।
- 5यदि x = 5 समीकरण x² + 2x + k = 0 का मूल है, तो k ज्ञात कीजिए।
- 6यदि x = 9 और x = 8 समीकरण x² + px + q = 0 के मूल हैं, तो q का मान ज्ञात कीजिए।
- 7यदि x = −8 और x = −3 समीकरण x² + px + q = 0 के मूल हैं, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
- 8समीकरण x² − 7x + k = 0 का एक मूल 4 है। दूसरा मूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−4
- 2−9
- 3−1
- 4−14
- 5−35
- 672
- 711
- 83