aₙ = a + (n − 1)d से पद ज्ञात करना
सीढ़ी के 10वें कदम तक पहुँचने के लिए हर कदम गिनना ज़रूरी नहीं : a से d नौ बार जोड़ें।
प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली श्रेणी का n वां पद aₙ = a + (n − 1)d। (n − 1) प्रथम पद से लिए गए कदमों की संख्या है।
सूत्र : aₙ = a + (n − 1)d
आकृति में : 3, 7, 11, … : a = 3, d = 4, अतः a₈ = 3 + 7 × 4 = 31।
aₙ = a + (n − 1)d से पद ज्ञात करना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : पद निकालें — a और d निकालें, फिर n रखें।
- आसान : a = 5, d = 3 : a₁₀ = 5 + 27 = 32।
- मध्यम : 20, 17, 14, … : a₁₂ = 20 + 11(−3) = −13।
- परीक्षा-प्रकार : −10, −7, −4, … : a₉ = −10 + 8 × 3 = 14।
नियम 2 : अंतिम पद निकालें — n पदों की श्रेणी का अंतिम पद aₙ।
- आसान : 20 पदों की श्रेणी a = 2, d = 3 : l = 2 + 19 × 3 = 59।
- मध्यम : दूसरा पद a₂ = a + d।
- परीक्षा-प्रकार : प्रथम पद a₁ = a + 0 × d = a।
n वें पद के लिए (n − 1) कदम, n नहीं।
(n − 1) × d की जगह n × d लेना।
"स्थिति से एक कदम कम।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक समांतर श्रेणी का n वाँ पद aₙ = 5n + 10 है। 25वाँ पद ज्ञात कीजिए।
- 2एक समांतर श्रेणी का n वाँ पद aₙ = −7n − 2 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 3एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 12 और सार्व अंतर −5 है। उसका 28वाँ पद क्या है?
- 4एक समांतर श्रेणी का n वाँ पद aₙ = −n + 11 है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
- 5एक समांतर श्रेणी का n वाँ पद aₙ = 6n + 13 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 6एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 21 और सार्व अंतर 8 है। उसका 43वाँ पद क्या है?
- 7एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 1 और सार्व अंतर −5 है। उसका 34वाँ पद क्या है?
- 8एक समांतर श्रेणी का n वाँ पद aₙ = 5n + 13 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1135
- 2−7
- 3−123
- 410
- 56
- 6357
- 7−164
- 85
पद की स्थिति ज्ञात करना
सूची में 47 दिखता है और प्रश्न उठता है : वह कौन-सा कदम है? aₙ = 47 से n हल करें।
दिए पद T की स्थिति n निकालने के लिए a + (n − 1)d = T रखकर हल करें, n = (T − a)/d + 1। n धन पूर्ण संख्या न हो तो T पद नहीं है।
सूत्र : n = (T − a)/d + 1
आकृति में : 3, 7, 11, … में 47 बारहवाँ पद है : 47 = 3 + (n − 1)4 से n = 12।
नियम 1 : वह कौन-सा पद? — n हल करें और देखें कि वह धन पूर्ण संख्या है या नहीं।
- आसान : 3, 7, 11, … : 47 बारहवाँ पद।
- मध्यम : 100, 95, 90, … : 0 इक्कीसवाँ पद (n = 100/5 + 1)।
- परीक्षा-प्रकार : 2, 5, 8, … : 62 कौन-सा? n = 60/3 + 1 = 21।
नियम 2 : क्या वह पद है? — n भिन्न या ऋण हो तो संख्या सूची में नहीं।
- आसान : क्या 100, 2, 5, 8, … का पद है? n = 98/3 + 1 पूर्ण संख्या नहीं : नहीं।
- मध्यम : क्या 77, 2, 5, 8, … का पद है? n = 75/3 + 1 = 26 : हाँ।
- परीक्षा-प्रकार : −5, 3, 7, 11, … का पद नहीं : n ऋण आएगा।
n वापस रखकर जाँचें : aₙ = T होना चाहिए।
अंत में 1 जोड़ना भूल जाना : n = (T − a)/d + 1।
"अंतर को d से भाग दें, फिर एक जोड़ें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 134 समांतर श्रेणी 15, 22, 29, 36, … का एक पद है?
- 2समांतर श्रेणी 3, −2, −7, −12, … का कौन-सा पद −77 है?
- 3क्या 94 समांतर श्रेणी 3, 10, 17, 24, … का एक पद है?
- 4क्या 51 समांतर श्रेणी −6, −2, 2, 6, … का एक पद है?
- 5क्या 157 समांतर श्रेणी 19, 27, 35, 43, … का एक पद है?
- 6समांतर श्रेणी 5, 12, 19, 26, … का कौन-सा पद 117 है?
- 7समांतर श्रेणी 18, 15, 12, 9, … का कौन-सा पद −9 है?
- 8समांतर श्रेणी 20, 23, 26, 29, … का वह पहला पद कौन-सा है जो 330 से बड़ा है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 217
- 3हाँ
- 4नहीं
- 5नहीं
- 617
- 710
- 8105
दिए पदों से a और d ज्ञात करना
3रे और 7वें कदम की ऊँचाई पता हो तो उनके बीच की चढ़ाई एक कदम का माप बताती है।
हर दिए पद को a + (n − 1)d रूप में लिखकर दो समीकरण पाएँ। घटाकर d निकालें, फिर रखकर a निकालें।
आकृति में : a₃ = 12 और a₇ = 24 : 4d = 12, d = 3, a = 12 − 6 = 6।
नियम 1 : दो पद दिए — a हटाने के लिए घटाएँ।
- आसान : a₃ = 12, a₇ = 24 : d = 3, a = 6 (जाँच a₇ = 6 + 18 = 24 ✓)।
- मध्यम : a₂ = 13, a₄ = 3 : 2d = −10, d = −5, a = 18।
- परीक्षा-प्रकार : a₅ = 22 और d = 4 : a = 22 − 16 = 6।
नियम 2 : फिर कोई भी पद निकालें — a और d पता होने पर aₙ = a + (n − 1)d लें।
- आसान : a = 6, d = 3 : a₁₅ = 6 + 14 × 3 = 48।
- मध्यम : a = 18, d = −5 : a₁₀ = 18 − 45 = −27।
- परीक्षा-प्रकार : अपने a व d से दोनों दिए पद जाँचें।
aₚ और aq का अंतर (q − p)d है।
गलत कदमों से भाग देना (7 − 3 की जगह 7 − 3 + 1 लेना)।
"स्थितियाँ घटाकर कदम गिनें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 15 और 6वाँ पद 35 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 2एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 14 और 6वाँ पद 24 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 3एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद −6 और 4वाँ पद 15 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 4एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 24 और 4वाँ पद 21 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 5एक समांतर श्रेणी में a13 − a5 = −72 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
- 6एक समांतर श्रेणी का 5वाँ पद −26 और 4वाँ पद −18 है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
- 7एक समांतर श्रेणी में a2 + a2 = 0 और a3 + a8 = −28 है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
- 8एक समांतर श्रेणी का 4वाँ पद 42 और 10वाँ पद 90 है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 22
- 37
- 4−1
- 5−9
- 66
- 74
- 818
समांतर श्रेणी में पदों की संख्या
7 से शुरू होकर 205 पर समाप्त, 6 के कदम वाली पंक्ति में कितनी सीटें? यह वही है जो पूछना कि 205 कौन-सा पद है।
प्रथम पद a, अंतिम पद l और अंतर d वाली परिमित श्रेणी में पदों की संख्या n = (l − a)/d + 1।
सूत्र : n = (l − a)/d + 1
आकृति में : 7, 13, 19, …, 205 : n = (205 − 7)/6 + 1 = 34 पद।
नियम 1 : पद गिनें — पहले d निकालें, फिर सूत्र लगाएँ।
- आसान : 7, 13, 19, …, 205 : 34 पद।
- मध्यम : 2, 4, 6, …, 100 : n = 98/2 + 1 = 50।
- परीक्षा-प्रकार : 50, 45, …, 5 : n = (5 − 50)/(−5) + 1 = 10।
नियम 2 : सीमा में संख्याएँ गिनें — सीमा में पहला व अंतिम गुणज खोजें।
- आसान : दो अंकों के 3 के गुणज : 12, 15, …, 99 : n = 87/3 + 1 = 30।
- मध्यम : 10 से 95 तक 5 के गुणज : n = 85/5 + 1 = 18।
- परीक्षा-प्रकार : n पूर्ण संख्या होनी चाहिए।
पद गिनना बाड़ के खंभे गिनने जैसा है : अंतराल खंभों से एक कम।
+1 भूल जाना, जो प्रथम पद को भी गिनता है।
"अंतराल जोड़ एक = पद।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1समांतर श्रेणी 5, 11, 17, …, 53 में कितने पद हैं?
- 2समांतर श्रेणी 13, 16, 19, …, 31 में कितने पद हैं?
- 3समांतर श्रेणी 12, 19, 26, …, 54 में कितने पद हैं?
- 4समांतर श्रेणी −15, −10, −5, …, 205 में कितने पद हैं?
- 58 से 364 तक (दोनों सहित) कितनी संख्याएँ 13 से विभाज्य हैं?
- 6समांतर श्रेणी 17, 12, 7, …, −158 में कितने पद हैं?
- 7समांतर श्रेणी 8, 4, 0, …, −96 में कितने पद हैं?
- 811 से विभाज्य तीन अंकों की कितनी संख्याएँ हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 19
- 27
- 37
- 445
- 528
- 636
- 727
- 881
n वें पद पर शाब्दिक प्रश्न
बचत, वेतन और बैठने की पंक्तियाँ श्रेणी में होती हैं। n वां पद n वें सप्ताह, वर्ष या पंक्ति की राशि बताता है।
a (पहला मान) और d (निश्चित परिवर्तन) पहचानें, तय करें कि aₙ चाहिए या n, हल करें और इकाई सहित उत्तर लिखें।
आकृति में : बचत ₹50 से शुरू होकर हर सप्ताह ₹10 बढ़ती है : 12वाँ सप्ताह 50 + 11 × 10 = ₹160।
नियम 1 : n वाँ मान निकालें — aₙ = a + (n − 1)d लें।
- आसान : वेतन ₹8000, हर वर्ष ₹500 वृद्धि : 10वें वर्ष ₹8000 + 9 × 500 = ₹12500।
- मध्यम : सीटें : पहली पंक्ति 20, हर पंक्ति में 2 अधिक : 15वीं पंक्ति में 20 + 14 × 2 = 48।
- परीक्षा-प्रकार : टैक्सी : ₹15 फिर अतिरिक्त km ₹8 : 10 km का 15 + 9 × 8 = ₹87।
नियम 2 : n निकालें — n वाँ मान दी गई राशि के बराबर रखकर n हल करें।
- आसान : वेतन ₹10000 होता है वर्ष n = 2000/500 + 1 = 5।
- मध्यम : बचत ₹50, +10 : ₹200 सप्ताह 16 में।
- परीक्षा-प्रकार : उत्तर से पहले जाँचें n पूर्ण संख्या है।
aₙ की इकाई राशि की इकाई, जैसे ₹ या सीटें।
पहले मान को शून्यवाँ कदम मानना : पहला मान a₁ = a।
"a पहला सप्ताह; बीते सप्ताह n घटा एक।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1ईंटों के ढेर की सबसे ऊपरी परत में 9 ईंटें हैं और नीचे की प्रत्येक परत ऊपर वाली से 2 ईंटें अधिक है। ऊपर से 6वीं परत में कितनी ईंटें हैं?
- 2ईंटों के ढेर की सबसे ऊपरी परत में 3 ईंटें हैं और नीचे की प्रत्येक परत ऊपर वाली से 4 ईंटें अधिक है। ऊपर से 8वीं परत में कितनी ईंटें हैं?
- 3ईंटों के ढेर की सबसे ऊपरी परत में 10 ईंटें हैं और नीचे की प्रत्येक परत ऊपर वाली से 2 ईंटें अधिक है। ऊपर से 8वीं परत में कितनी ईंटें हैं?
- 4एक सभागार की पहली पंक्ति में 15 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में पिछली से 5 सीटें अधिक हैं। 19वीं पंक्ति में कितनी सीटें हैं?
- 5एक सभागार की पहली पंक्ति में 17 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में पिछली से 4 सीटें अधिक हैं। 9वीं पंक्ति में कितनी सीटें हैं?
- 6एक व्यक्ति का प्रारंभिक मासिक वेतन ₹25000 है और प्रतिवर्ष ₹750 की वृद्धि मिलती है। 17वें वर्ष का मासिक वेतन (₹ में) कितना होगा?
- 7एक समांतर श्रेणी में 21 पद हैं, प्रथम पद 7 और अंतिम पद 67 है। मध्य पद ज्ञात कीजिए।
- 8एक सीढ़ी की पहली पायदान 6 cm चौड़ी है और प्रत्येक ऊपरी पायदान नीचे वाली से 2 cm अधिक चौड़ी है। 19वीं पायदान की चौड़ाई (cm में) कितनी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 119
- 231
- 324
- 4105
- 549
- 637000
- 737
- 842