बहुपद की घात, प्रकार और पद
बहुपद एक पाक-विधि जैसा है : हर पद एक सामग्री और उसकी मात्रा, और सबसे ऊँची घात उसका "आकार"।
x में बहुपद के पदों में x की पूर्ण-संख्या घात होती हैं। उसकी घात सबसे ऊँची घात है। घात 1 रैखिक, 2 द्विघात, 3 त्रिघात।
आकृति में : 3x² − 5x + 2 के तीन पद और घात 2 है, अतः द्विघात।
नियम 1 : घात बताएँ — x की सबसे बड़ी घात तय करती है।
- आसान : 2x − 7 : घात 1, रैखिक।
- मध्यम : x³ − x + 4 : घात 3, त्रिघात।
- परीक्षा-प्रकार : x⁴ − 1 : घात 4, चतुर्घात।
नियम 2 : क्या बहुपद नहीं है — घात पूर्ण संख्या होनी चाहिए।
- आसान : x + 1/x में x⁻¹ : बहुपद नहीं।
- मध्यम : √x + 2 में x^(1/2) : बहुपद नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 7 अचर बहुपद है (घात 0)।
n घात के बहुपद में x की अलग-अलग घातों के अधिकतम n पद और एक अचर पद।
पदों की संख्या को घात समझना।
"घात = सबसे ऊँची घात।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बहुपद −4x − 9x² की घात कितनी है?
- 2घात 5 वाले बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
- 3बहुपद 5x² − x − 7 एक ___ बहुपद है।
- 4बहुपद 5x − 9 एक ___ बहुपद है।
- 5बहुपद −5x² + 7x एक ___ बहुपद है।
- 6घात 7 वाले बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
- 7यदि p(x) = 5x³ − 5x² − 3x − 8 और q(x) = −5x³ + 8x² − 5x + 2 हो, तो p(x) + q(x) की घात कितनी है?
- 8यदि p(x) = 6x³ + x² + 8x − 7 और q(x) = −6x³ + 5x² − 7x + 1 हो, तो p(x) + q(x) की घात कितनी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 25
- 3द्विघात
- 4रैखिक
- 5द्विघात
- 67
- 72
- 82
बहुपद का मान और शून्यक
सूत्र में संख्या रखने पर परिणाम मिलता है। जिन संख्याओं से 0 मिलता है वे विशेष हैं : वही शून्यक हैं।
x = k पर p(x) का मान p(k) है। यदि p(k) = 0 तो k बहुपद का शून्यक है।
सूत्र : k शून्यक ⇔ p(k) = 0
आकृति में : x² − 3x + 2 : p(1) = 1 − 3 + 2 = 0 और p(2) = 4 − 6 + 2 = 0, पर p(3) = 2।
नियम 1 : मान निकालें — प्रतिस्थापित करके सरल करें।
- आसान : p(x) = x² + x − 6 : p(−1) = 1 − 1 − 6 = −6।
- मध्यम : p(x) = 2x − 6 : p(3) = 0।
- परीक्षा-प्रकार : p(x) = x³ − x : p(2) = 8 − 2 = 6।
नियम 2 : शून्यक जाँचें — मान शून्य हो तो शून्यक।
- आसान : x² − 4 : p(2) = 0 और p(−2) = 0, दोनों शून्यक।
- मध्यम : x² + 1 : p(1) = 2 ≠ 0।
- परीक्षा-प्रकार : शून्यक स्वयं 0 हो सकता है : p(x) = x² का शून्यक 0।
रैखिक बहुपद ax + b का ठीक एक शून्यक −b/a।
शून्यक k और मान p(k) में भ्रम।
"k डालो, उत्तर 0 ⇒ p का शून्यक।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि p(x) = −4x³ − 2x² − 7x + 3 हो, तो p(−1) ज्ञात कीजिए।
- 2यदि p(x) = −6x² + 4x + 2 हो, तो p(−3) ज्ञात कीजिए।
- 3यदि p(x) = −x² − 2x + 5 हो, तो p(2) ज्ञात कीजिए।
- 4यदि p(x) = 5x² + 4x − 4 हो, तो p(−1) ज्ञात कीजिए।
- 5यदि x = −4 बहुपद x² + kx − 8 का एक शून्यक है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
- 6यदि x = 4 बहुपद kx² − 3x + 60 का एक शून्यक है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
- 7यदि x = 4 बहुपद x³ − 3x² + kx + 20 का एक शून्यक है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
- 8यदि x = 4 बहुपद x² + kx − 20 का एक शून्यक है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 2−64
- 3−3
- 4−3
- 52
- 6−3
- 7−9
- 81
रैखिक बहुपद : शून्यक और आलेख
ढलान जमीन को एक ही जगह छूती है। सरल रेखा y = ax + b, x-अक्ष को एक ही बार काटती है।
y = ax + b (a ≠ 0) का आलेख सरल रेखा है। उसका शून्यक वह x-निर्देशांक है जहाँ वह x-अक्ष को काटती है, और यह −b/a है।
सूत्र : ax + b का शून्यक = −b/a
आकृति में : y = 2x − 4 x-अक्ष को x = 2 पर काटती है, अतः शून्यक 2।
नियम 1 : शून्यक पढ़ें — देखें रेखा x-अक्ष से कहाँ मिलती है।
- आसान : y = x − 3 : शून्यक 3।
- मध्यम : y = 2x + 6 : शून्यक −3।
- परीक्षा-प्रकार : y = 4x : मूलबिंदु से गुज़रती है, शून्यक 0।
नियम 2 : −b/a प्रयोग करें — रैखिक बहुपद के लिए आलेख ज़रूरी नहीं।
- आसान : 3x − 9 : शून्यक 9/3 = 3।
- मध्यम : 5x + 10 : शून्यक −10/5 = −2।
- परीक्षा-प्रकार : 7x + 5 : शून्यक −5/7।
x-अक्ष के समांतर रेखा का कोई शून्यक नहीं; रेखा y = 0 की हर संख्या शून्यक है।
शून्यक −b/a की जगह b/a लिखना।
"रेखा एक बार काटे : शून्यक = −b/a।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बहुपद p(x) का शून्यक उस बिंदु का ___ है जहाँ आलेख x-अक्ष से मिलता है।
- 2रैखिक बहुपद −3x + 10 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 3रैखिक बहुपद 3x − 2 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 4रैखिक बहुपद 4x + 12 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 5रैखिक बहुपद −4x + 8 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 6रैखिक बहुपद −2x − 5 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 7रैखिक बहुपद −5x + 12 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 8रैखिक बहुपद −7x − 8 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1x-निर्देशांक
- 210/3
- 32/3
- 4−3
- 52
- 6−5/2
- 712/5
- 8−8/7
द्विघात बहुपद : परवलय और शून्यकों की संख्या
फेंकी गेंद परवलय नामक वक्र पर चलती है। वह ज़मीन को दो बार काट सकती है, बस छू सकती है, या कभी नहीं पहुँचती।
y = ax² + bx + c का आलेख परवलय है : a > 0 तो ऊपर खुलता है, a < 0 तो नीचे। द्विघात के अधिकतम 2 शून्यक : x-अक्ष को 2, 1 या 0 बिंदुओं पर काटता है।
सूत्र : a > 0 तो ऊपर; a < 0 तो नीचे
आकृति में : y = x² − 4 ऊपर खुलता है और x-अक्ष को −2 और 2 पर काटता है, अतः दो शून्यक।
द्विघात बहुपद : परवलय और शून्यकों की संख्या
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : शून्यक गिनें — परवलय x-अक्ष से कितने बिंदुओं पर मिलता है, गिनें।
- आसान : x² − 4 : दो बार काटता है, शून्यक ±2।
- मध्यम : x² : केवल 0 पर स्पर्श, एक शून्यक।
- परीक्षा-प्रकार : x² + 1 : अक्ष के ऊपर ही रहता है, कोई शून्यक नहीं।
नियम 2 : खुलने की दिशा — a का चिह्न ऊपर या नीचे तय करता है।
- आसान : x² − 2x : a = 1 > 0, ऊपर खुलता है।
- मध्यम : −x² + 1 : a = −1 < 0, नीचे खुलता है।
- परीक्षा-प्रकार : −x² + 1 के शून्यक ±1।
द्विघात के 2 से अधिक शून्यक नहीं हो सकते।
परवलय का सबसे निचला बिंदु ही शून्यक समझना।
"a धन तो ऊपर; शून्यक = x-अक्ष पर कटान।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1परवलय y = 3x² + 5x − 6 ___ खुलता है।
- 2परवलय y = 6x² − 6x − 5 ___ खुलता है।
- 3परवलय y = x² − 6x + 1 ___ खुलता है।
- 4y = 4x² − 6x − 4 का आलेख x-अक्ष को कितने बिंदुओं पर काटता या स्पर्श करता है?
- 5y = 4x² − x − 5 का आलेख x-अक्ष को कितने बिंदुओं पर काटता या स्पर्श करता है?
- 6ऊपर की ओर खुला परवलय पूर्णतः x-अक्ष के ऊपर स्थित है। बहुपद के कितने शून्यक हैं?
- 7k के किस मान के लिए y = x² + 6x + k का आलेख x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करता है?
- 8k के किस मान के लिए y = x² + 14x + k का आलेख x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1ऊपर की ओर
- 2ऊपर की ओर
- 3ऊपर की ओर
- 42
- 52
- 60
- 79
- 849
त्रिघात और उच्च घात के बहुपद
ऊपर-नीचे-ऊपर जाने वाला रोलरकोस्टर ज़मीन के स्तर को तीन बार छू सकता है। त्रिघात भी ऐसा ही है।
n घात के बहुपद के अधिकतम n शून्यक। त्रिघात x-अक्ष को 1, 2 या 3 बिंदुओं पर काटता है। उसका आलेख S जैसा वक्र है।
सूत्र : शून्यक ≤ घात
आकृति में : y = x³ − x x-अक्ष को तीन बार काटता है : −1, 0 और 1।
नियम 1 : कितने शून्यक? — आलेख देखें; संख्या घात से अधिक नहीं।
- आसान : x³ − x : 3 शून्यक।
- मध्यम : x³ : 0 पर एक शून्यक।
- परीक्षा-प्रकार : x³ + x : केवल एक शून्यक (0)।
नियम 2 : गुणनखंड करके जाँचें — जहाँ हर गुणनखंड शून्य हो वहाँ शून्यक।
- आसान : x³ − x = x(x − 1)(x + 1) : शून्यक 0, 1, −1।
- मध्यम : (x − 2)(x + 3)x : शून्यक 2, −3, 0।
- परीक्षा-प्रकार : घात n ⇒ अधिकतम n शून्यक।
हर त्रिघात का कम से कम एक शून्यक होता है क्योंकि आलेख x-अक्ष को काटता ही है।
स्पर्श बिंदु को दो बार गिनना या पदों की संख्या को शून्यकों की संख्या समझना।
"शून्यक घात से अधिक नहीं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1त्रिघात बहुपद के अधिकतम ___ शून्यक हो सकते हैं।
- 2y = p(x) का आलेख x-अक्ष को 6 भिन्न बिंदुओं पर काटता है। p(x) की न्यूनतम संभव घात कितनी है?
- 3त्रिघात बहुपद p(x) = (x − 6)(x − 3)(x + 2) के शून्यक क्या हैं?
- 4त्रिघात बहुपद p(x) = (x − 5)(x + 5)(x + 4) के शून्यक क्या हैं?
- 5त्रिघात बहुपद p(x) = (x − 3)(x − 1)(x + 1) के शून्यक क्या हैं?
- 6त्रिघात बहुपद p(x) = (x + 6)(x + 2)(x + 5) के शून्यक क्या हैं?
- 7त्रिघात बहुपद x³ − 9x के कितने भिन्न शून्यक हैं?
- 8त्रिघात बहुपद x³ + 8x के कितने भिन्न शून्यक हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13
- 26
- 36, 3, −2
- 45, −5, −4
- 53, 1, −1
- 6−6, −2, −5
- 73
- 81