मूळ अवयवांची फोड आणि तिची अद्वितीयता
प्रत्येक लेगो मॉडेल लहान विटांपासून बनते. संख्या मूळ संख्यांच्या "विटांपासून" फक्त एकाच प्रकारे बनते.
अंकगणिताचे मूलभूत प्रमेय : प्रत्येक संयुक्त संख्या मूळ संख्यांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिता येते, आणि ही फोड घटकांच्या क्रमाखेरीज अद्वितीय असते.
सूत्र : n = p₁^a × p₂^b × p₃^c …
आकृतीत : ६० चे अवयववृक्ष कसेही केले तरी २, २, ३, ५ या मूळ संख्यांवरच संपते.
मूळ अवयवांची फोड आणि तिची अद्वितीयता
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : अवयववृक्ष बनवा — प्रत्येक फांदी मूळ संख्या होईपर्यंत फोडा; पुनरावृत्त संख्या घाताने लिहा.
- सोपे : ६० = २² × ३ × ५.
- मध्यम : ५८८ = २² × ३ × ७².
- परीक्षेसाठी : १ ही मूळ नाही आणि संयुक्तही नाही.
नियम 2 : अद्वितीयता — एकाच संख्येची दोन वेगळी वृक्षे सारख्याच मूळ संख्या देतात.
- सोपे : ३६ = ४ × ९ = ६ × ६ → दोन्ही प्रकारे २² × ३².
- मध्यम : २ × ३ × ५ = n तर n = ३० आणि दुसरी मूळ संख्या येत नाही.
- परीक्षेसाठी : गुणून पडताळा : २² × ३² × ५ = १८०.
शेवटी मूळ संख्यांचे घात चढत्या क्रमाने लिहा, उदा. २² × ३ × ५.
गुणाकारात ४ किंवा ९ सारखा संयुक्त अवयव बाकी ठेवून थांबणे.
"प्रत्येक फांदी मूळ होईपर्यंत फोडा."
सरावासाठी प्रश्न
- 140 या संख्येचे किती वेगवेगळे मूळ अवयव आहेत?
- 2सर्वात लहान मूळ संख्या कोणती?
- 33375 ही संख्या मूळ अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहा.
- 41764 ही संख्या मूळ अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहा.
- 515435 या संख्येचे किती वेगवेगळे मूळ अवयव आहेत?
- 65324 या संख्येचे किती वेगवेगळे मूळ अवयव आहेत?
- 71000 च्या मूळ अवयवांच्या फोडीत मूळ संख्या 5 चा घातांक किती आहे?
- 8784 च्या मूळ अवयवांच्या फोडीत मूळ संख्या 7 चा घातांक किती आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12
- 22
- 33³ × 5³
- 42² × 3² × 7²
- 53
- 62
- 73
- 82
मूळ अवयवांच्या पद्धतीने म.सा.वि.
१२ मी आणि १८ मी च्या दोन दोऱ्या वाया न घालवता समान तुकड्यांत कापायच्या. सर्वात लांब तुकडा म्हणजे त्यांचा म.सा.वि.
म.सा.वि. = सामाईक मूळ संख्यांचा गुणाकार, प्रत्येक संख्या तिचा सर्वात लहान घात घेऊन.
सूत्र : म.सा.वि. = (सामाईक मूळ)^(लहान घात) चा गुणाकार
आकृतीत : म.सा.वि.(१२, १८) : सामाईक मूळ २ आणि ३, लहान घात → २ × ३ = ६.
मूळ अवयवांच्या पद्धतीने म.सा.वि.
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : दोन संख्या — दोन्ही संख्यांची फोड करा, दोन्हीत असलेल्या मूळ संख्याच ठेवा.
- सोपे : म.सा.वि.(३६, ६०) : २² × ३ = १२.
- मध्यम : म.सा.वि.(९६, ४०४) = ४.
- परीक्षेसाठी : म.सा.वि.(८, ९) = १ (सामाईक मूळ नाही) : सहमूळ.
नियम 2 : तीन संख्या — तिन्हीत असलेल्या मूळ संख्या घ्या.
- सोपे : म.सा.वि.(१२, १८, २४) = २ × ३ = ६.
- मध्यम : म.सा.वि.(८, १२, २०) = २² = ४.
- परीक्षेसाठी : सर्वात मोठे समान गट करण्यास म.सा.वि. वापरा.
म.सा.वि. प्रत्येक संख्येला भाग जातो; तो सर्वात लहान संख्येपेक्षा मोठा नसतो.
सर्वात मोठा घात घेणे किंवा सर्वांत सामाईक नसलेल्या मूळ संख्या घेणे.
"म.सा.वि. : सामाईक आणि लहान."
सरावासाठी प्रश्न
- 1जर a = 2² × 7 आणि b = 2³ × 3 × 7³, तर म.सा.वि.(a, b) = ?
- 2जर a = 2 × 5 आणि b = 2³ × 3³ × 5³, तर म.सा.वि.(a, b) = ?
- 3मूळ अवयवांच्या पद्धतीने 20 आणि 24 यांचा म.सा.वि. काढा.
- 4मूळ अवयवांच्या पद्धतीने 12 आणि 84 यांचा म.सा.वि. काढा.
- 5मूळ अवयवांच्या पद्धतीत म.सा.वि. काढताना प्रत्येक सामाईक मूळ संख्येचा ___ घात घेतला जातो.
- 6151 आणि 164 या संख्यांना भागल्यावर अनुक्रमे 15 आणि 11 बाकी उरते अशी सर्वात मोठी संख्या शोधा.
- 752 आणि 21 या संख्यांना भागल्यावर अनुक्रमे 2 आणि 1 बाकी उरते अशी सर्वात मोठी संख्या शोधा.
- 88, 4 आणि 10 यांचा म.सा.वि. काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12² × 7
- 22 × 5
- 34
- 412
- 5सर्वात लहान
- 617
- 710
- 82
मूळ अवयवांच्या पद्धतीने ल.सा.वि.
दोन दिवे १२ आणि १८ सेकंदांनी लुकलुकतात. ते पुन्हा एकत्र ल.सा.वि. नंतर लुकलुकतात.
ल.सा.वि. = दिसणाऱ्या सर्व मूळ संख्यांचा गुणाकार, प्रत्येक तिच्या सर्वात मोठ्या घातासह.
सूत्र : ल.सा.वि. = (सर्व मूळ)^(मोठा घात) चा गुणाकार
आकृतीत : ल.सा.वि.(१२, १८) : २² आणि ३² → ४ × ९ = ३६.
नियम 1 : दोन संख्यांचा ल.सा.वि. — प्रत्येक मूळ संख्या तिच्या सर्वात मोठ्या घातासह घ्या.
- सोपे : ल.सा.वि.(६, २०) = २² × ३ × ५ = ६०.
- मध्यम : ल.सा.वि.(८, ९) = ७२.
- परीक्षेसाठी : ल.सा.वि.(१२, १५, २१) = २² × ३ × ५ × ७ = ४२०.
नियम 2 : पुन्हा भेटण्याचे प्रश्न — "किती वेळाने पुन्हा एकत्र?" म्हणजे ल.सा.वि.
- सोपे : १२ से आणि १८ से चे ठोके : ३६ से नंतर एकत्र.
- मध्यम : दोन धावपटू २४ आणि ३६ मिनिटांत फेरी : ७२ मिनिटांनी भेटतात.
- परीक्षेसाठी : ल.सा.वि. सर्वात मोठ्या संख्येपेक्षा लहान नसतो.
म.सा.वि. सामाईक मूळ (लहान घात); ल.सा.वि. सर्व मूळ (मोठा घात).
दोन्ही नियम मिसळणे : ल.सा.वि.साठी लहान घात घेणे.
"ल.सा.वि. : सर्व आणि मोठा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1जर a = 3 × 7 × 11 आणि b = 7² × 11², तर ल.सा.वि.(a, b) = ?
- 2जर a = 3³ × 5 आणि b = 3³ × 5², तर ल.सा.वि.(a, b) = ?
- 3मूळ अवयवांच्या पद्धतीने 120 आणि 84 यांचा ल.सा.वि. काढा.
- 412 आणि 40 या दोन्हींनी पूर्ण भाग जाणारी सर्वात लहान धन संख्या कोणती?
- 5मूळ अवयवांच्या पद्धतीने 20 आणि 50 यांचा ल.सा.वि. काढा.
- 6मूळ अवयवांच्या पद्धतीत ल.सा.वि. काढताना येणाऱ्या प्रत्येक मूळ संख्येचा ___ घात घेतला जातो.
- 716, 25 आणि 24 यांचा ल.सा.वि. काढा.
- 820, 8 आणि 18 ने भागल्यास प्रत्येक वेळी 7 बाकी उरते अशी सर्वात लहान संख्या शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13 × 7² × 11²
- 23³ × 5²
- 3840
- 4120
- 5100
- 6सर्वात मोठा
- 71200
- 8367
म.सा.वि. × ल.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार
म.सा.वि. आणि ल.सा.वि. माहीत असल्यास गाळलेली संख्या फोड न करता काढता येते.
कोणत्याही दोन धन पूर्णांक a व b साठी म.सा.वि.(a, b) × ल.सा.वि.(a, b) = a × b. हे फक्त दोन संख्यांसाठी चालते, तीनसाठी नाही.
सूत्र : म.सा.वि. × ल.सा.वि. = a × b
आकृतीत : १२ आणि १८ : म.सा.वि. ६, ल.सा.वि. ३६ आणि ६ × ३६ = २१६ = १२ × १८.
नियम 1 : गाळलेली संख्या काढा — b = म.सा.वि. × ल.सा.वि. ÷ a.
- सोपे : म.सा.वि. ९, ल.सा.वि. ३६०, एक संख्या ४५ : दुसरी = ९ × ३६० ÷ ४५ = ७२.
- मध्यम : म.सा.वि. ४, ल.सा.वि. ८४, एक संख्या १२ : दुसरी = २८.
- परीक्षेसाठी : सहमूळ संख्या : ल.सा.वि. = गुणाकार.
नियम 2 : ल.सा.वि. किंवा म.सा.वि. काढा — जो गाळला आहे तो वापरा.
- सोपे : म.सा.वि.(२५, ३५) = ५ म्हणून ल.सा.वि. = ८७५ ÷ ५ = १७५.
- मध्यम : म.सा.वि.(८, ९) = १ म्हणून ल.सा.वि. = ७२.
- परीक्षेसाठी : तीन संख्यांसाठी हा नियम चुकतो.
म.सा.वि. नेहमी ल.सा.वि. ला भाग जातो.
तीन संख्यांसाठी म.सा.वि. × ल.सा.वि. = a × b × c वापरणे.
"दोन संख्या : गुणाकार = म.सा.वि. × ल.सा.वि."
सरावासाठी प्रश्न
- 1a आणि b या धन पूर्णांकांसाठी म.सा.वि.(a, b) × ल.सा.वि.(a, b) = ?
- 29 आणि 11 या सहमूळ (परस्पर मूळ) संख्या आहेत. त्यांचा ल.सा.वि. किती?
- 326 आणि 29 या सहमूळ (परस्पर मूळ) संख्या आहेत. त्यांचा ल.सा.वि. किती?
- 425 आणि 23 या सहमूळ (परस्पर मूळ) संख्या आहेत. त्यांचा ल.सा.वि. किती?
- 5दोन संख्यांचा म.सा.वि. 11, ल.सा.वि. 968 असून त्यातील एक संख्या 88 आहे. दुसरी संख्या शोधा.
- 6दोन संख्यांचा म.सा.वि. 13, ल.सा.वि. 65 असून त्यातील एक संख्या 13 आहे. दुसरी संख्या शोधा.
- 7दोन धन पूर्णांकांचा गुणाकार 256 आणि त्यांचा म.सा.वि. 8 आहे. त्यांचा ल.सा.वि. किती?
- 8दोन संख्यांचे गुणोत्तर 11 : 2 असून त्यांचा म.सा.वि. 3 आहे. त्यांचा ल.सा.वि. शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1a × b
- 299
- 3754
- 4575
- 5121
- 665
- 732
- 866
प्रमेयाचा वापर
१० च्या शेवटी ० का? कारण त्यात २ आणि ५ दोन्ही मूळ संख्या आहेत. प्रमेय अशा अनेक गोष्टी स्पष्ट करते.
संख्येच्या शेवटी ० येण्यास तिच्या फोडीत २ आणि ५ दोन्ही हवेत. जिला १ आणि स्वतः याशिवाय अवयव असतो ती संयुक्त. n = p^a × q^b तर तिचे (a + १)(b + १) अवयव असतात.
सूत्र : अवयव = (a + १)(b + १)
आकृतीत : ६ⁿ = २ⁿ × ३ⁿ मध्ये ५ नाही, म्हणून त्याच्या शेवटी ० कधीच येत नाही.
नियम 1 : शेवटचा अंक आणि संयुक्ततेची तपासणी — २ आणि ५ किंवा सामाईक अवयव शोधा.
- सोपे : ४ⁿ = २²ⁿ मध्ये ५ नाही, शेवटी ० नाही.
- मध्यम : (२ × ५ × ७) × ३ + ५ मध्ये ५ अवयव आहे, म्हणून संयुक्त.
- परीक्षेसाठी : ७ × ११ × १३ + १३ = १३ × ७८ : संयुक्त.
नियम 2 : अवयवांची संख्या — प्रत्येक घातात १ मिळवून गुणा.
- सोपे : ३६ = २² × ३² : ३ × ३ = ९ अवयव.
- मध्यम : ६० = २² × ३ × ५ : ३ × २ × २ = १२ अवयव.
- परीक्षेसाठी : मूळ संख्येला फक्त २ अवयव.
फोडीतील प्रत्येक घात सम असेल तर संख्या पूर्ण वर्ग असते.
अवयव (a + १)(b + १) ऐवजी a + b मोजणे.
"प्रत्येक घातात एक मिळवा, मग गुणा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1पुनरावृत्त अवयव वेगळे मोजले तर संयुक्त संख्येला किमान ___ मूळ अवयव असतात.
- 2891 चे एकूण किती धन अवयव आहेत (1 आणि 891 धरून)?
- 35488 चे एकूण किती धन अवयव आहेत (1 आणि 5488 धरून)?
- 412 चे एकूण किती धन अवयव आहेत (1 आणि 12 धरून)?
- 5784 = 2⁴ × 7². 784 हा पूर्ण वर्ग आहे का?
- 6676 चे एकूण किती धन अवयव आहेत (1 आणि 676 धरून)?
- 71225 = 5² × 7². 1225 हा पूर्ण वर्ग आहे का?
- 81125 चे एकूण किती धन अवयव आहेत (1 आणि 1125 धरून)?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12
- 210
- 320
- 46
- 5होय, सर्व घातांक सम आहेत
- 69
- 7होय, सर्व घातांक सम आहेत
- 812