परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ
1 इकाई भुजा वाले वर्ग का विकर्ण पूर्णांकों के भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता। वह √2, एक अपरिमेय संख्या है।
परिमेय संख्या p/q (q ≠ 0) के रूप में लिखी जा सकती है; उसका दशमलव समाप्त होता या दोहराता है। अपरिमेय संख्या ऐसी नहीं लिखी जा सकती; उसका दशमलव न समाप्त होता, न दोहराता है। p पूर्ण वर्ग न हो तो √p अपरिमेय।
आकृति में : √2 और π संख्या-रेखा पर हैं, पर भिन्न नहीं।
परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : वर्गीकरण करें — देखें दशमलव समाप्त या दोहराता है या नहीं।
- आसान : 0.75 = 3/4 : परिमेय।
- मध्यम : 0.333… = 1/3 : परिमेय।
- परीक्षा-प्रकार : √16 = 4 परिमेय पर √15 अपरिमेय।
नियम 2 : प्रसिद्ध अपरिमेय संख्याएँ — 22/7 केवल π का सन्निकट मान है।
- आसान : √2, √3, √5, π अपरिमेय।
- मध्यम : 0.1010010001… दोहराता नहीं : अपरिमेय।
- परीक्षा-प्रकार : √(25/4) = 5/2 परिमेय।
हर पूर्णांक परिमेय है (n = n/1)।
दोहराता खंड देखे बिना लंबे दशमलव को अपरिमेय कहना।
"समाप्त या दोहराए : परिमेय। कभी नहीं : अपरिमेय।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कितनी अपरिमेय संख्याएँ होती हैं?
- 27 और 9 के बीच कौन-सी अपरिमेय संख्या स्थित है?
- 3संख्याओं √23, π, 6 + √28, 7√2, √41 में से कितनी अपरिमेय हैं?
- 48 और 9 के बीच कौन-सी अपरिमेय संख्या स्थित है?
- 5संख्याओं π, √169, 3 + √41, 7 + √39, 1.75 में से कितनी अपरिमेय हैं?
- 68 और 10 के बीच कौन-सी अपरिमेय संख्या स्थित है?
- 75 और 6 के बीच कौन-सी अपरिमेय संख्या स्थित है?
- 86 और 8 के बीच कौन-सी अपरिमेय संख्या स्थित है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1अनंत
- 2√58
- 35
- 4√72
- 53
- 6√65
- 7√31
- 8√56
अपरिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ
√2 में पूर्ण संख्या जोड़ें तो अनंत दशमलव अनंत ही रहता है। पर √2 × √2 से साधारण 2 वापस आता है।
शून्येतर परिमेय और अपरिमेय का योग, अंतर, गुणनफल या भागफल अपरिमेय होता है। दो अपरिमेय का परिणाम परिमेय हो सकता है, जैसे √2 × √2 = 2।
आकृति में : परिमेय ± अपरिमेय अपरिमेय ही रहता है; कुछ अपरिमेय जोड़ियाँ परिमेय बन जाती हैं।
नियम 1 : सदा अपरिमेय — शून्येतर परिमेय और अपरिमेय।
- आसान : 2 + √3 अपरिमेय।
- मध्यम : 5√2 अपरिमेय।
- परीक्षा-प्रकार : 1/√5 = √5/5 अपरिमेय।
नियम 2 : परिमेय हो सकता है — दो अपरिमेय कट कर या गुणा होकर पूर्ण संख्या दे सकते हैं।
- आसान : √3 − √3 = 0, परिमेय।
- मध्यम : √2 × √8 = √16 = 4, परिमेय।
- परीक्षा-प्रकार : (3 + √2)(3 − √2) = 9 − 2 = 7, परिमेय।
परिमेय है या नहीं तय करने से पहले परिणाम सरल करें।
√2 + √3 के बारे में बिना जाँचे कहना : केवल विशेष जोड़ियाँ कटती हैं।
"परिमेय और अपरिमेय = अपरिमेय।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग सदैव ___ होता है।
- 2√108 × √3 का मान ज्ञात कीजिए।
- 3√24 ÷ √6 का मान ज्ञात कीजिए।
- 4√3 × √12 का मान ज्ञात कीजिए।
- 5√98 ÷ √2 का मान ज्ञात कीजिए।
- 6√75 × √3 का मान ज्ञात कीजिए।
- 7(5 + √17)(5 − √17) का मान ज्ञात कीजिए।
- 8(3 + √3)² + (3 − √3)² को सरल कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1अपरिमेय
- 218
- 32
- 46
- 57
- 615
- 78
- 824
√p के अपरिमेय होने का प्रमाण
ताला नहीं खुलता यह दिखाने के लिए मान लें कि खुलता है और देखें कि कैसे टूटता है। विरोधाभास से सिद्धि ऐसी ही है।
मान लें √p = a/b जहाँ a, b सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर pb² = a², इसलिए p, a² को भाग देता है और अतः p, a को भाग देता है (p अभाज्य)। a = pc रखें : b² = pc², इसलिए p, b को भी भाग देता है। अब a और b में p उभयनिष्ठ है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। अतः √p अपरिमेय।
आकृति में : √2 का प्रमाण : a और b दोनों सम निकलते हैं, जो "सह-अभाज्य" को तोड़ता है।
नियम 1 : चरण — मानें, वर्ग करें, अभाज्य का गुण लगाएँ, विरोधाभास पाएँ।
- आसान : अभाज्य का गुण : p, a² को भाग दे तो a को भी देता है।
- मध्यम : √3 : 3b² = a² ⇒ 3, a को ⇒ 3, b को भाग देता है : विरोधाभास।
- परीक्षा-प्रकार : यही चरण √5 और √7 पर चलते हैं।
नियम 2 : संबंधित संख्याएँ — पहले सिद्ध मूल पर लाएँ।
- आसान : √2 अपरिमेय इसलिए 3√2 अपरिमेय।
- मध्यम : √6 अपरिमेय (6 पूर्ण वर्ग नहीं)।
- परीक्षा-प्रकार : √4 = 2 परिमेय; प्रमाण में p अभाज्य चाहिए।
प्रमाण तभी चलता है जब p अभाज्य हो, इसलिए "p, a² को भाग दे तो a को भी" वाला चरण सही है।
शुरू में a और b को सह-अभाज्य कहना भूल जाना, तो अंत में विरोधाभास नहीं मिलता।
"मानें, वर्ग करें, p भाग देता है, टकराव।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1√2 के अपरिमेय होने को सिद्ध करने की विधि ___ द्वारा सिद्ध करना कहलाती है।
- 2√23 के अपरिमेय होने के प्रमाण में a² = 23b² मिलता है और फिर a = 23c लिखते हैं। प्रतिस्थापित करने पर b² किसके बराबर होता है?
- 3यदि √13 = a/b हो, तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर कौन-सा समीकरण मिलता है?
- 4यदि पूर्णांकों a और b के लिए a² = 23b² हो, तो क्या निष्कर्ष निकलता है?
- 5√7 के अपरिमेय होने के प्रमाण में हमें मिलता है कि 7, a और b दोनों को विभाजित करता है। यह इस कल्पना का विरोधाभास है कि ___।
- 6√5 के अपरिमेय होने के प्रमाण में a² = 5b² मिलता है और फिर a = 5c लिखते हैं। प्रतिस्थापित करने पर b² किसके बराबर होता है?
- 7यदि √17 = a/b हो, तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर कौन-सा समीकरण मिलता है?
- 8यदि √11 = a/b हो, तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर कौन-सा समीकरण मिलता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1विरोधाभास
- 223c²
- 3a² = 13b²
- 423 से a विभाजित होता है
- 5a और b असहभाज्य हैं
- 65c²
- 7a² = 17b²
- 8a² = 11b²
a + b√p के अपरिमेय होने का प्रमाण
√2 अपरिमेय है यह जानने पर 5 − √2 और 3√2 जैसी कई संख्याएँ भी अपरिमेय दिखाई जा सकती हैं।
a + b√p जैसी संख्या के अपरिमेय होने के लिए उसे परिमेय मानें (= r), मूल को अलग करें : √p = (r − a)/b। दायाँ पक्ष परिमेय है पर √p नहीं, यह विरोधाभास है।
सूत्र : √p = (r − a) / b
आकृति में : 3 + √2 = r मानें तो √2 = r − 3 परिमेय होगा, जो गलत है।
नियम 1 : मूल अलग करें — परिमेय भाग दूसरी ओर ले जाएँ।
- आसान : 5 − √3 : r मानें ⇒ √3 = 5 − r परिमेय : गलत।
- मध्यम : 3√2 : r मानें ⇒ √2 = r/3 परिमेय : गलत।
- परीक्षा-प्रकार : 2 + 3√5 : √5 = (r − 2)/3 परिमेय : गलत।
नियम 2 : निष्कर्ष — बताएँ किस ज्ञात अपरिमेय से विरोध है।
- आसान : अतः 5 − √3 अपरिमेय।
- मध्यम : अतः 3√2 अपरिमेय।
- परीक्षा-प्रकार : अतः 2 + 3√5 अपरिमेय।
b से भाग देने से पहले b ≠ 0 सुनिश्चित करें।
शुरू में संख्या को परिमेय की जगह अपरिमेय मान लेना।
"परिमेय मानें, मूल अलग करें, टकराव।"
अभ्यास के प्रश्न
- 13 + √3 के प्रमाण में √3 = r − 3 मिलता है, जो परिमेय है। यह इस ज्ञात तथ्य का विरोधाभास है कि ___।
- 23√3 अपरिमेय है, यह सिद्ध करने के लिए 3√3 = r (r परिमेय) मानते हैं। तब √3 = ?
- 33 + √5 के प्रमाण में √5 = r − 3 मिलता है, जो परिमेय है। यह इस ज्ञात तथ्य का विरोधाभास है कि ___।
- 42 + 3√11 अपरिमेय है, यह सिद्ध करने के लिए 2 + 3√11 = r (r परिमेय) मानते हैं। तब √11 = ?
- 53 − √3 अपरिमेय है, यह सिद्ध करने के लिए 3 − √3 = r (r परिमेय) मानते हैं। तब √3 = ?
- 6(6 + √7)/2 अपरिमेय है, यह सिद्ध करने के लिए (6 + √7)/2 = r (r परिमेय, जहाँ आवश्यक हो अशून्य) मानते हैं। तब √7 = ?
- 71/√5 अपरिमेय है, यह सिद्ध करने के लिए 1/√5 = r (r परिमेय, जहाँ आवश्यक हो अशून्य) मानते हैं। तब √5 = ?
- 85 − 7√2 अपरिमेय है, यह सिद्ध करने के लिए 5 − 7√2 = r (r परिमेय, जहाँ आवश्यक हो अशून्य) मानते हैं। तब √2 = ?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1√3 अपरिमेय है
- 2r/3
- 3√5 अपरिमेय है
- 4(r − 2)/3
- 53 − r
- 62r − 6
- 71/r
- 8(5 − r)/7