समरूप आणि एकरूप आकृत्या
फोटो आणि त्याची मोठी प्रत सारखी दिसते पण माप वेगळे. त्याच मापाची झेरॉक्स म्हणजे हुबेहूब प्रत.
समरूप आकृत्यांचा आकार सारखा असतो, माप नेहमी सारखे नसते : संगत कोन समान आणि संगत बाजू समप्रमाण. माप सुद्धा समान असेल तर आकृत्या एकरूप (k = १ असलेले समरूपतेचे विशेष रूप).
आकृतीत : आकार सारखा, माप वेगळे : मोठा त्रिकोण म्हणजे लहान दुप्पट मोठा केलेला.
नियम 1 : समरूप आहेत का? — आकार तपासा : कोन समान व बाजू समान गुणोत्तरात.
- सोपे : सर्व वर्तुळे समरूप; सर्व चौरस समरूप.
- मध्यम : आयत २ × ३ व ४ × ६ : २/४ = ३/६, म्हणून समरूप.
- परीक्षेसाठी : आयत २ × ३ व ४ × ५ : २/४ ≠ ३/५, म्हणून समरूप नाहीत.
नियम 2 : एकरूपता हे विशेष रूप — एकरूप आकृत्या म्हणजे गुणोत्तर १ असलेल्या समरूप आकृत्या.
- सोपे : दोन सारखी नाणी : समरूप व एकरूप.
- मध्यम : ६ cm व ९ cm चे चौरस : समरूप, एकरूप नाही.
- परीक्षेसाठी : प्रत्येक एकरूप जोडी समरूप, पण प्रत्येक समरूप जोडी एकरूप नाही.
समरूप = आकार सारखा; एकरूप = आकार व माप दोन्ही सारखे.
सर्व कोन ९०° आहेत म्हणून आयते समरूप मानणे; बाजूही समप्रमाण हव्यात.
"समरूप : आकार सारखा. एकरूप : आकार व माप सारखे."
सरावासाठी प्रश्न
- 1दोन आयतांच्या बाजू 10 cm × 5 cm आणि 20 cm × 10 cm आहेत. ते समरूप आहेत का?
- 2दोन आयतांच्या बाजू 12 cm × 8 cm आणि 24 cm × 16 cm आहेत. ते समरूप आहेत का?
- 3△BAE ~ △PQR असेल तर ∠E च्या बरोबर कोणता कोन?
- 4दोन आयतांच्या बाजू 3 cm × 2 cm आणि 3 cm × 2 cm आहेत. ते समरूप आहेत का?
- 5△WTB ~ △ZKA असेल तर ∠W च्या बरोबर कोणता कोन?
- 6दोन आयतांच्या बाजू 3 cm × 2 cm आणि 9 cm × 8 cm आहेत. ते समरूप आहेत का?
- 7△PAK ~ △WLU असेल तर PA/WL = AK/LU = ?
- 8△NSU ~ △EZM असेल तर NS/EZ = SU/ZM = ?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 2होय
- 3∠R
- 4होय
- 5∠Z
- 6नाही
- 7KP/UW
- 8UN/ME
संगत बाजूंचे गुणोत्तर
४ cm चे चित्र ८ cm करायचे तर प्रत्येक लांबी दुप्पट : नवी/जुनी हे गुणोत्तर प्रत्येक बाजूसाठी २.
समरूप आकृत्यांत सर्व संगत बाजूंचे गुणोत्तर समान असते, तो प्रमाणगुणक k = (नव्या आकृतीची बाजू)/(जुन्या आकृतीची बाजू). परिमितींचे गुणोत्तरही तेच.
सूत्र : k = नवी बाजू / जुनी बाजू
आकृतीत : ३, ४, ५ बाजू ६, ८, १० झाल्या : प्रत्येक गुणोत्तर २.
संगत बाजूंचे गुणोत्तर
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : गुणोत्तर k काढा — नव्या आकृतीची बाजू जुन्या आकृतीच्या संगत बाजूने भागा.
- सोपे : ३ cm → ६ cm : k = २.
- मध्यम : ६ cm → ९ cm : k = ९/६ = ३/२.
- परीक्षेसाठी : ४ cm → १० cm : k = ५/२.
नियम 2 : सर्व बाजू व परिमिती तपासा — प्रत्येक जोडी सारखेच गुणोत्तर देणे आवश्यक; परिमितीही तेच पाळते.
- सोपे : ३, ४, ५ व ६, ८, १० : गुणोत्तरे २, २, २ : समरूप.
- मध्यम : २, ३, ४ व ४, ६, ९ : गुणोत्तरे २, २, ९/४ : समरूप नाहीत.
- परीक्षेसाठी : बाजू ५, ६, ७ (परिमिती १८), k = ३ : नवी परिमिती ५४.
प्रत्येक संगत बाजूंच्या जोडीसाठी आणि परिमितीसाठी तोच k चालतो.
एका जोडीत जुनी/नवी आणि दुसरीत नवी/जुनी भागणे.
"नेहमी नवी/जुनी, प्रत्येक बाजूसाठी तोच क्रम."
सरावासाठी प्रश्न
- 1दोन समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू 3 cm आणि 12 cm आहेत. पहिल्याचे दुसऱ्याशी गुणोत्तर किती?
- 2दोन समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू 16 cm आणि 24 cm आहेत. पहिल्याचे दुसऱ्याशी गुणोत्तर किती?
- 3दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या 12 cm आणि 10 cm आहेत. त्यांच्या परिघांचे गुणोत्तर किती?
- 4दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या 4 cm आणि 11 cm आहेत. त्यांच्या परिघांचे गुणोत्तर किती?
- 5दोन समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू 7 cm आणि 14 cm आहेत. पहिल्याचे दुसऱ्याशी गुणोत्तर किती?
- 6दोन समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजूंचे गुणोत्तर 4 : 3 आहे. दुसऱ्याची परिमिती 33 cm आहे. पहिल्याची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
- 7दोन समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजूंचे गुणोत्तर 1 : 4 आहे. दुसऱ्याची परिमिती 148 cm आहे. पहिल्याची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
- 8दोन समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजूंचे गुणोत्तर 3 : 5 आहे. दुसऱ्याची परिमिती 60 cm आहे. पहिल्याची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11 : 4
- 22 : 3
- 36 : 5
- 44 : 11
- 51 : 2
- 644
- 737
- 836
समरूप आकृत्यांतील अज्ञात बाजू शोधणे
१२ cm ची खेळण्यातील गाडी खऱ्या गाडीचे ठरावीक प्रमाणातील नमुना असेल तर एक माहीत लांबी बाकी सर्व देते.
संगत बाजूंची समान गुणोत्तरे मांडा, अज्ञात x ठेवा आणि आडवे गुणा; किंवा आधी k काढून गुणा.
आकृतीत : ३, ४, ५ ~ ६, ८, x : ५/x = ३/६, म्हणून x = १०.
नियम 1 : समप्रमाण मांडा — प्रत्येक गुणोत्तरात संगत बाजू एकाच स्थानी ठेवा.
- सोपे : ३, ४, ५ ~ ६, ८, x : x = १०.
- मध्यम : २ : ८ = ३ : y वरून y = १२.
- परीक्षेसाठी : आयते : ४/१० = ६/x वरून x = १५.
नियम 2 : k थेट वापरा — k एकदा काढून प्रत्येक बाजू गुणा किंवा भागा.
- सोपे : k = ३ (४ → १२) : बाजू ५ ची १५.
- मध्यम : k = २/५ : बाजू १० ची ४.
- परीक्षेसाठी : k = ३/२ : बाजू १४ ची २१.
आता सर्व गुणोत्तरे जुळतात का हे पाहून तपासा.
संगत नसलेल्या बाजूंची जोडी करणे, उदा. सर्वात लांब बाजू लहान बाजूशी.
"दोन्ही गुणोत्तरांत एकच स्थान, मग आडवे गुणा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1△ZCT ~ △RUF. TZ = 4 cm, FR = 20 cm आणि ZC = 3 cm असेल तर RU (cm मध्ये) शोधा.
- 2△DFS ~ △KVZ. DF = 2 cm, KV = 10 cm आणि FS = 8 cm असेल तर VZ (cm मध्ये) शोधा.
- 3△VWZ ~ △QRU. VW = 8 cm, QR = 24 cm आणि ZV = 4 cm असेल तर UQ (cm मध्ये) शोधा.
- 4△QFH ~ △YXC. FH = 6 cm, XC = 9 cm आणि QF = 10 cm असेल तर YX (cm मध्ये) शोधा.
- 5△UMP ~ △FVH. UM = 2 cm, FV = 4 cm आणि MP = 4 cm असेल तर VH (cm मध्ये) शोधा.
- 6दोन आयत समरूप आहेत. पहिला 2 cm × 5 cm आहे आणि दुसऱ्यातील 2 cmची संगत बाजू 6 cm आहे. 5 cmची संगत बाजू (cm मध्ये) शोधा.
- 7दोन आयत समरूप आहेत. पहिला 10 cm × 8 cm आहे आणि दुसऱ्यातील 10 cmची संगत बाजू 20 cm आहे. 8 cmची संगत बाजू (cm मध्ये) शोधा.
- 8दोन आयत समरूप आहेत. पहिला 9 cm × 7 cm आहे आणि दुसऱ्यातील 9 cmची संगत बाजू 27 cm आहे. 7 cmची संगत बाजू (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 115
- 240
- 312
- 415
- 58
- 615
- 716
- 821
संगत कोन आणि शिरोबिंदू
एकाच पोझमधील दोन मित्र जुळतात : डोके डोक्याशी, डावा हात डाव्या हाताशी. त्रिकोण शिरोबिंदूनुसार जुळतात.
ΔABC ~ ΔPQR मध्ये अक्षरांचा क्रम जोड्या सांगतो : A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R. म्हणून ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R आणि AB/PQ = BC/QR = CA/RP.
आकृतीत : जुळणारी अक्षरे जुळणारे कोन दाखवतात; जुळणाऱ्या अक्षरांमधील बाजू संगत असतात.
नियम 1 : शिरोबिंदूंचा क्रम जोड्या दाखवतो — दोन्ही त्रिकोणांतील अक्षरे एकाच क्रमाने वाचा.
- सोपे : ΔABC ~ ΔPQR : ∠B = ∠Q.
- मध्यम : ΔABC ~ ΔXYZ : बाजू AB ची संगत XY.
- परीक्षेसाठी : ΔABC ~ ΔPQR मध्ये AC ची संगत PR.
नियम 2 : न माहीत कोन काढा — समान कोनांच्या जोड्या; तीन कोनांची बेरीज १८०°.
- सोपे : ΔABC मध्ये ∠A = ५०°, ∠B = ६०° : ∠R = ∠C = ७०°.
- मध्यम : ΔABC ~ ΔDEF, ∠D = ४०°, ∠E = ६५° : ∠F = ७५°.
- परीक्षेसाठी : समान कोन संगत बाजूंसमोर असतात.
समरूपतेच्या विधानातील अक्षरांचा क्रम हाच जुळवणीचा नकाशा.
A ची जोडी P असताना ΔABC ~ ΔQPR लिहिणे; अक्षरे जुळत नाहीत.
"अक्षराचे स्थान समान, कोन समान."
सरावासाठी प्रश्न
- 1△STM ~ △WFN, ∠S = 46° आणि ∠T = 42°. ∠N शोधा.
- 2△LTA ~ △ZNV, ∠L = 47° आणि ∠A = 58°. ∠N शोधा.
- 3△HDK ~ △QLR, ∠D = 42° आणि ∠K = 79°. ∠Q शोधा.
- 4△QRL ~ △XKM, ∠Q = 46° आणि ∠L = 104°. ∠K शोधा.
- 5△PMT ~ △DNF, ∠P = 31° आणि ∠M = 60°. ∠F शोधा.
- 6△HKD ~ △CEB. दुसऱ्या त्रिकोणात ∠C = 34° आणि ∠B = 80° आहे. ∠K शोधा.
- 7△LWT ~ △VMA. दुसऱ्या त्रिकोणात ∠M = 44° आणि ∠A = 104° आहे. ∠L शोधा.
- 8△VPH ~ △RSX. दुसऱ्या त्रिकोणात ∠R = 56° आणि ∠S = 65° आहे. ∠H शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 192
- 275
- 359
- 430
- 589
- 666
- 732
- 859
प्रमाण आणि आवर्धनाचे उपयोग
नकाशे, नमुने आणि फोटो प्रती म्हणजे समरूप आकृत्या : ठरावीक प्रमाण प्रत्येक लांबी लहान किंवा मोठी करते.
प्रमाण १ : n म्हणजे चित्रातील प्रत्येक लांबी खऱ्या लांबीची १/n. वापरण्यापूर्वी दोन्ही लांबी एकाच एककात आणा. k पटीने आवर्धन म्हणजे प्रत्येक लांबी k ने गुणणे.
सूत्र : प्रत्यक्ष = चित्र × n
आकृतीत : २० m ची इमारत १ : ५० ने : २००० cm / ५० = ४० cm नमुना.
नियम 1 : नमुने आणि नकाशे — एकच एकक करा, मग n ने गुणा किंवा भागा.
- सोपे : १ : ५०, इमारत २० m : नमुना ४० cm.
- मध्यम : १ : ५०, नमुना ६ cm : खरी लांबी ३०० cm = ३ m.
- परीक्षेसाठी : नकाशा १ : १००००० : ३ cm म्हणजे ३ km; ८ km म्हणजे ८ cm.
नियम 2 : k पटीने आवर्धन — प्रत्येक लांबी k ने गुणा; कोन तेच राहतात.
- सोपे : फोटो ४ cm × ६ cm तिप्पट मोठा : १२ cm × १८ cm.
- मध्यम : k = ३/२, १० cm वर : १५ cm.
- परीक्षेसाठी : k = १/४, ८ cm वर : २ cm (लहान करणे).
प्रमाणात भागण्यापूर्वी एकके जुळवा.
१ : ५० वापरताना एकीकडे मीटर व दुसरीकडे सेंटिमीटर घेणे.
"आधी एकके सारखी, मग प्रमाण."
सरावासाठी प्रश्न
- 16 cm × 8 cm आकाराचे छायाचित्र आकार तोच ठेवून मोठे केले आणि त्याची रुंदी 24 cm झाली. नवी उंची (cm मध्ये) किती?
- 29 cm × 3 cm आकाराचे छायाचित्र आकार तोच ठेवून मोठे केले आणि त्याची रुंदी 45 cm झाली. नवी उंची (cm मध्ये) किती?
- 37 cm × 4 cm आकाराचे छायाचित्र आकार तोच ठेवून मोठे केले आणि त्याची रुंदी 14 cm झाली. नवी उंची (cm मध्ये) किती?
- 4एका इमारतीचे प्रतिकृती मॉडेल 1 : 100 या प्रमाणात केले आहे. प्रत्यक्ष इमारत 400 मी उंच आहे. मॉडेलची उंची (cm मध्ये) किती?
- 5एका इमारतीचे प्रतिकृती मॉडेल 1 : 50 या प्रमाणात केले आहे. प्रत्यक्ष इमारत 135 मी उंच आहे. मॉडेलची उंची (cm मध्ये) किती?
- 6नकाशावर 4 cm म्हणजे 10 km. दोन शहरांतील प्रत्यक्ष अंतर 80 km आहे. नकाशावर ते किती cm अंतरावर दिसतील?
- 7नकाशावर 3 cm म्हणजे 25 km. दोन शहरांतील प्रत्यक्ष अंतर 375 km आहे. नकाशावर ते किती cm अंतरावर दिसतील?
- 8एका इमारतीचे प्रतिकृती मॉडेल 1 : 500 या प्रमाणात केले आहे. प्रत्यक्ष इमारत 1400 मी उंच आहे. मॉडेलची उंची (cm मध्ये) किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 132
- 215
- 38
- 4400
- 5270
- 632
- 745
- 8280