बहुपदीचा घात, प्रकार आणि पदे
बहुपदी म्हणजे पाककृतीसारखी : प्रत्येक पद एक घटक व त्याचे प्रमाण, आणि सर्वोच्च घात तिचा "आकार".
x मधील बहुपदीच्या पदांत x चे पूर्णांक घात असतात. तिचा घात म्हणजे सर्वोच्च घात. घात १ रेषीय, २ द्विघात, ३ त्रिघात.
आकृतीत : ३x² − ५x + २ ला तीन पदे आणि घात २, म्हणून द्विघात.
नियम 1 : घात सांगा — x चा सर्वात मोठा घात ठरवतो.
- सोपे : २x − ७ : घात १, रेषीय.
- मध्यम : x³ − x + ४ : घात ३, त्रिघात.
- परीक्षेसाठी : x⁴ − १ : घात ४, चतुर्घात.
नियम 2 : बहुपदी काय नाही — घात पूर्ण संख्या हव्यात.
- सोपे : x + १/x मध्ये x⁻¹ : बहुपदी नाही.
- मध्यम : √x + २ मध्ये x^(१/२) : बहुपदी नाही.
- परीक्षेसाठी : ७ ही स्थिर बहुपदी (घात ०).
n घाताच्या बहुपदीत x च्या वेगवेगळ्या घातांची जास्तीत जास्त n पदे व एक स्थिर पद.
पदांची संख्या म्हणजेच घात समजणे.
"घात = सर्वोच्च घात."
सरावासाठी प्रश्न
- 1−4x − 9x² या बहुपदीचा घात किती आहे?
- 2घात 5 असलेल्या बहुपदीला जास्तीत जास्त किती शून्यके असू शकतात?
- 35x² − x − 7 ही ___ बहुपदी आहे.
- 45x − 9 ही ___ बहुपदी आहे.
- 5−5x² + 7x ही ___ बहुपदी आहे.
- 6घात 7 असलेल्या बहुपदीला जास्तीत जास्त किती शून्यके असू शकतात?
- 7p(x) = 5x³ − 5x² − 3x − 8 आणि q(x) = −5x³ + 8x² − 5x + 2 असेल, तर p(x) + q(x) चा घात किती?
- 8p(x) = 6x³ + x² + 8x − 7 आणि q(x) = −6x³ + 5x² − 7x + 1 असेल, तर p(x) + q(x) चा घात किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12
- 25
- 3द्विघात
- 4रेषीय
- 5द्विघात
- 67
- 72
- 82
बहुपदीची किंमत आणि शून्यक
सूत्रात संख्या घातली की उत्तर मिळते. ज्या संख्येने ० येते त्या विशेष : त्या शून्यके.
x = k वर p(x) ची किंमत p(k). जर p(k) = ० तर k हे बहुपदीचे शून्यक.
सूत्र : k शून्यक ⇔ p(k) = ०
आकृतीत : x² − ३x + २ : p(१) = १ − ३ + २ = ० आणि p(२) = ४ − ६ + २ = ०, पण p(३) = २.
नियम 1 : किंमत काढा — बदली करून सोपे करा.
- सोपे : p(x) = x² + x − ६ : p(−१) = १ − १ − ६ = −६.
- मध्यम : p(x) = २x − ६ : p(३) = ०.
- परीक्षेसाठी : p(x) = x³ − x : p(२) = ८ − २ = ६.
नियम 2 : शून्यक तपासा — किंमत शून्य म्हणजे शून्यक.
- सोपे : x² − ४ : p(२) = ० आणि p(−२) = ०, दोन्ही शून्यके.
- मध्यम : x² + १ : p(१) = २ ≠ ०.
- परीक्षेसाठी : शून्यक स्वतः ० असू शकते : p(x) = x² चे शून्यक ०.
रेषीय बहुपदी ax + b ला नेमके एक शून्यक, −b/a.
शून्यक k आणि किंमत p(k) यांची गल्लत.
"शून्यक घातला, उत्तर शून्य ⇒ p चे शून्यक."
सरावासाठी प्रश्न
- 1p(x) = −4x³ − 2x² − 7x + 3 असेल, तर p(−1) काढा.
- 2p(x) = −6x² + 4x + 2 असेल, तर p(−3) काढा.
- 3p(x) = −x² − 2x + 5 असेल, तर p(2) काढा.
- 4p(x) = 5x² + 4x − 4 असेल, तर p(−1) काढा.
- 5x = −4 हे x² + kx − 8 या बहुपदीचे शून्यक असेल, तर k ची किंमत शोधा.
- 6x = 4 हे kx² − 3x + 60 या बहुपदीचे शून्यक असेल, तर k ची किंमत शोधा.
- 7x = 4 हे x³ − 3x² + kx + 20 या बहुपदीचे शून्यक असेल, तर k ची किंमत शोधा.
- 8x = 4 हे x² + kx − 20 या बहुपदीचे शून्यक असेल, तर k ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112
- 2−64
- 3−3
- 4−3
- 52
- 6−3
- 7−9
- 81
रेषीय बहुपदी : शून्यक आणि आलेख
उताराचे जमिनीला स्पर्श करण्याचे एकच ठिकाण असते. सरळ रेषा y = ax + b x-अक्षाला एकदाच ओलांडते.
y = ax + b (a ≠ ०) चा आलेख सरळ रेषा. तिचे शून्यक म्हणजे ती x-अक्षाला जिथे छेदते त्या बिंदूचा x-निर्देशक, आणि ते −b/a.
सूत्र : ax + b चे शून्यक = −b/a
आकृतीत : y = २x − ४ x-अक्षाला x = २ वर छेदते, म्हणून शून्यक २.
नियम 1 : शून्यक वाचा — रेषा x-अक्षाला कुठे भेटते ते पाहा.
- सोपे : y = x − ३ : शून्यक ३.
- मध्यम : y = २x + ६ : शून्यक −३.
- परीक्षेसाठी : y = ४x : मूलबिंदूतून जाते, शून्यक ०.
नियम 2 : −b/a वापरा — रेषीय बहुपदीसाठी आलेख नको.
- सोपे : ३x − ९ : शून्यक ९/३ = ३.
- मध्यम : ५x + १० : शून्यक −१०/५ = −२.
- परीक्षेसाठी : ७x + ५ : शून्यक −५/७.
x-अक्षाला समांतर रेषेला शून्यक नाही; y = ० रेषेसाठी सर्व संख्या शून्यके.
शून्यक −b/a ऐवजी b/a लिहिणे.
"रेषा एकदा ओलांडते : शून्यक = −b/a."
सरावासाठी प्रश्न
- 1बहुपदी p(x) चे शून्यक म्हणजे आलेख x-अक्षाला जेथे भेटतो त्या बिंदूचा ___.
- 2−3x + 10 या रेषीय बहुपदीचे शून्यक काढा.
- 33x − 2 या रेषीय बहुपदीचे शून्यक काढा.
- 44x + 12 या रेषीय बहुपदीचे शून्यक काढा.
- 5−4x + 8 या रेषीय बहुपदीचे शून्यक काढा.
- 6−2x − 5 या रेषीय बहुपदीचे शून्यक काढा.
- 7−5x + 12 या रेषीय बहुपदीचे शून्यक काढा.
- 8−7x − 8 या रेषीय बहुपदीचे शून्यक काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x-निर्देशक
- 210/3
- 32/3
- 4−3
- 52
- 6−5/2
- 712/5
- 8−8/7
द्विघात बहुपदी : परवलय आणि शून्यकांची संख्या
फेकलेला चेंडू परवलय नावाच्या वक्राने जातो. तो जमिनीला दोनदा ओलांडू शकतो, फक्त स्पर्श करू शकतो किंवा कधीच गाठत नाही.
y = ax² + bx + c चा आलेख परवलय : a > ० तर वर उघडतो, a < ० तर खाली. द्विघात बहुपदीला जास्तीत जास्त २ शून्यके : x-अक्षाला २, १ किंवा ० बिंदूंवर छेदते.
सूत्र : a > ० तर वर उघडते; a < ० तर खाली
आकृतीत : y = x² − ४ वर उघडते आणि x-अक्षाला −२ व २ वर छेदते, म्हणून दोन शून्यके.
द्विघात बहुपदी : परवलय आणि शून्यकांची संख्या
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : शून्यके मोजा — परवलय x-अक्षाला किती बिंदूंवर भेटते ते मोजा.
- सोपे : x² − ४ : दोनदा छेदते, शून्यके ±२.
- मध्यम : x² : फक्त ० वर स्पर्श, एक शून्यक.
- परीक्षेसाठी : x² + १ : अक्षाच्या वरच राहते, शून्यक नाही.
नियम 2 : उघडण्याची दिशा — a चे चिन्ह वर की खाली ठरवते.
- सोपे : x² − २x : a = १ > ०, वर उघडते.
- मध्यम : −x² + १ : a = −१ < ०, खाली उघडते.
- परीक्षेसाठी : −x² + १ चे शून्यके ±१.
द्विघात बहुपदीला २ पेक्षा जास्त शून्यके असू शकत नाहीत.
परवलयाचा सर्वात खालचा बिंदू म्हणजे शून्यक असे समजणे.
"a धन तर वर; शून्यके म्हणजे x-अक्षाला स्पर्श/छेद."
सरावासाठी प्रश्न
- 1y = 3x² + 5x − 6 हा परवलय ___ उघडतो.
- 2y = 6x² − 6x − 5 हा परवलय ___ उघडतो.
- 3y = x² − 6x + 1 हा परवलय ___ उघडतो.
- 4y = 4x² − 6x − 4 चा आलेख x-अक्षाला किती ठिकाणी छेदतो किंवा स्पर्श करतो?
- 5y = 4x² − x − 5 चा आलेख x-अक्षाला किती ठिकाणी छेदतो किंवा स्पर्श करतो?
- 6वरच्या दिशेने उघडणारा परवलय संपूर्णपणे x-अक्षाच्या वर आहे. बहुपदीला किती शून्यके आहेत?
- 7k च्या कोणत्या किमतीसाठी y = x² + 6x + k चा आलेख x-अक्षाला नेमक्या एकाच बिंदूत स्पर्श करतो?
- 8k च्या कोणत्या किमतीसाठी y = x² + 14x + k चा आलेख x-अक्षाला नेमक्या एकाच बिंदूत स्पर्श करतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1वरच्या दिशेने
- 2वरच्या दिशेने
- 3वरच्या दिशेने
- 42
- 52
- 60
- 79
- 849
त्रिघात आणि अधिक घाताच्या बहुपदी
वर-खाली-वर जाणारी रोलरकोस्टर जमिनीच्या पातळीला तीनदा स्पर्श करू शकते. त्रिघात तसेच.
n घाताच्या बहुपदीला जास्तीत जास्त n शून्यके. त्रिघात x-अक्षाला १, २ किंवा ३ बिंदूंवर छेदते. तिचा आलेख S सारखा वक्र.
सूत्र : शून्यके ≤ घात
आकृतीत : y = x³ − x x-अक्षाला तीनदा छेदते : −१, ० आणि १.
नियम 1 : किती शून्यके? — आलेख पाहा; संख्या घातापेक्षा जास्त नाही.
- सोपे : x³ − x : ३ शून्यके.
- मध्यम : x³ : ० वर एक शून्यक.
- परीक्षेसाठी : x³ + x : फक्त एक शून्यक (०).
नियम 2 : अवयव पाडून तपासा — प्रत्येक अवयव शून्य होतो तिथे शून्यके.
- सोपे : x³ − x = x(x − १)(x + १) : शून्यके ०, १, −१.
- मध्यम : (x − २)(x + ३)x : शून्यके २, −३, ०.
- परीक्षेसाठी : घात n ⇒ जास्तीत जास्त n शून्यके.
प्रत्येक त्रिघातला किमान एक शून्यक असते कारण आलेख x-अक्षाला ओलांडतोच.
स्पर्श बिंदू दोनदा मोजणे किंवा पदांची संख्या व शून्यकांची संख्या गल्लत करणे.
"शून्यके घातापेक्षा जास्त नसतात."
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिघात बहुपदीला जास्तीत जास्त ___ शून्यके असू शकतात.
- 2y = p(x) चा आलेख x-अक्षाला 6 वेगवेगळ्या बिंदूंत छेदतो. p(x) चा किमान शक्य घात किती?
- 3p(x) = (x − 6)(x − 3)(x + 2) या त्रिघात बहुपदीची शून्यके कोणती?
- 4p(x) = (x − 5)(x + 5)(x + 4) या त्रिघात बहुपदीची शून्यके कोणती?
- 5p(x) = (x − 3)(x − 1)(x + 1) या त्रिघात बहुपदीची शून्यके कोणती?
- 6p(x) = (x + 6)(x + 2)(x + 5) या त्रिघात बहुपदीची शून्यके कोणती?
- 7x³ − 9x या त्रिघात बहुपदीला किती वेगवेगळी शून्यके आहेत?
- 8x³ + 8x या त्रिघात बहुपदीला किती वेगवेगळी शून्यके आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13
- 26
- 36, 3, −2
- 45, −5, −4
- 53, 1, −1
- 6−6, −2, −5
- 73
- 81