अभाज्य गुणनखंडन और उसकी अद्वितीयता
हर लेगो मॉडल छोटी ईंटों से बनता है। संख्या अभाज्य "ईंटों" से केवल एक ही तरह बनती है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय : प्रत्येक भाज्य संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है, और यह गुणनखंडन गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है।
सूत्र : n = p₁^a × p₂^b × p₃^c …
आकृति में : 60 का गुणनखंड-वृक्ष किसी भी क्रम में बनाएँ, अंत में 2, 2, 3, 5 ही आते हैं।
अभाज्य गुणनखंडन और उसकी अद्वितीयता
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : गुणनखंड-वृक्ष बनाएँ — हर शाखा अभाज्य होने तक तोड़ें; दोहराई संख्याएँ घात में लिखें।
- आसान : 60 = 2² × 3 × 5।
- मध्यम : 588 = 2² × 3 × 7²।
- परीक्षा-प्रकार : 1 न अभाज्य है न भाज्य।
नियम 2 : अद्वितीयता — एक ही संख्या के दो अलग वृक्ष समान अभाज्य देते हैं।
- आसान : 36 = 4 × 9 = 6 × 6 → दोनों तरह 2² × 3²।
- मध्यम : यदि 2 × 3 × 5 = n तो n = 30 और कोई अन्य अभाज्य नहीं आता।
- परीक्षा-प्रकार : गुणा करके जाँचें : 2² × 3² × 5 = 180।
अंत में अभाज्यों के घात बढ़ते क्रम में लिखें, जैसे 2² × 3 × 5।
गुणनफल में 4 या 9 जैसा भाज्य गुणनखंड बचाकर रुक जाना।
"हर शाखा अभाज्य होने तक तोड़ें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 140 के कितने भिन्न अभाज्य गुणनखंड हैं?
- 2सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?
- 33375 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
- 41764 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
- 515435 के कितने भिन्न अभाज्य गुणनखंड हैं?
- 65324 के कितने भिन्न अभाज्य गुणनखंड हैं?
- 71000 के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या 5 का घातांक कितना है?
- 8784 के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या 7 का घातांक कितना है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 22
- 33³ × 5³
- 42² × 3² × 7²
- 53
- 62
- 73
- 82
अभाज्य गुणनखंड विधि से म.स.
12 m और 18 m की दो रस्सियाँ बिना बर्बादी समान टुकड़ों में काटनी हैं। सबसे लंबा टुकड़ा उनका म.स. है।
म.स. = उभयनिष्ठ अभाज्यों का गुणनफल, प्रत्येक का सबसे छोटा घात लेकर।
सूत्र : म.स. = (उभयनिष्ठ अभाज्य)^(छोटा घात) का गुणनफल
आकृति में : म.स.(12, 18) : उभयनिष्ठ अभाज्य 2 और 3, छोटे घात → 2 × 3 = 6।
अभाज्य गुणनखंड विधि से म.स.
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : दो संख्याएँ — दोनों का गुणनखंडन करें, केवल दोनों में उपस्थित अभाज्य रखें।
- आसान : म.स.(36, 60) : 2² × 3 = 12।
- मध्यम : म.स.(96, 404) = 4।
- परीक्षा-प्रकार : म.स.(8, 9) = 1 (कोई उभयनिष्ठ अभाज्य नहीं) : सह-अभाज्य।
नियम 2 : तीन संख्याएँ — तीनों में उभयनिष्ठ अभाज्य लें।
- आसान : म.स.(12, 18, 24) = 2 × 3 = 6।
- मध्यम : म.स.(8, 12, 20) = 2² = 4।
- परीक्षा-प्रकार : सबसे बड़े समान समूह बनाने के लिए म.स. प्रयोग करें।
म.स. हर संख्या को भाग देता है; वह सबसे छोटी संख्या से बड़ा नहीं हो सकता।
सबसे बड़ा घात लेना या ऐसे अभाज्य लेना जो सब में उभयनिष्ठ नहीं।
"म.स. : उभयनिष्ठ और सबसे छोटा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि a = 2² × 7 और b = 2³ × 3 × 7³, तो HCF(a, b) = ?
- 2यदि a = 2 × 5 और b = 2³ × 3³ × 5³, तो HCF(a, b) = ?
- 3अभाज्य गुणनखंड विधि से 20 और 24 का HCF ज्ञात कीजिए।
- 4अभाज्य गुणनखंड विधि से 12 और 84 का HCF ज्ञात कीजिए।
- 5अभाज्य गुणनखंड विधि में HCF ज्ञात करने के लिए प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य की ___ घात ली जाती है।
- 6वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 151 और 164 को भाग देने पर क्रमशः 15 और 11 शेष छोड़ती है।
- 7वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 52 और 21 को भाग देने पर क्रमशः 2 और 1 शेष छोड़ती है।
- 88, 4 और 10 का HCF ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12² × 7
- 22 × 5
- 34
- 412
- 5सबसे छोटी
- 617
- 710
- 82
अभाज्य गुणनखंड विधि से ल.स.
दो बत्तियाँ 12 और 18 सेकंड में टिमटिमाती हैं। वे फिर साथ ल.स. के बाद टिमटिमाएँगी।
ल.स. = दिखने वाले सभी अभाज्यों का गुणनफल, प्रत्येक का सबसे बड़ा घात लेकर।
सूत्र : ल.स. = (सभी अभाज्य)^(बड़ा घात) का गुणनफल
आकृति में : ल.स.(12, 18) : 2² और 3² → 4 × 9 = 36।
नियम 1 : दो संख्याओं का ल.स. — हर अभाज्य उसके सबसे बड़े घात के साथ लें।
- आसान : ल.स.(6, 20) = 2² × 3 × 5 = 60।
- मध्यम : ल.स.(8, 9) = 72।
- परीक्षा-प्रकार : ल.स.(12, 15, 21) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420।
नियम 2 : फिर मिलने की समस्याएँ — "कितनी देर बाद फिर साथ?" यानी ल.स.।
- आसान : 12 से और 18 से की धुनें : 36 से बाद साथ।
- मध्यम : दो धावक 24 और 36 मिनट में चक्कर : 72 मिनट बाद मिलते हैं।
- परीक्षा-प्रकार : ल.स. सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं होता।
म.स. उभयनिष्ठ अभाज्य (छोटा घात); ल.स. सभी अभाज्य (बड़ा घात)।
दोनों नियम मिलाना : ल.स. के लिए छोटे घात लेना।
"ल.स. : सभी और सबसे बड़ा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि a = 3 × 7 × 11 और b = 7² × 11², तो LCM(a, b) = ?
- 2यदि a = 3³ × 5 और b = 3³ × 5², तो LCM(a, b) = ?
- 3अभाज्य गुणनखंड विधि से 120 और 84 का LCM ज्ञात कीजिए।
- 4वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या कौन-सी है जो 12 और 40 दोनों से पूर्णतः विभाजित हो?
- 5अभाज्य गुणनखंड विधि से 20 और 50 का LCM ज्ञात कीजिए।
- 6अभाज्य गुणनखंड विधि में LCM ज्ञात करने के लिए आने वाले प्रत्येक अभाज्य की ___ घात ली जाती है।
- 716, 25 और 24 का LCM ज्ञात कीजिए।
- 8वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 20, 8 और 18 से भाग देने पर प्रत्येक बार शेष 7 बचता है।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13 × 7² × 11²
- 23³ × 5²
- 3840
- 4120
- 5100
- 6सबसे बड़ी
- 71200
- 8367
म.स. × ल.स. = दो संख्याओं का गुणनफल
म.स. और ल.स. पता हों तो छूटी संख्या गुणनखंडन किए बिना निकल आती है।
किन्हीं दो धन पूर्णांकों a व b के लिए म.स.(a, b) × ल.स.(a, b) = a × b। यह केवल दो संख्याओं के लिए चलता है, तीन के लिए नहीं।
सूत्र : म.स. × ल.स. = a × b
आकृति में : 12 और 18 : म.स. 6, ल.स. 36 और 6 × 36 = 216 = 12 × 18।
नियम 1 : छूटी संख्या ज्ञात करें — b = म.स. × ल.स. ÷ a।
- आसान : म.स. 9, ल.स. 360, एक संख्या 45 : दूसरी = 9 × 360 ÷ 45 = 72।
- मध्यम : म.स. 4, ल.स. 84, एक संख्या 12 : दूसरी = 28।
- परीक्षा-प्रकार : सह-अभाज्य संख्याएँ : ल.स. = गुणनफल।
नियम 2 : ल.स. या म.स. ज्ञात करें — जो छूटा है वही निकालें।
- आसान : म.स.(25, 35) = 5 इसलिए ल.स. = 875 ÷ 5 = 175।
- मध्यम : म.स.(8, 9) = 1 इसलिए ल.स. = 72।
- परीक्षा-प्रकार : तीन संख्याओं के लिए यह नियम गलत है।
म.स. सदा ल.स. को भाग देता है।
तीन संख्याओं के लिए म.स. × ल.स. = a × b × c लेना।
"दो संख्याएँ : गुणनफल = म.स. × ल.स।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दो धन पूर्णांकों a और b के लिए HCF(a, b) × LCM(a, b) = ?
- 29 और 11 असहभाज्य संख्याएँ हैं। उनका LCM कितना है?
- 326 और 29 असहभाज्य संख्याएँ हैं। उनका LCM कितना है?
- 425 और 23 असहभाज्य संख्याएँ हैं। उनका LCM कितना है?
- 5दो संख्याओं का HCF 11, LCM 968 है और उनमें से एक संख्या 88 है। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 6दो संख्याओं का HCF 13, LCM 65 है और उनमें से एक संख्या 13 है। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
- 7दो धन पूर्णांकों का गुणनफल 256 और उनका HCF 8 है। उनका LCM कितना है?
- 8दो संख्याओं का अनुपात 11 : 2 है और उनका HCF 3 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1a × b
- 299
- 3754
- 4575
- 5121
- 665
- 732
- 866
प्रमेय का उपयोग
10 के अंत में 0 क्यों? क्योंकि उसमें 2 और 5 दोनों अभाज्य हैं। प्रमेय ऐसी कई बातें समझाता है।
संख्या के अंत में 0 तभी आता है जब उसके गुणनखंडन में 2 और 5 दोनों हों। जिसका 1 और स्वयं के अलावा गुणनखंड हो वह भाज्य है। n = p^a × q^b हो तो उसके (a + 1)(b + 1) गुणनखंड होते हैं।
सूत्र : गुणनखंड = (a + 1)(b + 1)
आकृति में : 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ में 5 नहीं है, इसलिए यह कभी 0 पर समाप्त नहीं होता।
नियम 1 : अंतिम अंक और भाज्य जाँच — 2 और 5 या उभयनिष्ठ गुणनखंड खोजें।
- आसान : 4ⁿ = 2²ⁿ में 5 नहीं, अंत में 0 नहीं।
- मध्यम : (2 × 5 × 7) × 3 + 5 में गुणनखंड 5 है, इसलिए भाज्य।
- परीक्षा-प्रकार : 7 × 11 × 13 + 13 = 13 × 78 : भाज्य।
नियम 2 : गुणनखंडों की संख्या — हर घात में 1 जोड़कर गुणा करें।
- आसान : 36 = 2² × 3² : 3 × 3 = 9 गुणनखंड।
- मध्यम : 60 = 2² × 3 × 5 : 3 × 2 × 2 = 12 गुणनखंड।
- परीक्षा-प्रकार : अभाज्य के ठीक 2 गुणनखंड।
गुणनखंडन का हर घात सम हो तो संख्या पूर्ण वर्ग होती है।
गुणनखंड (a + 1)(b + 1) की जगह a + b गिनना।
"हर घात में एक जोड़ें, फिर गुणा करें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दोहराए गए गुणनखंडों को अलग-अलग गिनने पर भाज्य संख्या के कम से कम ___ अभाज्य गुणनखंड होते हैं।
- 2891 के कुल कितने धनात्मक गुणनखंड हैं (1 और 891 सहित)?
- 35488 के कुल कितने धनात्मक गुणनखंड हैं (1 और 5488 सहित)?
- 412 के कुल कितने धनात्मक गुणनखंड हैं (1 और 12 सहित)?
- 5784 = 2⁴ × 7²। क्या 784 एक पूर्ण वर्ग है?
- 6676 के कुल कितने धनात्मक गुणनखंड हैं (1 और 676 सहित)?
- 71225 = 5² × 7²। क्या 1225 एक पूर्ण वर्ग है?
- 81125 के कुल कितने धनात्मक गुणनखंड हैं (1 और 1125 सहित)?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 210
- 320
- 46
- 5हाँ, सभी घातांक सम हैं
- 69
- 7हाँ, सभी घातांक सम हैं
- 812