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CBSE · कक्षा 10 · गणित

त्रिभुज 6.4 : त्रिभुजों की समरूपता के कसौटी

5 अवधारणाएँ · उत्तर सहित 40 अभ्यास प्रश्न · पढ़ना मुफ़्त

यह पाठ इन भाषाओं में भी: मराठी · English

AA, SSS और SAS पहचानना

रोज़मर्रा के जीवन से

दो फोटो-फ्रेम का आकार समान है यह देखने के लिए सब नापना ज़रूरी नहीं : कुछ मेल खाते कोण या अनुपात काफी हैं।

सरल परिभाषा

त्रिभुज समरूप होते हैं यदि : AA दो कोण समान (तीसरा अपने-आप मेल खाता है), SSS तीनों संगत भुजाओं के अनुपात समान, या SAS एक कोण समान और उसे घेरने वाली दो भुजाओं के अनुपात समान।

50°60°70°50°60°70°AA

आकृति में : दोनों त्रिभुजों में 50° और 60° मेल खाते हैं, अतः तीसरे कोण (70°) भी मेल खाते हैं और त्रिभुज समरूप।

Live आकृति

AA, SSS और SAS पहचानना

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

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नियम 1 : कौन-सी कसौटी लागू? — देखें क्या दिया है : कोण, तीन भुजाएँ, या दो भुजाएँ और कोण।

  • आसान : कोण 50°, 60° और 60°, 70° : दोनों समुच्चय 50°, 60°, 70° : AA।
  • मध्यम : भुजाएँ 3, 4, 5 और 6, 8, 10 : SSS।
  • परीक्षा-प्रकार : भुजाएँ 2, 3 व घिरा कोण 40° और 4, 6 व 40° : SAS।

नियम 2 : क्या नहीं चलता — कसौटी से कम मेल या गलत कोण कुछ सिद्ध नहीं करता।

  • आसान : केवल एक कोण-जोड़ी समान : काफी नहीं।
  • मध्यम : दो भुजाएँ अनुपाती पर कोण उनके बीच नहीं : कसौटी नहीं।
  • परीक्षा-प्रकार : केवल दो भुजा-अनुपात समान, कोण नहीं : काफी नहीं।
याद रखें

AA को 2 कोण, SSS को 3 भुजा-अनुपात, SAS को 2 भुजाओं के बीच का कोण।

सामान्य गलती

समान कोण दो अनुपाती भुजाओं के बीच न होने पर SAS लगाना।

याद रखने की युक्ति

"AA : कोण। SSS : भुजाएँ। SAS : बीच का कोण।"

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1△DRG और △AYB में : DR = 7 cm, RG = 9 cm, GD = 12 cm, AY = 14 cm, YB = 18 cm और BA = 24 cm। △DRG ~ △AYB किस कसौटी से सिद्ध होता है?
  2. 2△UYG और △VNR में : ∠U = 70°, ∠Y = 55°, ∠V = 70° और ∠N = 55°। △UYG ~ △VNR किस कसौटी से सिद्ध होता है?
  3. 3△RLF और △VQC में : RL = 7 cm, LF = 8 cm, FR = 9 cm, VQ = 14 cm, QC = 16 cm और CV = 18 cm। △RLF ~ △VQC किस कसौटी से सिद्ध होता है?
मध्यम
  1. 4△QZD और △SKF में : ∠Q = 45°, ∠Z = 110°, ∠S = 45° और ∠K = 110°। △QZD ~ △SKF किस कसौटी से सिद्ध होता है?
  2. 5△DFA और △HVR में : DF = 5 cm, FA = 12 cm, AD = 13 cm, HV = 10 cm, VR = 24 cm और RH = 26 cm। △DFA ~ △HVR किस कसौटी से सिद्ध होता है?
  3. 6△CEY और △UXV में : CE = 2 cm, CY = 6 cm, ∠E = 110°, UX = 6 cm, UV = 18 cm और ∠X = 110°। △CEY ~ △UXV किस कसौटी से सिद्ध होता है?
चुनौतीपूर्ण
  1. 7△XEB ~ △YDA सिद्ध करने के लिए कौन-सी एक शर्त पर्याप्त है?
  2. 8△WCZ ~ △SHT सिद्ध करने के लिए कौन-सी एक शर्त पर्याप्त है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1SSS
  2. 2AA
  3. 3SSS
  4. 4AA
  5. 5SSS
  6. 6AA, SSS, SAS में से कोई लागू नहीं होता
  7. 7∠X = ∠Y and ∠E = ∠D
  8. 8WC/SH = CZ/HT = ZW/TS

SSS समरूपता : जाँच और भुजा ज्ञात करना

रोज़मर्रा के जीवन से

4, 6, 8 cm और 6, 9, 12 cm भुजाओं के दो त्रिकोणी झंडे एक ही डिज़ाइन की अलग माप की प्रतियाँ हैं।

सरल परिभाषा

यदि AB/PQ = BC/QR = CA/RP हो तो ΔABC ~ ΔPQR (SSS)। सबसे छोटी को सबसे छोटी से, मध्य को मध्य से और सबसे लंबी को सबसे लंबी से जोड़ें।

सूत्र : AB/PQ = BC/QR = CA/RP

84612692 : 3

आकृति में : 4 : 6, 6 : 9 और 8 : 12 सब 2 : 3, अतः त्रिभुज समरूप।

नियम 1 : SSS जाँचें — भुजाएँ क्रम में लगाएँ, संगत जोड़ियाँ भाग दें और तुलना करें।

  • आसान : 4, 6, 8 और 6, 9, 12 : सब 2/3 : समरूप।
  • मध्यम : 3, 5, 7 और 6, 10, 15 : 1/2, 1/2, 7/15 : समरूप नहीं।
  • परीक्षा-प्रकार : 5, 12, 13 और 10, 24, 26 : सब 1/2 : समरूप।

नियम 2 : अज्ञात भुजा निकालें — दो ज्ञात भुजाओं से k निकालकर लगाएँ।

  • आसान : 5, 12, 13 ~ 10, 24, x : x = 26।
  • मध्यम : 6, 8, 10 ~ 9, 12, x : k = 3/2, x = 15।
  • परीक्षा-प्रकार : 4, 5, 6 ~ 12, 15, x : k = 3, x = 18।
याद रखें

तुलना से पहले दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ छोटी से बड़ी क्रम में लगाएँ।

सामान्य गलती

एक की सबसे छोटी भुजा को दूसरे की सबसे लंबी से भाग देना।

याद रखने की युक्ति

"छोटी छोटी से, लंबी लंबी से।"

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1△QZF की भुजाएँ QZ = 6 cm, ZF = 8 cm, FQ = 11 cm हैं और △XBH की भुजाएँ XB = 24 cm, BH = 32 cm, HX = 44 cm हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
  2. 2△NEY की भुजाएँ NE = 5 cm, EY = 6 cm, YN = 7 cm हैं और △QGT की भुजाएँ QG = 10 cm, GT = 12 cm, TQ = 14 cm हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
  3. 3△SEM की भुजाएँ SE = 5 cm, EM = 6 cm, MS = 7 cm हैं और △XLT की भुजाएँ XL = 15 cm, LT = 18 cm, TX = 21 cm हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
मध्यम
  1. 4△ADW की भुजाएँ AD = 5 cm, DW = 7 cm, WA = 9 cm हैं और △FYM की भुजाएँ FY = 14 cm, YM = 21 cm, MF = 27 cm हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
  2. 5△SUG की भुजाएँ SU = 8 cm, UG = 9 cm, GS = 10 cm हैं और △XZB की भुजाएँ XZ = 16 cm, ZB = 18 cm, BX = 20 cm हैं। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
  3. 6△FAP में FA = 6 cm, AP = 8 cm, PF = 11 cm। △SWQ, △FAP के समरूप है (संगत क्रम में) और SW = 24 cm, WQ = 32 cm। QS (cm में) ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7△TDQ में TD = 16 cm, DQ = 18 cm, QT = 20 cm। △EYP, △TDQ के समरूप है (संगत क्रम में) और YP = 36 cm, PE = 40 cm। EY (cm में) ज्ञात कीजिए।
  2. 8△YEF में YE = 16 cm, EF = 20 cm, FY = 24 cm। △GWZ, △YEF के समरूप है (संगत क्रम में) और WZ = 15 cm, ZG = 18 cm। GW (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1हाँ
  2. 2हाँ
  3. 3हाँ
  4. 4नहीं
  5. 5हाँ
  6. 644
  7. 732
  8. 812

संगत कोण, भुजाएँ और परिमाप

रोज़मर्रा के जीवन से

दो त्रिभुज समरूप हैं यह पता चलने पर एक का एक तथ्य दूसरे का संगत तथ्य बता देता है।

सरल परिभाषा

ΔABC ~ ΔPQR हो तो संगत कोण समान, संगत भुजाओं का अनुपात k समान और ABC का परिमाप / PQR का परिमाप = k भी।

equalanglessameratio kperimeterratio k

आकृति में : AB = 6, PQ = 9, ABC का परिमाप = 20 : PQR का परिमाप = 20 × 9/6 = 30।

नियम 1 : अनुपात और परिमाप — परिमाप का अनुपात भुजा-अनुपात के बराबर।

  • आसान : AB = 6, PQ = 9, ABC परिमाप 20 : PQR = 30।
  • मध्यम : k = 3/5, पहली का परिमाप 24 : दूसरा 40।
  • परीक्षा-प्रकार : परिमाप 20 और 30, भुजा 8 : संगत भुजा 12।

नियम 2 : मेल खाते कोण — समान कोणों की जोड़ियाँ अक्षरों के क्रम से।

  • आसान : ΔABC ~ ΔPQR, ∠B = 70°, ∠C = 50° : ∠P = ∠A = 60°।
  • मध्यम : ∠A = ∠P = 80°, ∠Q = 45° : ∠C = ∠R = 55°।
  • परीक्षा-प्रकार : ∠B के सामने की भुजा (AC) ∠Q के सामने की भुजा (PR) की संगत।
याद रखें

समरूप का अर्थ सभी समानताएँ साथ : कोण, भुजा-अनुपात और परिमाप-अनुपात।

सामान्य गलती

अनुपात को कोणों पर लगाना; कोण समान होते हैं, बड़े नहीं होते।

याद रखने की युक्ति

"कोण वही, लंबाई अनुपात में।"

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1△NYR ~ △TSX। यदि ∠T = 50° और ∠X = 95° हो तो ∠Y (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
  2. 2△KRV ~ △XGN। यदि ∠V = 75° और ∠K = 55° हो तो ∠G (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
  3. 3△ELK ~ △ZHF। यदि ∠E = 80° और ∠L = 40° हो तो ∠F (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 4△MDY ~ △BPL और MD : BP = 3 : 4। यदि △MDY का परिमाप 24 cm हो तो △BPL का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
  2. 5△BKF ~ △GHV। यदि BK = 30 cm, KF = 20 cm, HV = 12 cm हो तो GH (cm में) ज्ञात कीजिए।
  3. 6△GHS ~ △UEX और GH : UE = 7 : 4। यदि △GHS का परिमाप 126 cm हो तो △UEX का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7△DWY ~ △RNS। यदि DW = (x + 5) cm, RN = (x + 8) cm, WY = 8 cm और NS = 11 cm हो तो x ज्ञात कीजिए।
  2. 8△CTX ~ △UKN। यदि CT = (x + 4) cm, UK = (x + 6) cm, TX = 3 cm और KN = 4 cm हो तो x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 135
  2. 250
  3. 360
  4. 432
  5. 518
  6. 672
  7. 73
  8. 82

SAS, AA और समांतर रेखा के उपयोग

रोज़मर्रा के जीवन से

एक भुजा के समांतर रेखा एक छोटा त्रिभुज काटती है, जो पूरे त्रिभुज की छोटी प्रति होता है।

सरल परिभाषा

DE ∥ BC हो तो ∠A उभयनिष्ठ और ∠ADE = ∠ABC, अतः ΔADE ~ ΔABC (AA) और AD/AB = AE/AC = DE/BC। SAS के लिए एक समान कोण और उसे घेरने वाली भुजाएँ अनुपाती होती हैं।

सूत्र : AD/AB = AE/AC = DE/BC

ABCDE46ΔADE ~ ΔABC

आकृति में : AD = 4, AB = 10, BC = 15 : DE = 4/10 × 15 = 6।

नियम 1 : समांतर रेखाओं से लंबाई — पूरी भुजाओं के साथ AD/AB = AE/AC = DE/BC लें।

  • आसान : AD = 4, AB = 10, BC = 15 : DE = 6।
  • मध्यम : AD = 3, AB = 9, DE = 4 : BC = 12।
  • परीक्षा-प्रकार : AE = 6, AC = 15, BC = 20 : DE = 8।

नियम 2 : SAS कसौटी — कोण दो अनुपाती भुजाओं के बीच होना चाहिए।

  • आसान : AB = 3, AC = 6, PQ = 6, PR = 12, ∠A = ∠P : अनुपात 1/2, 1/2 : समरूप।
  • मध्यम : AB = 4, AC = 6, PQ = 6, PR = 8 : 2/3 ≠ 3/4 : समरूप नहीं।
  • परीक्षा-प्रकार : ∠A ≠ ∠P हो तो कसौटी विफल।
याद रखें

हर समांतर-रेखा त्रिभुज में A का उभयनिष्ठ कोण मुफ़्त मिलता है।

सामान्य गलती

DE/BC की जगह DE/DB या AD/DB लेना; सही जोड़ियाँ पूरी भुजाओं की हैं।

याद रखने की युक्ति

"समांतर यानी AA; पूरी भुजाएँ AB, AC, BC लें।"

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1△DFK और △RCP में DF = 3 cm, DK = 4 cm, RC = 6 cm, RP = 8 cm और ∠D = ∠R = 40° है। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
  2. 2△BPD और △RNV में BP = 9 cm, BD = 6 cm, RN = 18 cm, RV = 14 cm और ∠B = ∠R = 100° है। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
  3. 3△WFR और △MUK में WF = 10 cm, WR = 9 cm, MU = 40 cm, MK = 36 cm और ∠W = ∠M = 55° है। क्या ये त्रिभुज समरूप हैं?
मध्यम
  1. 4△WNX में A भुजा WN पर, L भुजा WX पर है और AL ∥ NX। यदि WA = 4 cm, WN = 18 cm, NX = 36 cm हो तो AL (cm में) ज्ञात कीजिए।
  2. 5△NDU में G भुजा ND पर, Z भुजा NU पर है और GZ ∥ DU। यदि ND = 45 cm, GZ = 12 cm, DU = 54 cm हो तो NG (cm में) ज्ञात कीजिए।
  3. 6△RLS में A भुजा RL पर, G भुजा RS पर है और AG ∥ LS। यदि RA = 4 cm, AG = 8 cm, LS = 20 cm हो तो RL (cm में) ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7रेखाएँ KL और YH, B पर प्रतिच्छेद करती हैं (B, K और L के बीच तथा Y और H के बीच है) और KY ∥ LH। यदि BK = 8 cm, KY = 20 cm, LH = 35 cm हो तो BL (cm में) ज्ञात कीजिए।
  2. 8रेखाएँ FW और SY, V पर प्रतिच्छेद करती हैं (V, F और W के बीच तथा S और Y के बीच है) और FS ∥ WY। यदि VF = 35 cm, VW = 20 cm, WY = 8 cm हो तो FS (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1हाँ
  2. 2नहीं
  3. 3हाँ
  4. 48
  5. 510
  6. 610
  7. 714
  8. 814

छायाएँ और ऊँचाई

रोज़मर्रा के जीवन से

दिन के एक ही समय पर ऊँचा पेड़ और छोटा खंभा समान ढलान की छायाएँ बनाते हैं, इसलिए छाया से ऊँचाई निकाल सकते हैं।

सरल परिभाषा

एक ही समय पर वस्तु, उसकी छाया और सूर्य-किरण त्रिभुज बनाते हैं, और ऐसे दो त्रिभुज समरूप (AA) होते हैं। अतः दोनों के लिए ऊँचाई/छाया समान : h₁/s₁ = h₂/s₂।

सूत्र : h₁/s₁ = h₂/s₂

6 m4 m15 m10 msame sunsame angle

आकृति में : खंभा 6 m, छाया 4 m; पेड़ की छाया 10 m : पेड़ की ऊँचाई = 6/4 × 10 = 15 m।

नियम 1 : ऊँचाई निकालें — ऊँचाई/छाया अनुपात समान; अज्ञात ऊँचाई हल करें।

  • आसान : खंभा 6 m, छाया 4 m; पेड़ की छाया 10 m : 15 m।
  • मध्यम : व्यक्ति 1.5 m, छाया 2 m; मीनार की छाया 40 m : 30 m।
  • परीक्षा-प्रकार : डंडा 2 m, छाया 3 m; इमारत की छाया 30 m : 20 m।

नियम 2 : छाया निकालें — अज्ञात छाया को अनुपात में रखें।

  • आसान : खंभा 8 m, छाया 6 m; पेड़ 12 m : छाया 9 m।
  • मध्यम : व्यक्ति 1.8 m, छाया 1.2 m; पेड़ 9 m : छाया 6 m।
  • परीक्षा-प्रकार : दोनों माप दिन के एक ही समय लेने चाहिए।
याद रखें

दिन का एक ही समय त्रिभुजों को समरूप बनाता है।

सामान्य गलती

एक अनुपात में ऊँचाई और छाया मिला देना, जैसे h₁/s₂।

याद रखने की युक्ति

"ऊँचाई भाग छाया, दोनों के लिए समान।"

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1दिन के एक ही समय पर खंभे की ऊँचाई 6 m और छाया की लंबाई 42 m है। यदि इमारत की ऊँचाई 1 m हो तो उसकी छाया की लंबाई (m में) ज्ञात कीजिए।
  2. 2दिन के एक ही समय पर छड़ी की ऊँचाई 45 m और छाया की लंबाई 10 m है। मीनार की छाया 16 m लंबी है। मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
  3. 3दिन के एक ही समय पर छड़ी की ऊँचाई 15 m और छाया की लंबाई 35 m है। यदि पेड़ की ऊँचाई 9 m हो तो उसकी छाया की लंबाई (m में) ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 4दिन के एक ही समय पर मीनार की ऊँचाई 2 m और छाया की लंबाई 5 m है। यदि खंभे की ऊँचाई 10 m हो तो उसकी छाया की लंबाई (m में) ज्ञात कीजिए।
  2. 5आदमी की ऊँचाई 160 cm और छाया की लंबाई 120 cm है। उसी समय ध्वजस्तंभ की छाया 6 m लंबी है। ध्वजस्तंभ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
  3. 6आदमी की ऊँचाई 180 cm और छाया की लंबाई 150 cm है। उसी समय मीनार की छाया 25 m लंबी है। मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7लड़की की ऊँचाई 180 cm और छाया की लंबाई 100 cm है। उसी समय मीनार की छाया 50 m लंबी है। मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
  2. 8लड़के की ऊँचाई 120 cm और छाया की लंबाई 90 cm है। उसी समय इमारत की छाया 27 m लंबी है। इमारत की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 17
  2. 272
  3. 321
  4. 425
  5. 58
  6. 630
  7. 790
  8. 836