K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 10 · गणित

वास्तव संख्या 1.3 : अपरिमेय संख्यांची उजळणी

4 संकल्पना · उत्तरांसह 32 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

परिमेय आणि अपरिमेय संख्या

रोजच्या जीवनातून

१ एकक बाजूच्या चौरसाचा कर्ण पूर्णांकांच्या अपूर्णांकाने लिहिता येत नाही. तो √२, एक अपरिमेय संख्या.

सोपी व्याख्या

परिमेय संख्या p/q (q ≠ ०) रूपात लिहिता येते; तिचा दशांश संपतो किंवा पुनरावृत्त होतो. अपरिमेय संख्या तशी लिहिता येत नाही; तिचा दशांश कधी संपत नाही, पुनरावृत्तही नाही. p पूर्ण वर्ग नसल्यास √p अपरिमेय.

01234√2 ≈ 1.414…π ≈ 3.14159…3/2

आकृतीत : √२ आणि π संख्यारेषेवर आहेत, पण अपूर्णांक नाहीत.

Live आकृती

परिमेय आणि अपरिमेय संख्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : वर्गीकरण करा — दशांश संपतो की पुनरावृत्त होतो ते तपासा.

  • सोपे : ०.७५ = ३/४ : परिमेय.
  • मध्यम : ०.३३३… = १/३ : परिमेय.
  • परीक्षेसाठी : √१६ = ४ परिमेय पण √१५ अपरिमेय.

नियम 2 : प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या — २२/७ हे π चे फक्त अंदाजे मूल्य.

  • सोपे : √२, √३, √५, π अपरिमेय.
  • मध्यम : ०.१०१००१०००१… पुनरावृत्त होत नाही : अपरिमेय.
  • परीक्षेसाठी : √(२५/४) = ५/२ परिमेय.
लक्षात ठेवा

प्रत्येक पूर्णांक परिमेय आहे (n = n/१).

सामान्य चूक

पुनरावृत्त गट न पाहता लांब दशांशाला अपरिमेय म्हणणे.

आठवणीची युक्ती

"संपतो किंवा पुनरावृत्त : परिमेय. कधीच नाही : अपरिमेय."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1कोणत्याही दोन वेगवेगळ्या परिमेय संख्यांच्या दरम्यान किती अपरिमेय संख्या असतात?
  2. 27 आणि 9 यांच्या दरम्यान कोणती अपरिमेय संख्या आहे?
  3. 3√23, π, 6 + √28, 7√2, √41 या संख्यांपैकी किती संख्या अपरिमेय आहेत?
मध्यम
  1. 48 आणि 9 यांच्या दरम्यान कोणती अपरिमेय संख्या आहे?
  2. 5π, √169, 3 + √41, 7 + √39, 1.75 या संख्यांपैकी किती संख्या अपरिमेय आहेत?
  3. 68 आणि 10 यांच्या दरम्यान कोणती अपरिमेय संख्या आहे?
आव्हानात्मक
  1. 75 आणि 6 यांच्या दरम्यान कोणती अपरिमेय संख्या आहे?
  2. 86 आणि 8 यांच्या दरम्यान कोणती अपरिमेय संख्या आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1अनंत
  2. 2√58
  3. 35
  4. 4√72
  5. 53
  6. 6√65
  7. 7√31
  8. 8√56

अपरिमेय संख्यांवरील क्रिया

रोजच्या जीवनातून

√२ मध्ये पूर्ण संख्या मिळवली तरी अंतहीन दशांश अंतहीनच राहतो. पण √२ × √२ ने साधा २ परत येतो.

सोपी व्याख्या

शून्येतर परिमेय आणि अपरिमेय यांची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार किंवा भागाकार अपरिमेय असतो. दोन अपरिमेय संख्यांचे उत्तर परिमेय असू शकते, उदा. √२ × √२ = २.

2 + √3 irrational5√2 irrational√2 × √2 = 2(3+√2)+(3−√2)=6rational ± irrational stays irrational

आकृतीत : परिमेय ± अपरिमेय अपरिमेयच; काही अपरिमेय जोड्या परिमेयात बदलतात.

नियम 1 : नेहमी अपरिमेय — शून्येतर परिमेय आणि अपरिमेय.

  • सोपे : २ + √३ अपरिमेय.
  • मध्यम : ५√२ अपरिमेय.
  • परीक्षेसाठी : १/√५ = √५/५ अपरिमेय.

नियम 2 : परिमेय होऊ शकते — दोन अपरिमेय परस्पर नाहीसे होऊन किंवा गुणाकाराने पूर्ण संख्या देऊ शकतात.

  • सोपे : √३ − √३ = ०, परिमेय.
  • मध्यम : √२ × √८ = √१६ = ४, परिमेय.
  • परीक्षेसाठी : (३ + √२)(३ − √२) = ९ − २ = ७, परिमेय.
लक्षात ठेवा

परिमेय का ते ठरवण्यापूर्वी उत्तर सोपे करा.

सामान्य चूक

√२ + √३ विषयी तपासल्याशिवाय सांगणे : फक्त विशिष्ट जोड्या नाहीशा होतात.

आठवणीची युक्ती

"परिमेय आणि अपरिमेय = अपरिमेयच."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1परिमेय संख्या आणि अपरिमेय संख्या यांची बेरीज नेहमी ___ असते.
  2. 2√108 × √3 ची किंमत काढा.
  3. 3√24 ÷ √6 ची किंमत काढा.
मध्यम
  1. 4√3 × √12 ची किंमत काढा.
  2. 5√98 ÷ √2 ची किंमत काढा.
  3. 6√75 × √3 ची किंमत काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7(5 + √17)(5 − √17) ची किंमत काढा.
  2. 8(3 + √3)² + (3 − √3)² हे सोपे करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1अपरिमेय
  2. 218
  3. 32
  4. 46
  5. 57
  6. 615
  7. 78
  8. 824

√p अपरिमेय असल्याचा पुरावा

रोजच्या जीवनातून

कुलूप उघडत नाही हे दाखवायला ते उघडते असे समजा आणि ते कसे फसते ते पहा. विरोधाभासाने सिद्ध करणे असेच असते.

सोपी व्याख्या

√p = a/b मानू, a व b सहमूळ. वर्ग केल्यास pb² = a², म्हणून p हा a² ला भाग जातो आणि म्हणून p हा a ला भाग जातो (p मूळ). a = pc घेतल्यास b² = pc², म्हणून p हा b ला ही भाग जातो. आता a व b मध्ये p सामाईक आहे, हे सहमूळतेच्या विरोधात. म्हणून √p अपरिमेय.

assume √2 = a/b (a, b co-prime)2b² = a² ⇒ 2 divides aa = 2c ⇒ b² = 2c² ⇒ 2 divides bcontradiction! so √2 is irrational

आकृतीत : √२ चा पुरावा : a आणि b दोन्ही सम निघतात, ते "सहमूळ" चा भंग करते.

नियम 1 : पायऱ्या — मान्य करा, वर्ग करा, मूळ संख्येचा गुण वापरा, विरोधाभास मिळवा.

  • सोपे : मूळ संख्येचा गुण : p ने a² ला भाग गेला तर a लाही जातो.
  • मध्यम : √३ : ३b² = a² ⇒ ३ हा a ला ⇒ ३ हा b ला भाग जातो : विरोधाभास.
  • परीक्षेसाठी : हीच पद्धत √५ आणि √७ साठी चालते.

नियम 2 : संबंधित संख्या — आधी सिद्ध केलेल्या मुळावर आणा.

  • सोपे : √२ अपरिमेय म्हणून ३√२ अपरिमेय.
  • मध्यम : √६ अपरिमेय (६ पूर्ण वर्ग नाही).
  • परीक्षेसाठी : √४ = २ परिमेय; पुराव्यासाठी p मूळ हवी.
लक्षात ठेवा

p मूळ असेल तरच पुरावा चालतो, म्हणून "p ने a² ला भाग गेला तर a लाही" हे पाऊल योग्य.

सामान्य चूक

सुरुवातीला a व b सहमूळ म्हणायला विसरणे, मग शेवटी विरोधाभास मिळत नाही.

आठवणीची युक्ती

"मान्य करा, वर्ग करा, p भाग जातो, विरोधाभास."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1√2 अपरिमेय असल्याचे सिद्ध करण्यासाठी वापरलेल्या पद्धतीला ___ द्वारे सिद्ध करणे म्हणतात.
  2. 2√23 अपरिमेय असल्याच्या पुराव्यात a² = 23b² मिळते आणि नंतर a = 23c लिहितात. ते मांडल्यावर b² किती होतो?
  3. 3√13 = a/b असेल तर दोन्ही बाजूंचा वर्ग केल्यावर कोणते समीकरण मिळते?
मध्यम
  1. 4a आणि b पूर्णांक असून a² = 23b² असेल, तर काय निष्कर्ष निघतो?
  2. 5√7 अपरिमेय असल्याचा पुरावा देताना 7 ने a आणि b दोघांनाही भाग जातो असे आढळते. हे ___ या गृहीतकाशी विसंगत आहे.
  3. 6√5 अपरिमेय असल्याच्या पुराव्यात a² = 5b² मिळते आणि नंतर a = 5c लिहितात. ते मांडल्यावर b² किती होतो?
आव्हानात्मक
  1. 7√17 = a/b असेल तर दोन्ही बाजूंचा वर्ग केल्यावर कोणते समीकरण मिळते?
  2. 8√11 = a/b असेल तर दोन्ही बाजूंचा वर्ग केल्यावर कोणते समीकरण मिळते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1विरोधाभास
  2. 223c²
  3. 3a² = 13b²
  4. 423 ने a ला भाग जातो
  5. 5a आणि b सहमूळ आहेत
  6. 65c²
  7. 7a² = 17b²
  8. 8a² = 11b²

a + b√p अपरिमेय असल्याचा पुरावा

रोजच्या जीवनातून

√२ अपरिमेय आहे हे माहीत झाल्यावर ५ − √२ आणि ३√२ सारख्या अनेक संख्या अपरिमेय आहेत हे दाखवता येते.

सोपी व्याख्या

a + b√p सारखी संख्या अपरिमेय सिद्ध करण्यास ती परिमेय मानू (= r), मूळ एकाकी करू : √p = (r − a)/b. उजवी बाजू परिमेय पण √p नाही, हा विरोधाभास.

सूत्र : √p = (r − a) / b

assume 3 + √2 = r (rational)√2 = r − 3r − 3 is rational, but √2 is notcontradiction ⇒ 3 + √2 is irrational

आकृतीत : ३ + √२ = r मानले तर √२ = r − ३ परिमेय ठरेल, जे चुकीचे.

नियम 1 : मूळ एकाकी करा — परिमेय भाग दुसऱ्या बाजूला न्या.

  • सोपे : ५ − √३ : r मानले ⇒ √३ = ५ − r परिमेय : चुकीचे.
  • मध्यम : ३√२ : r मानले ⇒ √२ = r/३ परिमेय : चुकीचे.
  • परीक्षेसाठी : २ + ३√५ : √५ = (r − २)/३ परिमेय : चुकीचे.

नियम 2 : निष्कर्ष — कोणत्या ज्ञात अपरिमेय संख्येशी विरोध आहे ते सांगा.

  • सोपे : म्हणून ५ − √३ अपरिमेय.
  • मध्यम : म्हणून ३√२ अपरिमेय.
  • परीक्षेसाठी : म्हणून २ + ३√५ अपरिमेय.
लक्षात ठेवा

b ने भागण्यापूर्वी b ≠ ० खात्री करा.

सामान्य चूक

सुरुवातीला संख्या परिमेय ऐवजी अपरिमेय मानणे.

आठवणीची युक्ती

"परिमेय मानू, मूळ एकाकी करू, विरोध."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13 + √3 च्या पुराव्यात √3 = r − 3 मिळते, जे परिमेय आहे. हे ___ या ज्ञात तथ्याशी विसंगत आहे.
  2. 23√3 अपरिमेय आहे हे सिद्ध करण्यासाठी 3√3 = r (r परिमेय) असे मानतो. तेव्हा √3 = ?
  3. 33 + √5 च्या पुराव्यात √5 = r − 3 मिळते, जे परिमेय आहे. हे ___ या ज्ञात तथ्याशी विसंगत आहे.
मध्यम
  1. 42 + 3√11 अपरिमेय आहे हे सिद्ध करण्यासाठी 2 + 3√11 = r (r परिमेय) असे मानतो. तेव्हा √11 = ?
  2. 53 − √3 अपरिमेय आहे हे सिद्ध करण्यासाठी 3 − √3 = r (r परिमेय) असे मानतो. तेव्हा √3 = ?
  3. 6(6 + √7)/2 अपरिमेय आहे हे सिद्ध करण्यासाठी (6 + √7)/2 = r (r परिमेय, आवश्यक तेथे शून्येतर) असे मानतो. तेव्हा √7 = ?
आव्हानात्मक
  1. 71/√5 अपरिमेय आहे हे सिद्ध करण्यासाठी 1/√5 = r (r परिमेय, आवश्यक तेथे शून्येतर) असे मानतो. तेव्हा √5 = ?
  2. 85 − 7√2 अपरिमेय आहे हे सिद्ध करण्यासाठी 5 − 7√2 = r (r परिमेय, आवश्यक तेथे शून्येतर) असे मानतो. तेव्हा √2 = ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1√3 अपरिमेय आहे
  2. 2r/3
  3. 3√5 अपरिमेय आहे
  4. 4(r − 2)/3
  5. 53 − r
  6. 62r − 6
  7. 71/r
  8. 8(5 − r)/7